2020版高考数学二轮复习分层设计（全国I卷）学案：第二层提升篇专题六　函数与导数第4讲　导数的综合应用 Word版含解析(数理化网).doc

教学资料范本2020版高考数学二轮复习分层设计（全国I卷）学案：第二层提升篇专题六函数与导数第4讲导数的综合应用 Word版含解析(数理化网)编 辑：_时 间：_全国卷3年考情分析年份全国卷全国卷全国卷20xx利用导数研究函数的极值、零点问题T20利用导数研究函数的单调性、零点以及曲线的公切线问题T20利用导数研究函数的单调性、最值问题T2020xx利用导数研究函数的单调性、函数极值与不等式证明T21函数的单调性、不等式的证明、函数的零点问题T21导数在研究不等式及极值问题的应用T2120xx利用导数研究函数的单调性、函数的零点问题T21利用导数研究函数的单调性及极值、函数的零点、不等式的证明T21导数在研究函数单调性中的应用、不等式的放缩T21导数日益成为解决问题必不可少的工具.利用导数研究函数的单调性与极值(最值)是高考的常见题型.而导数与函数、不等式、方程等的交汇命题.是高考的热点和难点解答题的热点题型有：(1)利用导数研究函数的单调性、极值、最值；(2)利用导数证明不等式或探讨方程根；(3)利用导数求解参数的范围或值第1课时导数与不等式 例1(20xx湖北部分重点中学高三测试)设函数f(x)ax2aln x.g(x).其中aR.e2.718为自然对数的底数(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明：当x1时.g(x)0；(3)如果f(x)g(x)在区间(1.)内恒成立.求实数a的取值范围解(1)f(x)2ax(x0)当a0时.f(x)0时.由f(x)0得x.所以当x时.f(x)0.f(x)单调递增(2)证明：g(x).令s(x)ex1x.则s(x)ex11.当x1时.s(x)0.所以s(x)单调递增.又s(1)0.所以s(x)0.从而当x1时.g(x)0.(3)由(2)知.当x1时.g(x)0.当a0.x1时.f(x)a(x21)ln xg(x)在区间(1.)内恒成立时.必有a0.当0a1.由(1)知f0.所以此时f(x)g(x)在区间(1.)内不恒成立当a时.令h(x)f(x)g(x)(x1).当x1时.h(x)2axe1xx0.因此.h(x)在区间(1.)上单调递增又h(1)0.所以当x1时.h(x)f(x)g(x)0.即f(x)g(x)恒成立综上.实数a的取值范围为.解题方略证明单变量不等式的2种方法(1)利用单调性证明单变量不等式一般地.要证f(x)g(x)在区间(a.b)上成立.需构造辅助函数F(x)f(x)g(x).通过分析F(x)在端点处的函数值来证明不等式若F(a)0.只需证明F(x)在(a.b)上单调递增即可；若F(b)0.只需证明F(x)在(a.b)上单调递减即可(2)利用最值证明单变量不等式利用最值证明单变量的不等式的常见形式是f(x)g(x)证明技巧：先将不等式f(x)g(x)移项.即构造函数h(x)f(x)g(x).转化为证不等式h(x)0.再次转化为证明h(x)min0.因此.只需在所给的区间内.判断h(x)的符号.从而判断其单调性.并求出函数h(x)的最小值.即可得证多练强化1已知函数f(x)xln x.g(x)(x21)(为常数)(1)若曲线yf(x)与曲线yg(x)在x1处有相同的切线.求实数的值；(2)若.且x1.证明：f(x)g(x)解：(1)f(x)ln x1.g(x)2x.因为在x1处有相同的切线.所以f(1)g(1).则12.即.(2)证明：设函数h(x)xln x(x21).则h(x)ln x1x.设p(x)ln x1x.从而p(x)10对任意x1.)恒成立.所以当x1.)时.p(x)ln x1xp(1)0.即h(x)0.因此函数h(x)xln x(x21)在1.)上单调递减.即h(x)h(1)0.所以当.且x1时.f(x)g(x)成立2已知函数f(x)aexbln x.曲线yf(x)在点(1.f(1)处的切线方程为yx1.(1)求a.b；(2)证明：f(x)0.解：(1)函数f(x)的定义域为(0.)f(x)aex.由题意得f(1).f(1)1.所以解得(2)证明：由(1)知f(x)exln x(x0)因为f(x)ex2在(0.)上单调递增.又f(1)0.所以f(x)0在(0.)上有唯一实根x0.且x0(1.2)当x(0.x0)时.f(x)0.从而当xx0时.f(x)取极小值.也是最小值由f(x0)0.得ex02.则x02ln x0.故f(x)f(x0)e2ln x0x02220.所以f(x)0. 例2已知函数f(x)ln xax2x.aR.(1)当a0时.求函数f(x)的图象在(1.f(1)处的切线方程；(2)若a2.正实数x1.x2满足f(x1)f(x2)x1x20.证明：x1x2.解(1)当a0时.f(x)ln xx.则f(1)1.所以切点为(1.1).又f(x)1.则切线斜率kf(1)2.故切线方程为y12(x1).即2xy10.(2)证明：当a2时.f(x)ln xx2x.x0.由f(x1)f(x2)x1x20.得ln x1xx1ln x2xx2x1x20.从而(x1x2)2(x1x2)x1x2ln(x1x2).令tx1x2.则由(t)tln t.得(t)1.易知(t)在区间(0.1)上单调递减.在区间(1.)上单调递增.所以(t)(1)1.所以(x1x2)2(x1x2)1.因为x10.x20.所以x1x2成立解题方略证明双变量函数不等式的常见思路(1)将双变量中的一个看作变量.另一个看作常数.构造一个含参数的辅助函数证明不等式(2)整体换元对于齐次式往往可将双变量整体换元.化为一元不等式(3)若双变量的函数不等式具有对称性.并且可以将两个变量分离开.分离之后的函数结构具有相似性.从而构造函数利用单调性证明多练强化(20xx市诊断测试)已知函数f(x)2ln xx.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若a0.b0.证明：b0.则ln aln bln 2ln 1.所以ff(1)0.即f2ln0.所以.ln.令g(x)ln x.则g(x).当x(0.)时.g(x)0.即g(x)是(0.)上的增函数因为1.所以gg(1)0.所以ln.从而0.b0时. 例3已知函数f(x)xln x.若对于所有x1都有 f(x)ax1.求实数a的取值范围解法一：分离参数法依题意.得f(x)ax1在1.)上恒成立.即不等式aln x在x1.)恒成立.亦即a.x1.)设g(x)ln x(x1).则g(x).令g(x)0.得x1.当x1时.因为g(x)0.故g(x)在1.)上是增函数所以g(x)在1.)上的最小值是g(1)1.a1故a的取值范围是(.1法二：构造函数法 当x1时.有f(1)a1.即a10.得a1.构造F(x)f(x)(ax1)xln xax1.原命题等价于F(x)0在x1上恒成立F(x)min0.x1.)由于F(x)ln x1a0在 x1.)上恒成立.因此.函数F(x)在1.)上单调递增.所以F(x)minF(1)1a0.得a1.故a的取值范围是(.1解题方略分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路与关键(1)分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路用分离参数法解含参不等式恒成立问题是指在能够判断出参数的系数的正负的情况下.可以根据不等式的性质将参数分离出来.得到一个一端是参数.另一端是变量表达式的不等式.只要研究变量表达式的最值就可以解决问题(2)求解含参不等式恒成立问题的关键是过好“双关”转化关通过分离参数法.先转化为f(a)g(x)(或f(a)g(x)对xD恒成立.再转化为f(a)g(x)max(或f(a)g(x)min)求最值关求函数g(x)在区间D上的最大值(或最小值)问题多练强化(20xx江西省五校协作体试题)已知函数f(x)ln xa(x1)(aR)(1)若a2.求曲线yf(x)在点(1.f(1)处的切线方程；(2)若不等式f(x)0.f(x)在(1.)上单调递增.当x1时. f(x)f(1)0.a0不合题意当a2.即01时.f(x)1时.f(x)f(1)0.a2满足题意当0a1时.由f(x)0.结合x1可得1x.由f(x).f(x)在上单调递增.在上单调递减.ff(1)0.0a2不合题意综上所述.实数a的取值范围是2.). 例4已知函数f(x)xaln x.g(x)(aR)若在1.e上存在一点x0.使得f(x0)g(x0)成立.求a的取值范围解依题意.只需f(x0)g(x0)min0.x01.e即可令h(x)f(x)g(x)xaln x.x1.e.则h(x)1.令h(x)0.得xa1.若a11.即a0时.h(x)0.h(x)单调递增.h(x)minh(1)a20.得a2；若1a1e.即0a2.x(0.e1)与h(x)0不符.故舍去若a1e.即ae1时.h(x)在1.e上单调递减.则h(x)minh(e)ea.令h(e)e1成立综上所述.a的取值范围为(.2).解题方略不等式能成立问题的解题关键点多练强化已知a为实数.函数f(x)aln xx24x.(1)若x3是函数f(x)的一个极值点.求实数a的值；(2)设g(x)(a2)x.若存在x0.使得f(x0)g(x0)成立.求实数a的取值范围解：(1)函数f(x)的定义域为(0.).f(x)2x4.x3是函数f(x)的一个极值点.f(3)0.解得a6.经检验.当a6时.x3是函数f(x)的一个极小值点.符合题意.故a6.(2)由f(x0)g(x0).得(x0ln x0)ax2x0.记F(x)xln x(x0).则F(x)(x0).当0x1时.F(x)1时.F(x)0.F(x)单调递增F(x)F(1)10.a.记G(x).x.则G(x).x.22ln x2(1ln x)0.x2ln x20.当x时.G(x)0.G(x)单调递增G(x)minG(1)1.aG(x)min1.故实数a的取值范围为1.)第2课时导数与函数的零点问题 例1(20xx全国卷)已知函数f(x)sin xln(1x).f(x)为f(x)的导数证明：(1)f(x)在区间存在唯一极大值点；(2)f(x)有且仅有2个零点证明(1)设g(x)f(x).则g(x)cos x.g(x)sin x.当x时.g(x)单调递减.而g(0)0.g0.可得g(x)在有唯一零点.设为.则当x(1.)时.g(x)0；当x时.g(x)0.所以g(x)在(1.)单调递增.在单调递减.故g(x)在存在唯一极大值点.即f(x)在存在唯一极大值点(2)f(x)的定义域为(1.)当x(1.0时.由(1)知.f(x)在(1.0)单调递增.而f(0)0.所以当x(1.0)时.f(x)0.故f(x)在(1.0)单调递减又f(0)0.从而x0是f(x)在(1.0的唯一零点当x时.由(1)知.f(x)在(0.)单调递增.在单调递减.而f(0)0.f0.所以存在.使得f()0.且当x(0.)时.f(x)0；当x时.f(x)0.故f(x)在(0.)单调递增.在单调递减又f(0)0.f1ln0.所以当x时.f(x)0.从而.f(x)在没有零点当x时.f(x)0.所以f(x)在单调递减而f0.f()0.所以f(x)在有唯一零点当x(.)时.ln(x1)1.所以f(x)0.从而f(x)在(.)没有零点综上.f(x)有且仅有2个零点解题方略判断函数零点个数的思路判断函数在某区间a.b(a.b)内的零点的个数时.主要思路为：一是由f(a)f(b)0及零点存在性定理.说明在此区间上至少有一个零点；二是求导.判断函数在区间(a.b)上的单调性.若函数在该区间上单调递增或递减.则说明至多只有一个零点；若函数在区间a.b(a.b)上不单调.则要求其最大值或最小值.借用图象法等.判断零点个数多练强化(20xx广东省七校联考)已知函数f(x)ln xax.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当a0.f(x)在(0.)上单调递增；当a0.f(x)单调递增.在上.f(x)0.f(x)单调递减综上.当a0时.f(x)在(0.)上单调递增；当a0时.f(x)在上单调递增.在上单调递减(2)由(1)可知.当a0时.f(x)在上单调递增.在上单调递减故f(x)maxf ln1.当ln1.即a时.f 1.即a0.令0b1且b.则ln b0.f(b)ln babln b0.故f(b)f 0.则在(e.)上.g(t)10.故g(t)在(e.)上单调递减.故在(e.)上.g(t)g(e)2e0.则f 0.故f f 0.f(x)在上有一个零点故f(x)在(0.)上有两个零点综上.当a时.函数f(x)没有零点；当a时.函数f(x)有一个零点；当a0时.函数f(x)有两个零点. 根据函数零点的个数确定参数的取值范围例2已知函数f(x)xexa(x1)2.(1)若ae.求函数f(x)的极值；(2)若函数f(x)有两个零点.求实数a的取值范围解(1)由题意知.当ae时.f(x)xexe(x1)2.函数f(x)的定义域为(.).f(x)(x1)exe(x1)(x1)(exe)令f(x)0.解得x1或x1.当x变化时.f(x).f(x)的变化情况如下表所示：x(.1)1(1.1)1(1.)f(x)00f(x)极大值极小值e所以当x1时.f(x)取得极大值；当x1时.f(x)取得极小值e.(2)法一：分类讨论法f(x)(x1)exa(x1)(x1)(exa).若a0.易知函数f(x)在(.)上只有一个零点.故不符合题意若a0.当x(.1)时.f(x)0.f(x)单调递增由f(1)0.当x时.f(x).所以函数f(x)在(.)上有两个零点若ln a1.即0a0.f(x)单调递增；当x(ln a.1)时.f(x)0.f(x)单调递减又f(ln a)aln aa(ln a1)21.即a.当x(.1)(ln a.)时.f(x)0.f(x)单调递增；当x(1.ln a)时.f(x)0.f(x)单调递减又f(1)0.所以函数f(x)在(.)上至多有一个零点.故不符合题意综上.实数a的取值范围是(.0)法二：数形结合法令f(x)0.即xexa(x1)20.得xexa(x1)2.当x1时.方程为e1a0.显然不成立.所以x1不是方程的解.即1不是函数f(x)的零点当x1时.分离参数得a.记g(x)(x1).则g(x).当x1时.g(x)1时.g(x)0.函数g(x)单调递增当x0时.g(x)0；当x时.g(x)0；当x1时.g(x)；当x时.g(x).故函数g(x)的图象如图所示作出直线ya.由图可知.当a0时.直线ya和函数g(x)的图象有两个交点.此时函数f(x)有两个零点故实数a的取值范围是(.0)解题方略利用函数零点的情况求参数范围的方法(1)分离参数(ag(x)后.将原问题转化为yg(x)的值域(最值)问题或转化为直线ya与yg(x)的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解；(2)利用零点的存在性定理构建不等式求解；(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题.从而构建不等式求解多练强化(2019江西八所重点中学联考)已知函数f(x)axa1(其中a为常数.且aR)(1)若函数f(x)为减函数.求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)有两个不同的零点.求实数a的取值范围.并说明理由解：(1)f(x)axa1.f(x)a.若函数f(x)为减函数.则f(x)0对x(0.)恒成立.即a对x(0.)恒成立设m(x).则m(x).令m(x)0.得xe.可得m(x)在区间上单调递减.在区间上单调递增.m(x)minm.a.即ae3.故实数a的取值范围是(.e3(2)易知函数f(x)的定义域为(0.).f(x).可设h(x)ax2(a1)xln x.则函数f(x)有两个不同的零点等价于函数h(x)有两个不同的零点h(x)ax(a1).当a0时.函数h(x)在区间(0.1)上单调递减.在区间(1.)上单调递增.h(x)在(0.)上有最小值.为h(1)若函数h(x)有两个不同的零点.则必有h(1)a12.此时. 在x(1.)上有h(2)2a2(a1)ln 22ln 20.在x(0.1)上.h(x)a(x22x)xln x.1x22xaxln x.haealnea0.h(x)在区间(0.1).(1.)上各有一个零点.故a2符合题意当a1时.h(x)0.函数h(x)在区间(0.)上单调递减.函数h(x)至多有一个零点.不符合题意当1a0.函数h(x)至多有一个零点.不符合题意；当a0.函数h(x)至多有一个零点.不符合题意综上所述.实数a的取值范围是(2.). 例3(20xx陕西榆林一模)已知函数f(x)x22.(1)已知函数g(x)f(x)2(x1)aln x在区间(0.1)上单调.求实数a的取值范围；(2)函数h(x)ln(1x2)f(x)k有几个零点？解(1)函数f(x)x22.g(x)x22xaln x.又函数g (x)在区间(0.1)上单调.当0x1时.若g(x)单调递增.则g(x)2x220恒成立.即a2x22x2恒成立m(x)2在区间(0.1)上单调递减.2x22xm(1)4.a4.综上可得.实数