北师版数学八上第二章第二节平方根（2）.doc

北师大版数学八年级上册第二章第二节 平方根（2）山东省济南市历城区第六中学 彭年泰课堂实录：师：上课生：老师好师：同学们好，请坐。师：上节课我们学习了算术平方根，那么9的算术平方根是多少？生：9的算术平方根是3.师：为什么?生:32=9.师：还有其它的数，它的平方也是9吗？生：（-3）2=9师：我们将这两个式子合在一起就得到（3）2=9师：平方是 的数有几个，是多少？生：（ ）2 =师：谁的平方等于0.64生：（0.8）2=0.64师：上节课我们知道了32=9，3称为9的算术平方根，（3）2=9，3称为9的什么呢？这就是我们今天要学习的平方根。师：大家看一下什么叫平方根？师：如果一个数x的平方等于a,即x2=a 那么这个数x叫做a的平方根，也叫做a的二次方根。师：让我们求一下下列各数平方根：64生：8师：怎样表达？生：（8）=264 64的平方根是8师：非常好。生：（ ）2= 的平方根是 师：对不对？生：对生：（0.2）=20.04 0.04的平方根是0.2师：非常好。生：0=20 0的平方根是0师：那么0有几个平方根呢？生：一个。师：是几呢？生：0师：让我们再看一下-4的平方根是多少？生：此处有疑问，学生陷入思考。师：大家可以讨论一下。生：热烈讨论。师：哪个小组同学能回答一下-4的平方根？生：-4没有平方根。师：为什么？你是怎样想的？生：没有一个数的平方是负数，正数的平方是正数，0的平方是0，负数的平方还是正数，所以负数没有平方根。师：大家说他说的对不对？生：对。师：一个实数到底有几个平方根？举例说明，小组交流生：热烈讨论。师：参与学生讨论，指导学生对实数进行分类。生：正数有两个平方根，0有一个平方根，负数没有平方根师：你能举例说明吗？生：4的平方根是2有两个，0的平方根就是0有1个，没有一个数平方等于负数，所以负数没有平方根。师：刚才这位同学运用了什么是数学思想？生：分类讨论的思想。师：非常好。师：上节课我们知道32=9，9的算术平方根是3，用数学符号怎样表示呢生：师：那么9的平方根怎样表示呢？师：让我们一起来表示一个正数a的平方根对于正数a有_2_个平方根，一个是a的算术平方根记作_ ，另一个是a的算术的平方根的相反数记作_，这两个平方根合起来可以记作_ ，读作“正负根号a ”。师：9的平方根怎样用符号表示？生：师：x2=a a的平方根怎样表示？生：师：学习数学要注重符号意识。师：现在我们做两个练习，49的平方根是多少？生：7师：怎样表示？生：师：3的平方根表示为什么？生：师：小学学习了平方，今天我们运用平方去求平方根，这种运算我们成为开平方。师：开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方.师：观察：从左到右为何种运算？生：第一个是平方运算。第二个是开平方运算。师：（1）2=1 （2）2=4 （3）2=9生：第二个是开平方运算。师：1的平方根是1，,4的平方根是2，9的平方根是3师：可见平方与开平方的运算互为_生：平方与开平方的运算互为逆运算。师：根据我们学习的开方运算做几个练习题。（1）下列各数是否有平方根，请说明理由。生：（-3）2=9，所以9的平方根是3师：很好。生:02=0，所以0的平方根是0师：对不对？生：对。师：-32表示什么意义？等于多少？生：3的平方的相反数师：有没有平方根？生：-32=-9，所以- 32没有平方根师：很好。师：10-6是不是负数？生：不是？是106的倒数师： 10-6的平方根是多少？生：10-3的平方等于10-6 所以10-6的平方根是10-3师：（2） 下列说法对不对？为什么？ 2是4的平方根生：不是，应该是2。师：那我们看一下定义，什么叫平方根。如果一个数x的平方等于a, 即x2=a，那么这个数x叫做a的平方根。师：这里22=4，那么2是4的平方根吗？生：是。师：如果(-2)2=4, 那么-2是4的平方根吗？生：是。师：如果(2)2=4, 那么2是4的平方根吗？生：是。师：反过来4的平方根是2，对吗？生：不对，应该是2。师：很好，我们来看下一题。一个正数有两个平方根a和b，则a+b=0生：正确。因为正数有两个平方根，它们互为相反数。师：能不能举例说明？生：4的平方根是2,2（2）=0生：25的平方根是5,5（5）=0生：25的平方根是5,5（5）=0师：11的平方根是多少？和为几？生： ，和为0师： 对不对？生：不对，应该是3.师：为什么？生： 是9的算术平方根，应该为3， 师：非常好，平方根和算术平方根到底有什么区别和联系呢？大家先独立思考后小组交流。生：讨论，教师指导。师：正数a的平方根与正数a的算术平方根有什么区别和联系呢?生：正数a的平方根有两个，正数a的算术平方根有一个。师：这叫什么不同？生：数量不同。生：平方根包含算术平方根。师：这是说的平方根与算术平方根的联系，很好，区别是什么？生：符号不同，平方根的符号是正负根号，算术平方根的符号是根号。师：为什么平方根与算术平方根的个数与符号不同，终归是定义不同。什么是平方根，什么是算术平方根，看一下黑板。师：根据我们学习的只是做一下练习2，说出下列各式的意义,并计算。生：表示169的平方根是13师：对不对？生：对生：表示144分值49的算术平方根，等于12分之7.生：表示64的负的算术平方根师：我们还可以说成什么？生：64的负的算术平方根的相反数，等于-8.师：很好。生：=4，表示16的算术平方根。师：大家对平方根和算术平方根掌握的很好。现在大家思考一下下面问题。生：独立完成后小组交流讨论。师：教师指导，让同学表达思考过程。师：生：等于9师：为什么？生：9的算术平方根是3,3的平方是9。师：生：等于 ，因为 的算术平方根是 ， 的平方是师：非常好，那么 等于多少？ 生：7.2师： 的结果你能算出来吗？生：不能。师：那么 你是怎样想的？生：根据定义我们知道一个数的平方等于a，这个数叫a的平方根，记作根号a如果是一个正数的平方等于a，我们把这个正数叫a的算术平方根，这里根号7.2的意义就是7.2的算术平方根，也就是这个正数的平方是7.2.师：这位同学非常好，但是可能大家觉得他说的有点绕口，我觉的他的表达中最关键的是根据定义，根号7.2代表一个正数，这个正数的平方是7.2.师：还有没有别的解释方法？ 生：我觉的7.2的算术平方根又叫2次方根，再平方他就和二次方根约了。师： 怎么就约了呢？ 生：抵消了。师： 我觉得非常好。我们黑板上有很重要的一句话，叫什么？生：开平方和平方互为逆运算。师：开平方和平方互为逆运算，就是你所谓的约了，准确数学语言是开平方和平方互为逆运算。又回到了7.2.师：对于正数a, 生：a师：怎样解释。 生：开平方和平方互为逆运算。师：很好，还可以怎样解释。 生：有难度，师：教师引导。根号a代表一个正数x的平方等于a,这个正数x就等于根号a,所以根号a的平方等于a.回到定义。师：大家能不能举个例子说明这个问题。 生：根号3的平方是3生：根号4的平方等于4师： 对于任意实数a这个式子都成立吗？ 师:刚才我们列举了正数的例子是可以的，还有没有别的数？ 生：有，0师：0的时候成立吗？ 生：成立，根号0的平方等于0.师：负数呢？生：不行。师：根号-4的平方等于-4成立吗？ 生：不行。师：为什么？ 生：负数没有平方根，也没有算术平方根。师：这个式子成立，a应该满足什么条件。 生：a应该大于等于0.师：我突然想到 ，它和刚才的式子不是一样的吗？想一想，这两个式子一样吗？如果不一样，到底哪里不一样。小组讨论。生 ：式子 中的a有取值范围，a不能取负数，只能大于等于0。所以 的值等于a.而 的可以取任意实数。师：举个例子说明一下。当a=-3时生： 而 根号-3括起来的平方无意义。师：为什么它们的取值范围不同呢？生：因为运算顺序不同。 先算的是算术平方根而后算的是平方，而 先算的是平方而后算的算术平方根。师：非常好。运算顺序不同，取值范围不同，结果相同吗？师： 的结果能不能是a 生：能。师： 对不对。生：不对。师：为什么？生：因为算术平方根都是正数。师：算术平方根都是正数吗？生：还有0师：我们规定0的算术平方根是0所以 不能等于-3，应该等于3师：那么 的结果应该等于多少呢？生：a的绝对值师：非常好。师：学习了本节课你有哪些收获？生：我知道了什么是平方根和算术平方根。还有平方根和算术平方根的区别和联系师：区别是什么，联系是什么？生：区别是定义不同，个数不同，符号不同。联系是平方根包含算术平方根。师：还有没有？生：我知道了平方根的性质。正数有两个平方根，它们互为相反数。0有一个平方根，负数没有平方根，师：这个地方我们运用了什么思想。生：分类讨论的数学思想。师：还有没有？生：我还知道了开平方，开平方和平方互为逆运算。师：非常好。下面我们做几个测试题检验一下大家学习情况。先独立完成，小组交流。师：好，我们来看第一个。生：一个数的平方根是-7，则它的另一个平方根是7， 这个数是49.师：对不对。生：对。师： 的平方根是它本身.生：0师：生：-0.4师：生：0.8师