数学人教版九年级上册一元二次方程小结.docx

第14-15课时 一元二次方程小结与复习学 习目 标1、一元二次方程的相关概念；2、灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程；3、能运用一元二次方程的根的判别式判定方程的根的情况；4、能简单运用一元二次方程的根与系数的关系解决相关问题；5、构造一元二次方程解决简单的实际问题；学习重点运用知识、技能解决问题。学习难点解题分析能力的提高教 学 互 动 设 计一、知识梳理1、一元二次方程的概念：等号两边都是 整式 ，只含有 一 个求知数（一元），并且求知数的最高次数是 2 （二次）的方程，叫做一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a0)，其中ax2是二次项，a是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项。3、一元二次方程的解法：直接开方法、配方法、公式法、因式分解法4、一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式是= b2-4ac，当0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当0时，方程没有实数根；当0时，方程有实数根。5、一元二次方程的根与系数的关系：（韦达定理）当=b2-4ac0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的求根公式为x= ；若一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两根为x1、x2，则x1x2= ，x1x2= 。若一元二次方程 +px+q=0的两根为 、 ，则：x1x2= -p ， x1x2= q 。6、一元二次方程的应用。二、基本知识训练1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是【 C 】A B C D2、某学校准备修建一个面积为200平方米的矩形花圃，它的长比宽多10米，设花圃的宽为x米，则可列方程为x(x10)200，化为一般形式为x2+10x-200=0。3、已知1是关于x的一元二次方程（m1）x2+x+1=0的一个根，则m的值是【 B 】A 1B1C0D无法确定4、咸宁市2009年平均房价为每平方米2000元连续两年增长后，2011年平均房价达到每平方米2420元，设这两年平均房价年平均增长率为x，依题意可列方程为2000（1+x）2=2420，此方程适宜用直接开平方法解。5、用配方法解关于x的一元二次方程x22x3=0，配方后的方程可以是【 A 】A（x1）2=4B（x+1）2=4 C（x1）2=16D（x+1）2=166、若一元二次方程 有实数解，则m的取值范围是【 B 】A B C D7、下列一元二次方程两实数根和为-4的是【 D 】A x2+2x-4=0 B x2-4x+4=0 C x2+4x+10=0 Dx2+4x-5=08、已知m和n是方程2x25x3=0的两根，则 - 。三、典型例题分析【例1】用适当的方法解下列方程：x24x+2=0 解：x= ；x1=1，x2=-3；x= 。【例2】已知x是一元二次方程x2+2x-80的根，求代数式 的值解： = = =又x2+2x-80，x1-4，x22，但当x2时原式无意义，故当x-4时原式= =【例3】关于x的一元二次方程x23xm-10的两个实数根分别为x1，x2（1）求m的取值范围；（2）若2 (x1+x2)+ x1x2+10=0，求m的值.解：（1）原方程有两个实数根， =9-4( m-1)0， 解之得： . （2）由一元二次方程的根与系数的关系可知：x1+x2=-3，x1x2= m-1， 2 (-3)+ ( m-1)+10=0 解之得：m=-3.【例4】如果方程x2pxq0的两个根是x1，x2，那么x1x2p，x1x2q请根据以上结论，解决下列问题：（1）已知关于x的方程x2mxn0 (n0)，求出一个一元二次方程，使它的两根别是已知方程两根的倒数；（2）已知a、b满足a215a50，b215b50，求 的值；（3）已知a、b、c均为实数，且abc0，abc16，求正数c的最小值解：（1）设x2mxn0 (n0)的两根为x1，x2x1x2m，x1x2n ， 所求一元二次方程为x2 0，即nx2mx10（2）当ab时，由题意知a，b是一元二次方程x215x50的两根，ab15，ab5 47当ab时， 112 47或2（3）abc0，abc16，abc，ab a，b是方程x2cx 0的两根c2 0c0，c364c4c的最小值为4【例5】菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销。李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售。（1）求平均每次下调的百分率；（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金200元。试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由。解：（1）设平均每次下调的百分率为 ，依题意可列方程：解这个方程，得 ，因为降价的百分率不可能大于1，所以 不符合题意，符合题目要求的是 %答：平均每次下调的百分率是20%。（2）小华选择方案一购买更优惠。理由：方案一所需费用为： （元）方案二所需费用为： （元） 14400 0k 且k213、已知x1、x2是方程2x2+14x16=0的两实数根，求 的值.解：由根与系数的关系，得x1+x2=-7，x1x2=-8， = = = =- 14、已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）若x1，x2是原方程的两根，且 ，求m的值，并求出此时方程的两根（1）证明：=(m+3)2-4(m-1)=(m+1)2+4 无论m取何值时，(m+1)2+4的值恒大于0, 原方程总有两个不相等的实数根（2）解：x1，x2是原方程的两根， x1+x2=-(m+3)，x1x2=m+1， ； ， (x1+x2)2-4x1x2=8，-(m+3)2-4(m+1)=8，m2+2m-3=0, 解得：m1=-3，m2=1 当m=-3时，原方程化为：x2-2=0，解得： 当m=1时，原方程化为：x2+4x+2=0，解得：15、阅读下面的材料，回答问题：解方程x45x2+4=0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2=y，那么x4=y2，于是原方程可变为y25y+4=0 ，解得y1=1，y2=4当y=1时，x2=1，x=1；当y=4时，x2=4，x=2；原方程有四个根：x1=1，x2=1，x3=2，x4=2（1）在由原方程得到方程的过程中，利用 换元 法达到_降次_的目的，体现了数学的转化思想（2）解方程（x2+x）24（x2+x）12=0解：（2）设x2+x=y，原方程可化为y24y12=0， 解得y1=6，y2=2 由x2+x=6，得x1=3，x2=2 由x2+x=2，得方程x2+x+2=0， b24ac=142=70，此时方程无解 所以原方程的解为x1=3，x2=216、如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用25m），现在已备足可以砌50m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300m2解：设AB=xm，则BC=（502x）m根据题意可得，x（502x）=300，解之得：x1=10，x2=15，当x=10，BC=501010=3025，故x1=10（不合题意舍去），答：可以围成AB的长为15米，BC为20米的矩形17、一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买力一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元，该校最终向园林公司支付树苗款8800元，请问该校共购买了多少棵树苗？解：因为60棵树苗售价为120元60=7200元8800元，所以该校购买树苗超过60棵，设该校共购买了x棵树苗，由题意得：x1200.5（x60）=8800，解得：x1=220，x2=80当x2=220时，1200.5（22060）=40100，x1=220（不合题意，舍去）；当x2=80时，1200.5（8060）=110100，x=80，答：该校共购买了80棵树苗一元二次方程单元测试题（一）一、填空题（每题2分，共计12分）1.把方程（2x+6）2=-7化成一元二次方程的一般形式为_，其中二次项系数为_，一次项系数为_，常数项为_.2.已知关于x的二次方程4x2+4kx+k2=0的一个根是-2，那么k=_.3.若分式 的值为0，则x的值是_.4.关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根为x1=1，x2=2，则x2+bx+c分解因式的结果为_.5.如果关于x的一元二次方程2x2-（4k+1）x+2k2-1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是_.6.已知关于x的方程x2-（ab)xab-2=0.x1、x2是此方程的两个实数根,现给出三个结论：（1）x1x2;（2）x1x2ab;(3) x12x22a2b2.则正确结论的序号是_.（在横线上填上所有正确结论的序号）二、选择题（每题5分，共计20分）7.方程x2+3x-6=0与x2-6x+3=0所有根的乘积等于（ ）A.-18 B.18 C.-3 D.38.以1，-2为根的一元二次方程是（ ）A.x2+x-2=0 B.x2-x+2=0 C.x2-x-2=0 D.x2+x+2=09.三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2-6x+8=0的一个根，则这个三角形的周长是（ ）A.9 B.11 C.13 D.11或1310.某钢厂今年1月份生产某种钢2 000吨，3月份生产这种钢2 420吨，设2、3月份两个月平均每月增长的百分率为x，则可列方程为（ ）A.2 000（1+2x）=2 420 B.2 000（1+x2）=2 420C.2 000（1+x）2=2 420 D.2 420（1-x）2=2 000三、解答题11.不解方程判断根的情况. （每题3分，共计9分）（1）x2-2x-4=0; （2）2x2+4x+2=0; （3） x2-x+2=0.12.解下列方程（每题5分，共计15分）（1）3x2+x-2=0; （2）4（x-3）2=25; （3）x2+6x-10=0(配方法).13.（10分）已知x1，x2是方程3x2+5x-1=0的两个根，求下列各式的值.（1）x12x2+ x22x1; （2） + .14.列方程解实际问题（第一小题10分，第二小题12分，共计22分）（1）在一块长为30 m，宽为24 m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的小路,其余部分建成花园，已知小路的占地面积为53 m2，那么小路的宽为多少？（2）ABC中，B=90,AB=6 cm，BC=8 cm，点P从点A开始沿AB边向B以1 cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒钟，使PBQ的面积等于8 cm2？如果P、Q分别从A、B同时出发，并且P到B后又继续在BC边上前进，Q到C后又继续在CA边上前进，经过几秒钟，使PCQ的面积等于12.6 cm2？15.（12分）已知关于x的方程x2-2（a-2）x+a2=0，是否存在实数a，使方程两个实数根的平方和为56?若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.一元二次方程单元测试题（二）一、选择题1、一元二次方程 的解是（ ）A B C D、方程 的解是（ ）A ， B ， C ， D ，、如果2是方程 的一个根，那么c的值是( )A B4 C2 D2、已知 是方程 的一个根，则方程的另一个根为（ ）A B C D、某商品原价100元，连续两次涨价 后售价为120元，下面所列方程正确的是（ ）A B ;C D、下列方程中，有两个不等实数根的是（ ）A B C D、已知a、b、c分别是三角形的三边，则方程(a + b)x2 + 2cx + (a + b)0的根的情况是（ ）A没有实数根; B可能有且只有一个实数根; C有两个相等的实数根; D有两个不相等的实数根、如果关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，那么 的取值范围是（ ）A. B. 且 C. D. 且、若关于x的一元二次方程 的常数项为0，则m的值等于 （ ）A1 B2 C1或2 D011、某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2007年投入3 000万元，预计2009年投入5 000万元设教育经费的年平均增长率为 ，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A BC D12、已知代数式 的值为9，则 的值为A18 B12 C9 D713、如果x4是一元二次方程 的一个根，那么常数a的值是（ ） A.2 B.2 C.2 D.414、5月23日8时40分，哈尔滨铁路局一列满载着2400吨“爱心”大米的专列向四川灾区进发，途中除3次因更换车头等原因必须停车外，一路快速行驶，经过80小时到达成都描述上述过程的大致图象是（ ）15、甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价均为m元的商品，甲超市连续两次降价20%，乙超市一次性降价40%，丙超市第一次降价30%，第二次降价10%，此时顾客要购买这种商品最划算应到的超市是 （）A.甲 B.乙 C.丙 D. 乙或丙二、填空题16、关于 的一元二次方程 的一个根为1，则方程的另一根为17、若 为方程 的两个实数根，则 _18、一种药品经过两次降价，药价从原来每盒60元降至现在的48.6元，则平均每次降价的百分率是 19、在一幅长50cm，宽30cm的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个规划土地的面积是1800cm ，设金色纸边的宽为 cm，那么 满足的方程为 .20、三角形的每条边的长都是方程 的根，则三角形的周长是 21、方程 的解是 .22、若x1是一元二次方程x2xc0的一个解，则c2 23、阅读材料：设一元二次方程 的两根为 ， ，则两根与方程系数之间有如下关系 ， . = 根据该材料填空： 已知 ， 是方程 的两实数根，则 的值为_ _24、关于 的一元二次方程 有两个实数根，则 的取值范围是 25、一元二次方程 的解是 26、已知关于 的一元二次方程 有两个不相同的实数根，则 的取值范围是 .28、已知一元二次方程 的一个根为 ，则