关于几类不等式的推广-论文.doc

关于几类不等式的推广【摘要】不等式是可以将两个解析式连接起来所成的式子，其在一个式子中是数的关系，不全是等号，含不等符号的式子，那它就是一个不等式.例如x+yxy，-2x1，x0 ，xx是超越不等式。不等式分为严格不等式与非严格不等式。一般地，用纯粹的大于号、小于号“”“”连接的不等式称为严格不等式，用不小于号（大于或等于号）、不大于号（小于或等于号）“”(大于等于符号)“”(小于等于符号)连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。通常不等式中的数是实数，字母也代表实数，不等式的一般形式为F(x，y，z)G(x，y，z )（其中不等号也可以为 中某一个），两边的解析式的公共定义域称为不等式的定义域，不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。【关键词】柯西不等式、排序不等式1 引言：不等式的推广是代数中的一个重要内容，不等式的证明也是常见的问题，在高等数学中起到重要作用，在数学分析等中都有涉及，这就使得不等式的问题在数学中尤为重要，并且不等式也是数学高考、数学考研考试的热点之一，不等式的推广对发展我们数学思维能力，培养逻辑思维能力起着非常重要的作用，不等式的证明同大多数高难度数学问题一样，没有固定的模式，证法因题而异。下面我们将介绍两种不等式（柯西不等式、排序不等式）的证明以及推广。2（1）设，是两个平面向量，则|证明：当，中有一个或两个为0时，等号显然成立 当，都不为0时，设与中的夹角为（0） 则|=|cos|=|cos| 等号成立的条件为|cos|=1下面推广到：平面中的n个向量1 n，有|1i2R i|1|n|证明：当1n中至少有一个为0时，等号显然成立 当1n都不为0时，则（i）若n=2k（k=1,2）时， 柯西不等式 令i与i+1的夹角为i（iN）|1i2R i|=|1|2R|cos1|cosR|而|cos1|，|cos2|，|cosk|1|1i2R i|1in |i| 当且仅当（|cos1|=|cosR|=1）时等号成立；（ii）若n=2k-1，kN时，设n=（x，y）|1i2k-1i|=（|1|2k-2|cos1|cosk-1|x）2+（|1|2k-2|cos1|cosk-1|y）2=（|1|2k-2|cos1|cosk-1|）x2+y2=|1|2k-2|cos1|cosk-1|2k-1|1in |i|当且仅当（|cos1|=|cosk-1|=1时等号成立设x1，x2，y1，y2R，x12+y12+x22+y22（x1-x2）2+（y1-y2）2证明：设A（x1，y1） B（x2，y2），x1，x2，y1，y2R则如上图：OA=x12+y12OB=x22+y22AB=（x1-x2）2+（y1-y2）2显然若A、B两点都不为（0，0）时，OA+OBAB若A、B两点中至少有一个为（0，0），则OA+OB=AB综上所述：x12+y12+x22+y22（x1-x2）2+（y1-y2）2下面推广到：设xi，yiR（iN），则有 （1）x12+y12+x22+y22+x32+y32（x1-x2-x3）2+（y1-y2-y3）2（2）x12+y12+x22+y22+x32+y32+x42+y42（x1-x2-x3-x4）2+ （y1-y2-y3-y4）2 。i=1nxi2+yi2x12-(i=2n xi)2+ y1-(i=2n yi)2设a,b,cR+,且abc,则2/（a+b）+2/(b+c)+2/(a+c)9/(a+b+c)证明：a,b,c R+,且abc，则2（a+b+c）1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c)=( a+b)+ (b+c)+ (a+c) 1/(a+b)+1/(b+c)+1/(a+c)(1+1+1)2=92/（a+b）+2/(b+c)+2/(a+c)9/(a+b+c)下面将此不等式推广：a1,a2,anR+,且a1a2an.则有i=2n1/(ai-1+ai)(n-1)2/(a1+an+2i=2n-1ai)证明：(a1+an+2i=2n-1ai)= i=2n1/(ai-1+ai)，则(a1+an+2i=2n-1ai) (i=2n1/(ai-1+ai)= i=2n1/(ai-1+ai)i=2n1/(ai-1+ai)=(1+1+1)2=（n-1）2以上即为柯西不等式和排序不等式两种类型的不等式的推广。从中我们可以发现