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文档简介

数学归纳法 像这种由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法 通常叫做归纳法 1 在等差数列中 已知首项为 公差为d 2 粉笔盒内的粉笔是什么颜色的 完全归纳法 结论 盒内粉笔都是白色的 不完全归纳法 1 不完全归纳法有利于发现问题 但结论不一定正确 2 完全归纳法结论可靠 但一一核对困难 例 说明 由两种归纳法得出的结论一定正确吗 想一想 问题情境三 多米诺骨牌课件演示 问题情境三 如何解决不完全归纳法存在的问题呢 如何保证骨牌一一倒下 需要几个步骤才能做到 1 处理第一个问题 相当于推倒第一块骨牌 2 验证前一问题与后一问题有递推关系 相当于前牌推倒后牌 对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有关自然数的数学命题我们常采用下面的方法来证明它们的正确性 1 证明当n取第一个值n0 例如n0 1 时命题成立 2 假设当n k k N k n0 时命题成立证明当n k 1时命题也成立 这种证明方法叫做数学归纳法 一 数学归纳法的定义 原理 分析 综 1 2 知命题成立 即 2 假设当时命题成立 即成立吗 那么当时命题成立吗 1 当时 成立吗 根据 1 2 知当对任意的命题成立 1 当时 左边 右边 证明 命题成立 2 假设当时命题成立 即 那么当时 即当时命题成立 依据 结论 二 数学归纳法的步骤 根据 1 2 知对任意的时命题成立 注 1 证明当取第一个值或时结论正确 两个步骤缺一不可 仅靠第一步不能说明结论的普遍性 仅有第二步没有第一步 就失去了递推的依据 只有把第一 二步的结论结合在一起才能得出普遍性结论 因此完成一二两步后 还要做一个总的结论 3 数学归纳法用来证明与正整数有关的命题 1 2 三 数学归纳法的应用举例 1 3 5 2n 1 例1 用数学归纳法证明 n2 即当n k 1时等式也成立 根据 1 和 2 可知 等式对任何都成立 证明 1 3 5 2k 1 2 k 1 1 那么当n k 1时 2 假设当n k时 等式成立 即 1 当n 1时 左边 1 右边 1 等式成立 假设 利用假设 练习 用数学归纳法证明 3 1 n 2 n N 过程中 由 n k 变到 n k 1 时 不等式左边的变化是 练习 1 用数学归纳法证 D 2 用数学归纳法证 n 2 n N 过程中 由 n k 变到 n k 1 时 左式所需添加的项数为 项 项 项 项 归纳法 由特殊到一般 是数学发现的重要方法 数学归纳法的原理与科学性 基础正确 可递推 数学归纳法的步骤
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