第5讲数列的综合应用.doc

第5讲数列的综合应用一、填空题1已知各项均不为0的等差数列an，满足2a3a2a110，数列bn是等比数列，且b7a7，则b6b8_.解析因为an为等差数列，所以a3a112a7，所以已知等式可化为4a7a0，解得a74或a70(舍去)，又bn为等比数列，所以b6b8ba16.答案162在数列an中，a11，a22，an2an1(1)n(nN*)，则S100_.解析 n为奇数时，a1a3a5a991；n为偶数时，a22，a44，a66，a1002492100.所以S100(246100)50502 600.答案 2 6003各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn，若S102，S3014，则S40_.解析 设S20x，S40y，则由题意，得2，x2,14x，y14成等比数列于是由(x2)22(14x)及x0，得x6，所以y1416，y30.答案 304 等比数列an中，a11，an(n3,4，)，则an的前n项和为_解析 设anqn1，则由an，得q2，解得q1或q.所以an1或ann1，从而Snn或Sn.答案 n或5对正整数n，若曲线yxn(1x)在x2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列的前n项和为_解析由题意，得ynxn1(n1)xn，故曲线yxn(1x)在x2处的切线的斜率为kn2n1(n1)2n，切点为(2，2n)，所以切线方程为y2nk(x2)令x0得an(n1)2n，即2n，则数列的前n项和为222232n2n12.答案2n126在数列an中，若aap(n1，nN*，p为常数)，则称an为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的判断：若an是等方差数列，则a是等差数列；(1)n是等方差数列；若an是等方差数列，则akn(kN*，k为常数)也是等方差数列其中真命题的序号为_(将所有真命题的序号填在横线上)解析正确，因为aap，所以aap，于是数列a为等差数列正确，因为(1)2n(1)2(n1)0为常数，于是数列(1)n为等方差数列正确，因为aa(aa)(aa)(aa)(aa)kp，则akn(kN*，k为常数)也是等方差数列答案7设an是公比为q的等比数列，|q|1，令bnan1(n1,2，)，若数列bn有连续四项在集合53，23,19,37,82中，则6q_.解析由题意知an有连续四项在集合54，24,18,36,81中，四项24,36，54,81成等比数列，公式为q，6q9.答案98设Sn是等比数列an的前n项和，S3，S9，S6成等差数列，且a2a52am，则m_.解析(1)当公比q1时，29a13a16a1，则a10，舍去(2)当公比q1时，2，2q61q3，则2a2q6a2a2q3，即2a8a2a5，从而m8.答案89若数列an，bn的通项公式分别是an(1)n2 010a，bn2，且anbn对任意nN*恒成立，则常数a的取值范围是_解析由anbn，得(1)na2.若n为偶数，则a2对任意正偶数成立，所以a2；若n为奇数，则a2对任意正奇数成立，所以a2.故2a.答案10如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横纵坐标分别对应数列an(nN*)的前12项，如下表所示：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12x1y1x2y2x3y3x4y4x5y5x6y6按如此规律下去，则a2 009a2 010a2 011_.解析观察发现，a2nn，且当n为奇数时，a2n1a2n10，所以a2 009a2 010a2 01101 005.答案1 005二、解答题11定义一种新运算*，满足n*knk1(n，kN*，为非零常数)(1)对于任意给定的k值，设ann*k(nN*)，求证：数列an是等差数列；(2)对于任意给定的n值，设bkn*k(kN*)，求证：数列bk是等比数列；(3)设cnn*n(nN*)，试求数列cn的前n项和Sn.(1)证明因为ann*k(nN*)，n*knk1(n，kN*，为非零常数)，所以an1an(n1)*kn*k(n1)k1nk1k1.又kN*，为非零常数，所以an是等差数列(2)证明因为bkn*k(kN*)，n*knk1(n，kN*，为非零常数)，所以.又为非零常数，所以bk是等比数列(3)解cnn*nnn1(nN*，为非零常数)，Snc1c2c3cn0232nn1，当1时，Sn123n；当1时，Sn2233nn.，得Sn.综上，得Sn12已知在正项数列an中，a12，点An(，)在双曲线y2x21上，数列bn中，点(bn，Tn)在直线yx1上，其中Tn是数列bn的前n项和(1)求数列an的通项公式；(2)求证：数列bn是等比数列；(3)若cnanbn，求证：cn1cn.(1)解由已知点An在y2x21上知，an1an1，数列an是一个以2为首项，以1为公差的等差数列，ana1(n1)d2n1n1.(2)证明点(bn，Tn)在直线yx1上，Tnbn1，Tn1bn11(n2)，两式相减得bnbnbn1(n2)，bnbn1，bnbn1.令n1，得b1b11，b1，bn是一个以为首项，以为公比的等比数列(3)证明由(2)可知anbn(n1)，cn1cn(n2)(n1)(n2)3(n1)(2n1)0，cn1cn.13 已知数列an，anpnqn(p0，q0，pq，R，0，nN*)(1)求证：数列an1pan为等比数列；(2)数列an中，是否存在连续的三项，这三项构成等比数列？试说明理由(3)设A(n，bn)|bn3nkn，nN*，其中k为常数，且kN*，B(n，cn)|cn5n，nN*，求AB.解 (1)证明：anpnqn，an1panpn1qn1p(pnqn)qn(qp)0，q0，pq.q为常数，数列an1pan为等比数列(2)取数列an的连续三项an，an1，an2(n1，nN*)，aanan2(pn1qn1)2(pnqn)(pn2qn2)pnqn(pq)2，p0，q0，pq，0，pnqn(pq)20，即aanan2，数列an中不存在连续三项构成等比数列(3)当k1时，3nkn3n15n，此时AB；当k2时，3n2n5n，发现n1符合要求，下面证明唯一性(即只有n1符合要求)，由3n2n5n得nn1，设f(x)xx，则f(x)xx是R上的减函数，f(x)1的解只有一个，从而当且仅当n1时nn1，即3n2n5n，此时AB(1,5)；当k4时，3n4n5n，发现n2符合要求，同理可证明唯一性(即只有n2符合要求)，从而当且仅当n2时nn1，即3n4n5n，此时AB(2,25)，综上，当k1，k3或k5时，AB；当k2时，AB(1,5)，当k4时，AB(2,25)14 已知数列an满足：an1|an1|(nN*)(1)若a1，求a9与a10的值；(2)若a1a(k，k1)，kN*，求数列an前3k项的和S3k(用k，a表示)；(3)是否存在a1，n0(a1R，n0N*)，使得当nn0时，an恒为常数？若存在，求出a1，n0；若不存在，说明理由解 (1)a1，a2，a3，a4，a5，a6，所以a9，a10.(2)a1a，a2a1，akak1，ak1ak(0,1)，ak2k1a(0,1)，ak3ak，a3k1ak，a3kk1a，来源:所以S3kka12(k1)kk.(3)()当a10,1时，a21a1，此时，只需1a1a1，a1，所以a1，n01是满足条件的一组解；()当a11时，不妨设a1m，m1)，mN*，此时，a