二次函数复习回顾与思考.ppt

二次函数复习 编辑整理 冀老师 说一说 通过二次函数的学习 你应该学什么 你学会了什么 1 理解二次函数的概念 2 会用描点法画出二次函数的图象 3 会用配方法和公式确定抛物线的开口方向 对称轴 顶点坐标 4 会用待定系数法求二次函数的解析式 5 能用二次函数的知识解决生活中的实际问题及简单的综合运用 我思考 我进步 想一想 一 二次函数的定义 1 定义 一般地 形如y ax bx c a b c是常数 a 0 的函数叫做二次函数 2 定义要点 1 关于x的代数式一定是整式 a b c为常数 且a 0 2 等式的右边最高次数为2 可以没有一次项和常数项 但不能没有二次项 如 y x2 y 2x2 4x 3 y 100 5x2 y 2x2 5x 3等等都是二次函数 由 得 由 得 解 根据题意 得 1 抛物线 形如 y ax2 bx c a b c为常数 a 0 的函数叫二次函数 我思考 我进步 想一想 一 形如y ax2 a 0 的二次函数 向上 向下 X 0 0 0 我思考 我进步 想一想 X y o 1 1 y 4x2 2 2 y 2x2 3 3 y x2 4 4 y 0 5x2 X y O 5 6 7 8 5 y 4x2 6 y 2x2 7 y x2 8 y 0 5x2 我思考 我进步 想一想 你发现开口大小与谁有关 巩固练习1 1 抛物线y x2的开口向 对称轴是 顶点坐标是 图象过第象限 上 Y轴 0 0 1 2 1 业精于勤荒于嬉 小试牛刀 3 已知y nx2 n 0 则图象 过点A 2 3 填 可能 或 不可能 不可能 业精于勤荒于嬉 小试牛刀 二 形如y ax2 k a 0 的二次函数 X 0 0 c 我思考 我进步 想一想 x y o 1 2 1 2 y 2X2 y 2X2 1 y 2X2 2 y 2x2 1 y 2x2 2 Y ax2 k a 0 我思考 我进步 想一想 巩固练习2 1 抛物线y x2 3的开口向 对称轴是 顶点坐标是 是由抛物线y x2向平移个单位得到的 上 X 0 0 3 上 3 业精于勤荒于嬉 小试牛刀 2 已知抛物线y ax2 k的图象 如图 则a0 k0 若图象过A 0 2 和B 2 0 则a k 函数关系式是y 2 x2 2 三 形如y a x h 2 a 0 的二次函数 向上 向下 X h h 0 我思考 我进步 想一想 y 2x2 y 2 x 1 2 y 2 x 2 2 y 2 x 1 2 y 2 x 2 2 y a x h 2 a 0 我思考 我进步 想一想 练习巩固3 y 2 x 3 2的开口向 对称轴是 顶点坐标是 下 x 3 3 0 业精于勤荒于嬉 小试牛刀 2 如图是y a x h 2的图象 则a0 h0 若图象过A 2 0 和B 0 4 则a h 函数关系式是y 1 2 X 2 2 业精于勤荒于嬉 小试牛刀 四 形如y a x h 2 k a 0 的二次函数 a 0 a 0 x h h k 我思考 我进步 想一想 练习巩固4 1 抛物线y 2 x 1 2 2 1的开口向 对称轴 顶点坐标是 2 若抛物线y a x m 2 n开口向下 顶点在第四象限 则a0 m0 n0 上 X 1 2 1 2 1 业精于勤荒于嬉 小试牛刀 Y 2x2 Y 2 x 1 2 Y 2 x 1 2 2 Y a x h 2 k Y 2 x 1 2的图象可看作是由y 2x的图象经过怎样平移得到的 2 2 y 2x2 y 2x2 2 y 2 x 1 2 2 y a x h 2 k 观察y x2与y x2 6x 7的函数图象 说说y x2 6x 7的图象是怎样由y x2的图象平移得到的 y x2 6x 7 x2 6x 9 2 x 3 2 2 y ax2 y ax2 k y a x h 2 y a x h 2 k 上下平移 左右平移 上下平移 左右平移 结论 一般地 抛物线y a x h 2 k与y ax2形状相同 位置不同 各种形式的二次函数的关系 二 二次函数的图象及性质 当a 0时开口向上 并向上无限延伸 当a 0时开口向下 并向下无限延伸 0 0 0 c h 0 h k 直线 y轴 在对称轴左侧 y随x的增大而减小 在对称轴右侧 y随x的增大而增大 在对称轴左侧 y随x的增大而增大 在对称轴右侧 y随x的增大而减小 y轴 直线x h 直线x h x h时ymin 0 x h时ymax 0 x h时ymin k x h时ymax k 基础练习 1 由y 2x2的图象向左平移两个单位 再向下平移三个单位 得到的图象的函数解析式为 2 由函数y 3 x 1 2 2的图象向右平移4个单位 再向上平移3个单位 得到的图象的函数解析式为 y 2 x 2 2 3 2x2 8x 5 y 3 x 1 4 2 2 3 3x2 30 x 70 业精于勤荒于嬉 小试牛刀 二次函数y ax2 bx c与一元二次方程ax2 bx c 0的关系 抛物线y ax2 bx c与x轴交点的横坐标x1 x2是一元二次方程ax2 bx c 0的根 当 0时 抛物线与x轴没有交点 当 0时 抛物线与x轴只有一个交点 当 0时 抛物线与x轴有两个交点 且其解析式可写成两根式 y a x x1 x x2 抛物线与x轴的两个交点的距离公式 x1 x2 该公式推导方法有两种 一是求根公式 二是韦达定理 1 a决定了抛物线的 和 2 对称轴由 决定 3 c决定了图象与 轴的交点位置 开口方向 形状 a和b y 当a的绝对值相等时 其形状完全相同 当a的绝对值越大 则开口越小 反之成立 我思考 我进步 想一想 抛物线y ax2 bx c与y轴的交点的位置是由常数项c决定的 1 C 0抛物线与y轴相交于正半轴 2 C 0抛物线与y轴上正下负相交于原点 3 C 0抛物线与y轴相交于负半轴 抛物线y ax2 bx c的对称轴的位置是由a和b联合决定的 a与b同号对称轴在y轴的左侧 a与b异号对称轴在y轴的右侧 左同右异b 0对称轴就是y轴 b2 4ac 0抛物线与x轴有2个交点 b2 4ac 0抛物线与x轴有1个交点 b2 4ac 0抛物线与x轴没有交点 抛物线与x轴交点的个数由b2 4ac的符号决定 二次函数y ax2 bx c的值恒大于0 或恒小于0 的条件 y恒大于0a 0b2 4ac 0y恒小于0a 0b2 4ac 0 二次函数y ax2 bx c的顶点坐标是 顶点在x轴上 0即b2 4ac 0顶点在y轴上 0即b 0 二次函数y ax2 bx c a 0 的系数a b c与图象的关系 a决定开口方向 a 时 开口向上 a 时 开口向下 a b同时决定对称轴位置 a b同号时对称轴在y轴左侧a b异号时对称轴在y轴右侧b 时对称轴是y轴 c决定抛物线与y轴的交点 c 时抛物线交于y轴的正半轴c 时抛物线过原点c 时抛物线交于y轴的负半轴 二次函数的图象和性质总结 3 二次函数y ax2 bx c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2 bx c 0的根有什么关系 有两个交点 有两个不相等的实数根 b2 4ac 0 有一个交点 有两个相等的实数根 b2 4ac 0 没有交点 没有实数根 b2 4ac 0 我思考 我进步 想一想 3 说说下列二次函数的开口方向 对称轴 顶点坐标 y 2x2 4x 6 y x2 2x 1 解 y x2 2x 1 x 1 2 因为a 1 0 所以开口向上 对称轴 直线x 1 顶点坐标 1 0 解 y 2x2 4x 6 2 x2 2x 1 2 2 x 1 2 4 因为a 2 0 所以开口向下 对称轴 直线x 1 顶点坐标 1 4 业精于勤荒于嬉 小试牛刀 2 选择抛物线y x2 4x 3的对称轴是 A直线x 1B直线x 1C直线x 2D直线x 2 2 抛物线y 3x2 1的 A开口向上 有最高点B开口向上 有最低点C开口向下 有最高点D开口向下 有最低点 c B 业精于勤荒于嬉 小试牛刀 3 若y ax2 bx c a 0 与x轴交于点A 2 0 B 4 0 则对称轴是 A直线x 2B直线x 4C直线x 3D直线x 3 4 若y ax2 bx c a 0 与x轴交于点A 2 m B 4 m 则对称轴是 A直线x 3B直线x 4C直线x 3D直线x 2 C A 业精于勤荒于嬉 小试牛刀 中点公式 探究练习 1 若a 0 b 0 c 0 你能否画出y ax2 bx c的大致图象呢 要画出二次函数的大致图象 不但要知道a b c的符号 还必须明白b2 4ac的大小 因此第一个图是a 0 b 0 c 0 0的情况 第二 第三分别是 业精于勤荒于嬉 小试牛刀 2 已知y ax2 bx c的图象如图所示 a 0 b 0 c 0 abc 0b2a 2a b 0 2a b 0b2 4ac 0a b c 0 a b c 04a 2b c 0 业精于勤荒于嬉 小试牛刀 练习 1 二次函数y a x k 2 k a 0 无论k取什么实数 图象顶点必在 A 直线y x上B x轴上C 直线y x上D y轴上 2 若所求的二次函数的图象与抛物线y 2x2 4x 1有相同的顶点 并且在对称轴左侧 y随x的增大而增大 在对称轴右侧 y随x的增大而减小 则所求的二次函数的解析式为 A y x2 2x 4B y ax2 2ax a 3 a 0 C y x2 4x 5D y ax2 2ax a 3 a 0 A D 3 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象如图所示 则a b c的符号为 A a 0 b 0 c 0B a0 c0 b 0 c 0D a 0 b 0 c 0 C o C 5 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象如图所示 则a b c的符号为 A a0 c 0B a0 c0D a 0 b 0 c 0 6 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象如图所示 则a b c的符号为 A a 0 b 0 c 0B a0 c 0C a0 b 0 c 0 B A o 练习 5题图 6题图 7 二次函数y ax2 bx c a 0 的图象如上图所示 那么下列判断正确的有 填序号 abc 0 4a 2b c0 a b c0 4a 2b c 0 1 2 o 1 2 8 将函数y 2x2的图象向左平移3个单位 然后将图象绕顶点在原坐标系内旋转180 求旋转后图象对应的函数解析式 y 2 x 3 2 A B A B 对称是一种数学美 它展示出整体的和谐与平衡之美 抛物线是轴对称图形 解题中应积极捕捉 创造对称关系 以便从整体上把握问题 由抛物线捕捉对称信息的方式有 1 从抛物线上两点的纵坐标相等获得对称信息 2 从抛物线上两点之间的线段被抛物线的对称轴垂直平分获得对称信息 3 抛物线上两对称点坐标 对称轴 这三个条件中只要知道其中两个就可以求出第三个 刘老师语录形成天才的决定因素应该是勤奋 灵气和运气 2 已知抛物线顶点坐标 h k 通常设抛物线解析式为 3 已知抛物线与x轴的两个交点 x1 0 x2 0 通常设解析式为 1 已知抛物线上的三点 通常设解析式为 y ax2 bx c a 0 y a x h 2 k a 0 y a x x1 x x2 a 0 求抛物线解析式的三种方法 练习 四 填空 x 2 2 1 0 练习根据下列条件 求二次函数的解析式 1 图象经过 0 0 1 2 2 3 三点 2 图象的顶点 2 3 且经过点 3 1 3 图象经过 2 0 12 0 且最高点的纵坐标是3 Y 3 5x2 5 5x Y 2 x 2 2 3 4 图像经过 3 0 9 0 5 16 例1 已知二次函数y ax2 bx c的最大值是2 图象顶点在直线y x 1上 并且图象经过点 3 6 求a b c 解 二次函数的最大值是2 抛物线的顶点纵坐标为2又 抛物线的顶点在直线y x 1上 当y 2时 x 1即 顶点坐标为 1 2 设二次函数的解析式为y a x 1 2 2又 图象经过点 3 6 6 a 3 1 2 2 a 2 二次函数的解析式为y 2 x 1 2 2即 y 2x2 4x a 2 b 4 c 0 综合创新 1 已知抛物线y ax2 bx c与y x2 3x 7的形状相同 顶点在直线x 1上 且顶点到x轴的距离为5 请写出满足此条件的抛物线的解析式 解 抛物线y ax2 bx c和y x2 3x 7的形状相同 a 1或a 1又 顶点在直线x 1上 且顶点到x轴的距离为5 顶点为 1 5 或 1 5 所以其解析式为 1 y x 1 2 5 2 y x 1 2 5 3 y x 1 2 5 4 y x 1 2 5展开成一般式即可 2 若a b c 0 a 0 把抛物线y ax2 bx c向下平移4个单位 再向左平移5个单位所到的新抛物线的顶点是 2 0 求原抛物线的解析式 分析 1 由a b c 0可知 原抛物线的图象经过 1 0 2 新抛物线向右平移5个单位 再向上平移4个单位即得原抛物线 解 设新抛物线解析式为 y2 a x 2 2 将新抛物线向右平移5个单位 再向上平移4个单位即可得到原抛物线解析式为y1 a x 2 5 2 4即y1 a x 3 2 4 由a b c 0可知 原抛物线的图象经过 1 0 将该点坐标代入y1 a x 3 2 4中得 a 1 所以原抛物线解析式为 y x 3 2 4 x2 6x 5 练习1 已知抛物线y ax2 bx 1的对称轴是x 1 最高点在直线y 2x 4上 1 求抛物线解析式 2 求抛物线与直线的交点坐标 解 1 二次函数的对称轴是x 1 图象的顶点横坐标为1又 图象的最高点在直线y 2x 4上 当x 1时 y 6 顶点坐标为 1 6 设抛物线解析式为 y a x 1 2 6整理后得 y ax2 2ax a 6 a 6 1 b 2a a 7 b 14 y 7x2 14x 1 2 过程略交点坐标为 5 7 84 7 1 6 练习1 已知抛物线y ax2 bx 1的对称轴是x 1 最高点在直线y 2x 4上 1 求抛物线解析式 2 求抛物线与直线的交点坐标 解 1 二次函数的对称轴是x 1 图象的顶点横坐标为1又 图象的最高点在直线y 2x 4上 当x 1时 y 6 顶点坐标为 1 6 设抛物线解析式为 y a x 1 2 6整理后得 y ax2 2ax a 6 a 6 1 b 2a a 7 b 14 y 7x2 14x 1 2 过程略交点坐标为 5 7 84 7 1 6 2 已知抛物线y ax2 bx c与x轴正 负半轴分别交于A B两点 与y轴负半轴交于点C 若OA 4 OB 1 ACB 90 求抛物线解析式 解 点A在正半轴 点B在负半轴 OA 4 OB 1 点A 4 0 点B 1 0 又 ACB 90 OC2 OA OB 4 OC 2 点C 0 2 y 1 2 x 1 x 4 1 2x2 3 2x 2 3 已知二次函数y ax2 5x c的图象如图 1 当x为何值时 y随x的增大而增大 2 当x为何值时 y 0 3 求它的解析式和顶点坐标 解 1 x 2 5 2 1 x 4 3 过程略 y x2 5x 4 顶点坐标为 5 2 9 4 1 抛物线y x 3 2的开口方向 对称轴是 顶点坐标为 在对称轴左侧 即x时 y随x增大而 在对称轴右侧 即x时 y随x增大而 当x 时 y有最值为 2 函数y 5 x 3 2 2的图象可由函数y 5x2的图象沿x轴向平移个单位 再沿y轴向平移个单位得到 3 二次函数y a x k 2 k a 0 无论k取什么实数 图象顶点必在 A 直线y x上B x轴上C 直线y x上D y轴上 小检测 上 X 3 3 0 3 减小 3 增大 3 小 0 右 3 下 2 A 它的顶点坐标是 k k 它在直线y x上 5 函数y 2x2 8x 8的顶点坐标为 4 将函数y x2 2x化为y a x h 2 k的形式为 6 函数y 2x2 8x 8的对称轴为 7 若所求的二次函数的图象与抛物线y 2x2 4x 1有相同的顶点 并且在对称轴左侧 y随x的增大而增大 在对称轴右侧 y随x的增大而减小 则所求的二次函数的解析式为 A y x2 2x 4B y ax2 2ax a 3 a 0 C y x2 4x 5D y ax2 2ax a 3 a 0 Y x 1 2 1 2 0 X 2 D 8 若b 0 则函数y 2x2 bx 5的图象的顶点在 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 9 设抛物线y x2 4x c的顶点在x轴上 则c为 10 二次函数y ax2 bx c经过点 3 6 和 1 6 则对称轴为 11 如图 在同一坐标系中 函数y ax b与y ax2 bx ab 0 的图象只可能是 D 4 X 1 D 12 在同一直角坐标系中 一次函数y ax c和二次函数y ax2 c的图象大致为 B 13 已知二次函数y m 2 x2 m 3 x m 2的图象过点 0 5 1 求m的值 并写出二次函数的表达式 2 求出二次函数图象的顶点坐标 对称轴 14 某旅社有客房120间 每间客房的月租金为50元 每天都客满 旅社装修后要提高租金 经市场调查 如果一间客房的日租金增加5元 则客房每天出租会减少6间 不考虑其它因素 旅社将每间客房的日租金提高到多少元时 客房日租金的总收入最高 比装修前的日租金总收入增加多少元 1 m 3 y x2 6x 5 2 3 4 x 3 二次函数的应用 一 最大值问题1 最大利润问题 2 最大高度问题 3 最大面积问题 二 需建立坐标系的问题三 二次函数与一元二次方程 解 设旅行团人数为x人 营业额为y元 则y 例1 某旅行社组团去外地旅游 30人起组团 每人单价800元 旅行社对超过30人的团给予优惠 即旅行团每增加一人 每人的单价就降低10元 你能帮助分析一下 当旅行团的人数是多少时 旅行社可以获得最大营业额 答 当旅行社的人数是55人时 旅行社可以获得最大的营业额 最大利润问题 例1 某旅行社组团去外地旅游 30人起组团 每人单价800元 旅行社对超过30人的团给予优惠 即旅行团每增加一人 每人的单价就降低10元 你能帮助分析一下 当旅行团的人数是多少时 旅行社可以获得最大营业额 1 某商场销售某种品牌的纯牛奶 已知进价为每箱40元 要求每箱售价在40元 70元之间 市场调查发现 若每箱按50元销售 平均每天可售出90箱 价格每降低1元 平均每天多销售3箱 价格每升高1元 平均每天少销售3箱 1 写出售价x 元 箱 与每天所得利润w 元 之间的函数关系式 2 每箱定价多少元时 才能使平均每天的利润最大 最大利润是多少 自我检测 方法1 公式法 根据题意 h 5t2 v0t顶点的纵坐标为15 例2 竖直向上发射物体的高度h m 满足关系式h 5t2 v0t 其中t s 是物体运动的时间 v0 m s 是物体被发射时的速度 某公园计划设计园内喷泉 喷水的最大高度要求达到15m 那么喷水的速度应该达到多少 结果精确到0 01m s 答 喷水的速度应该达到17 32m s 最大高度问题 解 建立如图所示的坐标系 例6 一座抛物线型拱桥如图所示 桥下水面宽度是4m 拱高是2m 当水面下降1m后 水面的宽度是多少 结果精确到0 1m A 2 2 B X 3 方法1 解 如图 设矩形的一边AB xm 那么另一边BC 15 x m 面积为Sm2 则 例3 如图 假设篱笆 虚线部分 的长度是15m 如何围篱笆才能使其所围成矩形的面积最大 最大面积问题 方法2 解 如图 设矩形的一边AB xm 那么另一边BC 15 x m 面积为Sm2 则 例3 如图 假设篱笆 虚线部分 的长度是15m 如何围篱笆才能使其所围成矩形的面积最大 二次函数与一元二次方程 二次函数y ax2 bx c的图象和x轴交点有三种情况 有两个交点 有一个交点 没有交点 当二次函数y ax2 bx c的图象和x轴有交点时 交点的横坐标就是当y 0时自变量x的值 即一元二次方程ax2 bx c 0的根 有两个交点 有两个相异的实数根 b2 4ac 0 有一个交点 有两个相等的实数根 b2 4ac 0 没有交点 没有实数根 b2 4ac 0 二次函数y ax2 bx c的图象和x轴交点有三种情况 有两个交点 有一个交点 没有交点 当二次函数y ax2 bx c的图象和x轴有交点时 交点的横坐标就是当y 0时自变量x的值 即一元二次方程ax2 bx c 0的根 有两个交点 二次函数何时为一元二次方程 它们的关系如何 当y取定值时 二次函数即是一元二次方程 例7 一个足球从地面向上踢出 它距地面的高度h m 可以用公式来表示 其中t s 表示足球被踢出后经过的时间 图象如图所示 1 当t 1和t 2时 足球的高度分别是多少 2 方程的根的实际意义是什么 你能在图象上表示出来吗 3 方程的根的实际意义是什么 你能在图象上表示出来吗 解 1 当t 1时 即当t 1时 足球距离地面的高度是14 7m 当t 2时 即当t 2时 足球距离地面的高度是19 6m 2 是足球离开地面及落地的时间 3 是足球高度是14 7m时的时间 例7 一个足球从地面向上踢出 它距地面的高度h m 可以用公式来表示 其中t s 表示足球被踢出后经过的时间 图象如图所示 1 当t 1和t 2时 足球的高度分别是多少 2 方程的根的实际意义是什么 你能在图象上表示出来吗 3 方程的根的实际意义是什么 你能在图象上表示出来吗 2 是足球离开地面及落地的时间 14 某旅社有客房120间 每间客房的月租金为50元 每天都客满 旅社装修后要提高租金 经市场调查 如果一间客房的日租金增加5元 则客房每天出租会减少6间 不考虑其它因素 旅社将每间客房的日租金提高到多少元时 客房日租金的总收入最高 比装修前的日租金总收入增加多少元 解 设将每间客房的日租金提高到x元时 客房日租金的总收入为y元 则有 因此 当x 25时 w最大 6125元 6125 120 50 125 元 答 旅社将每间客房的日租金提高到75元时 客房日租金的总收入最高 比装修前的日租金总收入增加125元 例1 2010 武汉中考 某宾馆有50个房间供游客住宿 当每个房间的房价为每天180元时 房间会全部住满 当每个房间每天的房价每增加10元时 就会有一个房间空闲 宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用 根据规定 每个房间每天的房价不得高于340元 设每个房间的房价每天增加x元 x为10的正整数倍 1 设一天定住的房间数为y 直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围 2 设宾馆一天的利润为w元 求w与x的函数关系式 并求出x取何值时时y有最大利润 为多少 解 1 2 2 2 因此当x 160时 w最大 2880元 0 x 160 且x是10的正整数倍 因为180 x 340所以0 x 160 四 数形结合1 如图直线l经过点A 4 0 和B 0 4 两点 它与二次函数y ax2的图像在第一象限内相交于P点 若 AOP的面积为6 求二次函数的解析式 解 由已知 A 4 0 B 0 4 得直线AB的解析式为y x 4 作PE OA于E 则0 5OA PE 6 可得PE 3当y 3时 3 x 4 X 1 P 1 3 P在抛物线上 把x 1 y 3代入y ax2 得a 3 y 3x2 E 2 一个函数的图象是一条以y轴为对称轴 原点为顶点的抛物线 且经过点A 2 2 1 求这个函数的解析式 2 画出这个函数的图象 3 写出抛物线上与点A关于y轴对称的点B的坐标 并计算 ABO的面积 4 在抛物线上是否存在点C 使S ABC S OAB 如果存在写出点C的坐标 如果不存在说明理由 面积为4 存在点C 1 1 3 3 解 4 设C点的纵坐标为b AB 2 2 4 OAB面积 4则有 b 2 1即b 1或者b 3把y 1和y 3分别代入中 便得到C点坐标如下 3 如图 两条钢缆具有相同的抛物线形状 按照图中的直角坐标系 左面的一条抛物线可以用y