一维势垒问题总结.doc

一维势垒中的透射系数利用传递矩阵方法研究了粒子在一维势垒中运动时的粒子的透射系数,主要研究的是在一个方势垒两个方势垒中透射系数，对以上的透射系数的总结，推出了对于任意势垒中透射系数， 并讨论了透射系数、反射系数与势垒宽度的关系. 一维方势垒势垒模型 在方势垒中，遇到的问题和值得注意的地方。在求方势垒波函数中，首先要知道这是一个什么样问题，满足什么样的方程，方程可以写成什么样的形式，在求解方程中，波函数的形式应该怎样需要怎样的分段，分段的过程中，特别要强调的边界条件问题。并且验证了概率流密度。在量子力学中，粒子在势垒附近发生的现象是不一样的，能量E大于势垒高度 的粒子在势垒中有一部分发生反射，而能量小于的粒子也会有部分穿过势垒，这在经典力学中是不会发生的。下面讨论的是一维散射（即在非束缚态下问题，在无穷远处波函数不趋于零）。重点讨论的是粒子通过势垒的透射和反射，重点在于求出波函数，这就必须求解薛定谔方程，由于是与时间无关的，此处是定态薛定谔方程。 定态薛定谔方程通式： 在量子力学里, 必须知道波函数, 因此必须要解薛定谔方程 一维散射问题是一个非束缚态问题(与时间无关, 而是正的).因此令 由此得到 按照势能的形式, 方程(2)一般需要分成几个部分求解.将上式改写成如下形式 先讨论的情形 粒子满足薛定谔方程分解为三个区域： （1） 特征方程的两个根 方程 的通解两个不相等的实根 两个相等的实根 一对共轭复根 注： 的通解:特征方程,当时，通解，当时，通解方程（1）的解可以表示为： （2）定态波函数再分别乘上一个含时间的因子，可以看到式子（2）的三式，第一项是左向右传播的平面波，第二项是由右向左传播的平面波，即入射波和反射波。在区域内，只有入射波，无反射波，故。利用波函数及其一阶导数在连续的边界条件，可得如下:这里的；由 得 （3） 由 （4）可以写成： （5） （6）由式（5）和式（6）得： （7）化解得： 注：概率流密度的定义；此处入射波，透射波，反射波，分别代入概率流密度 ;化简得：，同理，；注：透射概率流密度与入射概率流密度之比称为透射系数，即区域粒子在单位时间内流过垂直与x方向的单位面积的数目，与入射粒子在单位时间内流过垂直与x方向的单位面积的数目之比。从得出反射系数。 化简的 (8)同理透射系数T， （9）由上式R和T之和等于1，证实了入射粒子一部分透射到xa区域，另一部分被势垒反射。 （以后要重点关注共振点） 这里常在文献中涉及到是，当反射为零，透射系数为1，产生的共振，此时只有透射波没有反射波，这个理解为第一个界面反射的波和第二个界面反射的波相消干涉。即两个反射波之间有相位差。（这里也可以研究概率密度验证以上的结论）讨论的情形， 解： 其中；边界条件： Eu0,a=0.8nm,u0=3eV 无论是Eu0,还是Eu1，u2时； 解 令， 可求得： 即有此通式 注：上式作为通式很重要，一定要牢牢记住，可以为以后的计算省好多时间。这里通过化简可以得到（注：这里一定要认真化简，化成统一的形式） 透射系数 n=2,a1=0.4,a2=0.4,u1=u2=3eV;n=1,a=0.8,u1=3eV; n=2,a1=0.8,a2=0.,u1=u2=3ev,这里先是一个方势垒下透射系数，然后两个方势垒退化成一个方势垒是否正确有a1=0.8,a2=0时，或a1=a2=0.4.u1=u2时退化成方势垒。验证是正确的。在程序中我用的矩阵的形式，然后得出的是透射系数，但是我同时也把我自己化简的结果，直接求出的投射系数，然后带入之后，确定是正确，这感到很欣慰。这足以表明传递矩阵的方法在一个方势垒和两个方势垒是正确的。此外通过一个方势垒和两个方势垒已经能够得出任意势垒的传递矩阵下面进行验证。高斯势垒势垒模型此模型满足一维定态薛定谔方程： 假设能量为E一维空间运动的粒子从左边沿x方向入射，第i个势垒的势能函数为常数，势能表达式如下： 其中 是可调的参数，越大时，势垒越平滑，也就越低，越大是，势垒就越陡峭，就越大。先讨论的情形，这时能量为E的粒子满足定态薛定谔方程可依次写成如下形式：当x2a时，这个区域内透射波遇不到其他任何势垒不能发生发射只有向右传播的透射波， 此时满足薛定谔方程： 方程的解： 在区域0x0&a/n*x0.8*nm,/hba,a/n*x0.8*nm,/hba; Lx_=a/n*x; ZZ=1,0,0,1; Do Aj=1/(2*kj)*kj*E-I*kj*Lj,E-I*kj*Lj,kj*EI*kj*Lj,-EI*kj*Lj.EI*kj+1*Lj,E-I*kj+1*Lj,kj+1*EI*kj+1*Lj,-kj+1*E-I*kj+1*Lj; AA=ZZ.Aj; ZZ=AA; ,j,0,n,1; t=