MATLAB第章 振动ppt课件.ppt

第七章动力学与振动 7 1轨迹7 2单自由度系统7 3多自由度系统 第7章振动 7 1轨迹 举例说明 重力场中有两个物体 其中质量为m2的物体固定 而质量为m1的物体绕m2做平面圆周运动 做圆周运动的m1物体的轨道半径用变量r表示 角度用变量 表示 两物体系统 卫星绕地球转动时 m2等于地球的质量 m1等于卫星的质量 r为卫星球心与地球球心间的距离 其运动轨迹由下列方程组决定 引入状态变量 第7章振动 建立函数文件orbit mfunctionxd orbit t x xd x 2 x 1 x 4 2 4 0 pi 2 x 1 2 x 4 2 0 x 2 x 4 x 1 三组初始条件 t 0 由初始条件建立执行文件menu71 minitcond 2001 5 1002 pi 2004 tspan linspace 0 5 1000 options odeset RelTol 1e 6 AbsTol 1e 61e 61e 61e 6 lintype fori 1 3 t x ode45 orbit tspan initcond i options polar x 3 x 1 lintype 2 i 1 1 2 i holdonendtext 0 5 1 2 椭圆轨迹 text 1 2 1 圆轨迹 text 1 75 2 双曲线轨迹 第7章振动 运行结果 第7章振动 第7章振动 7 2单自由度系统 一 概述 1 力学模型 其中 振体质量为m 弹簧的线性系数为k 非线性系数为 阻尼系数为c 外力F t 弹簧 质量 阻尼系统 2 运动微分方程 第7章振动 用x表示系统的位移 则运动微分方程为 引入新变量转化状态空间方程形式 二 线性系统的自由振动 1 运动微分方程 当线性项为0时 得到线性振动系统的自由振动方程 2 MATLAB求解 对应的函数文件FreeOcillation mfunctionxdot FreeOcillation t x dummy zeta xdot x 2 2 0 zeta x 2 x 1 第7章振动 三种阻尼系数 1 阻尼系数为0 1时是欠阻尼情况 2 阻尼系数为1时是临界阻尼情况 3 阻尼系数为5时是过阻尼情况 由初始条件 位移和速度均为1时 建立执行文件menu72 mzeta 0 11 05 0 tspan linspace 0 40 400 lintype b r r fori 1 3 t x ode45 FreeOcillation tspan 11 zeta i subplot 2 1 1 plot t x 1 lintype 2 i 1 1 2 i holdonsubplot 2 1 2 plot x 1 x 2 lintype 2 i 1 1 2 i holdonendsubplot 2 1 1 第7章振动 xlabel Time tau ylabel Displacementx tau title Displacementasafunctionof tau axis 040 2 02 0 text 2 7 1 3 阻尼系数 0 1 text 3 6 0 1 1 0 text 3 6 1 0 5 0 subplot 2 1 2 xlabel Displacement ylabel Velocity title Phaseportrait axis 2 02 0 2 02 0 text 0 7 1 25 阻尼系数 0 1 text 0 8 0 65 1 0 text 0 8 0 1 5 0 运行结果 第7章振动 第7章振动 三 线性系统的强迫振动 1 运动微分方程 2 MATLAB求解 对应的函数文件ForceOcillation mfunctionxdot ForceOcillation t x dummy zeta Omega x0 xdot x 2 2 0 zeta x 2 x 1 x0 cos Omega t 为了获得频谱图 建立函数文件AmplitudeSpectrum mfunction f amplitude AmplitudeSpectrum yy Fs Nstart N f Fs 0 N 1 N 2 0 pi amplitude abs fft yy Nstart Nstart N N N 采样速率30 6000 0 005 则采样频率1 0 005 200 这个频率远远超出了必须达到的采样频率 结果显示截短频谱图 需设置Nstart 3200 N 2 11 2048 t 0 0 001 0 6 x sin 2 pi 50 t sin 2 pi 120 t y x 2 randn size t plot y 1 50 title SignalCorruptedwithZero MeanRandomNoise xlabel time seconds 第7章振动 fft的应用 Fft变换程序 Y fft y 512 Pyy Y conj Y 512 f 1000 0 256 512 plot f Pyy 1 257 title Frequencycontentofy xlabel frequency Hz 第7章振动 时域运行结果 频域运行结果 编制执行文件menu72f mzeta 0 4 Omega 3 0 x0 50 tspan linspace 0 30 6000 options odeset RelTol 1e 8 AbsTol 1e 8 lintype b t x ode45 ForceOcillation tspan 00 options zeta Omega x0 subplot 2 1 1 plot t x 1 axis 030 88 holdonsubplot 2 1 2 第7章振动 yy x 1 N 2048 Nstart 3200 Fs 200 f Amplitude AmplitudeSpectrum yy Fs Nstart N semilogy f 1 40 2 Amplitude 1 40 xlabel Frequency ylabel Amplitude title Responsespectrumofalinearsystem holdonsubplot 2 1 1 xlabel Time tau ylabel Displacementx tau title Responseofalinearsystem holdon 第7章振动 运行结果 第7章振动 频率响应阶跃响应脉冲响应 Bode函数 g tf 10 17 5 10 12900 bode g 第7章振动 第7章振动 bode g 0 1 100 nyquist g impulse g 脉冲响应 step g 阶跃响应 一 建立系统的运动微分方程 1 用刚度影响系数法建立振动微分方程 可简写为 第7章振动 7 3自由振动模态及固有频率 例 三质量m1 m2 m3串联于弹簧k1 k2 k3上 试列出自由振动微分方程 解 求刚度系数 给x1以单位位移 x2与x3保持不动 即x1 1 x2 x3 0 要产生这样的位移状态 在各点加的力就是k11 k21 k31 显然有 k11 k1 k2 k21 k2 k31 0 得到第一列 再令x2 1 x1 x3 0 则有k12 k2 k22 k2 k3 k32 k3 第7章振动 于是得到刚度矩阵 由于系统有对应于广义坐标x1 x2 x3的集中质量 故质量矩阵是对角阵 于是得到自由振动微分方程 第7章振动 2 用柔度影响系数法建立振动微分方程 柔度影响系数法就是力法 它所建立方程是各点的位移协调方程 柔度影响系数cij定义 在j点作用有单位力 而其他各点没有力 所引起i点的位移 从右图看出 当j点作用单位力时 在梁上各点产生的位移c1j c2j cij cnj 我们暂时不管其他点 只研究i点引起位移cijPj 同样 在1点加力P1 在i点产生位移ci1 P1 这就是i点的位移协调方程 用同样方法可以得到梁上各点的位移协调方程 设在力系P1 P2 Pn作用下i点的位移是yi 那么必有 同样 在2点加力P2 在i点产生位移ci2 P2 同样 在j点加力Pj 在i点产生位移cij Pj 同样 在n点加力Pn 在i点产生位移cin Pn 第7章振动 写成矩阵形式 1 其中 称为柔度矩阵 由功的互等定理可知cij cji 因此 c 是对称矩阵 我们前边讲过 自由振动时 即 第7章振动 于是 1 式可写成 此即用柔度影响系数法建立的多自由度系统自由振动微分方程 或简写成 2 第7章振动 讨论 就是说 刚度矩阵和柔度矩阵是互为逆矩阵 1 2 式可写成 等式两边同乘 则 即 与前边得到的比较 可见 按逆阵性质 第7章振动 2 方程 2 与建立的方程形式不同 实质是一样的 解 首先计算柔度系数 用莫尔法 例 一悬臂梁 固定三个集中质量 梁的抗弯刚度EI为常数 梁质量不计 求 试用柔度系数法列微分方程 单位 长度 力 注 1 Mi 在i加单位力的弯矩方程 Mj 在j加单位力的弯矩方程 2 原公式中号指弯矩方程不连续时 分段积分后求和 第7章振动 于是 第7章振动 故柔度矩阵为 即 自由振动微分方程 第7章振动 关于固有频率及固有振型的概念 我们已经学习过 研究多自由度系统的这些固有特征时 采用矩阵为数学工具 二 固有频率与固有振型 注意 对于一个正定系统 即系统没有刚体位移 用上述各种方法建立微分方程都可以 有时用柔度系统法更为方便 但对于半正定系统 系统有刚体位移 则柔度系统没有意义 加单位力后系统不能维持平衡而产生刚体运动 只能用形如 M y k y 0 那样的方程 第7章振动 对于有n个自由度q1 q2 qn的系统 其自由振动微分方程的一般形式是 或写成矩阵形式 这是一组二阶常系数 线性常微分方程 设系统偏离平衡位置作自由振动时 存在各qi按同一频率 同一相位 作简谐振动的特解 1 第7章振动 这是一组关于振幅A1 A2 An的线性齐次代数方程组 要使A1 A2 An有非零解 零解对应不振动 必有系数行列式为零 即 代入方程组 1 消去公因子后 得 2 或 第7章振动 或 此即多自由度系统的特征方程 或称频率方程 在这个方程中 kij mij都是已知的 未知的只有 展开后是一个关于 2的n次代数方程 从中可以求得 2的n个根 这些根就是系统的固有频率 由小到大排列 1 2 n叫做基阶 二阶 n阶固有频率 第7章振动 把每一个固有频率例如 代回方程组 2 就可以求得该阶固有振型 这里解释一下 在二自由度系统时 求得了固有频率 1 2之后 把 1 或 2 代回振型方程组求该阶振型时 是代回两个方程中的任意一个 求得 及 就是说 振型方程组的两个方程不独立 而是线性相关 对于多自由度系统 也是一样 因为振型方程组 2 的系统行列式为零 即 就说明矩阵的秩r n 至少有一个方程与其他方程线性相关 我们在求固有振型时 应划出一个方程 例如最后一个 而把剩下的n 1个方程中某一项移到等式右边 例如把A1项移过去 那么解出的A2 A3 An都包含A1 也就是说 求出了A2 A3 An各自对A1的比值 那么它们之间的比值自然也就确定了 第7章振动 即该阶固有振型 显然 代回我们设的特解 注 上标 1 表示第一阶振型 或 第1阶主振动 第7章振动 第1阶振型 同样 当把 2 3 n分别代入振型方程 2 时 可求得其他各阶固有振型 即 就是说 当系统按第一阶固有频率作振动时 各点振幅之间具有确定的比值 而且系统各点之间在任一瞬时也具有同样确定的比值 这说明系统有一定的振动形态 称为第一阶固有振型 第2阶振型 第n阶振型 于是也可写出各阶主振动 第7章振动 方程 1 的通解是这n个主振动的叠加 写成矩阵形式 3 式中共有2n个特定常数 及 注 对于每一阶振型来说 各阶振幅之间比值已定 只要知道其中一个就可求得其他振幅 所以 每一振型中只有一个待定振幅 这些常数由初始条件 t 0时的及 来确定 第7章振动 由 3 式可见 具有n个自由度的无阻尼系统自由振动一般由n个不同频率的主振动组成 在每一主振动中 系统各点的位移始终保持一定的比例关系 等于各点振幅之比 即系统有一定的振动形态 称为主振型 或固有振型 可以任取出其中一点的振幅 例如A1 等于1 使其标准化 这样的振型 称为标准化了的固有振型 解 取三个扭转角 1 2 3为广义坐标 例一 悬臂轴抗扭刚度GJ 质量不计 其上固定三个圆盘 转动惯量是I 求 系统的固有频率 固有振型 第7章振动 代入拉氏方程 得系统自由振动微分方程 第7章振动 或写成矩阵形式 把得到的 M k 矩阵代入振型方程 注 或设 设 则上式成为 注 可以直接代入频率方程 第7章振动 频率方程 由一元三次方程求根公式解得 展开为 1 0 198 2 1 555 3 3 247 代入式中 求得三个固有频率 第7章振动 代回振型方程中的前二个 用 把A3移到方程右端 将上面求得的 1 2 3分别代入 就得到三个固有振型 取A1 1 即对标准化 得 即 第7章振动 第7章振动 编制m文件 k 2 10 12 1 0 11 m 100 010 001 vibrationmode eigenvalues eig k m v1 vibrationmode 1 v2 vibrationmode 2 v3 vibrationmode 3 b1 v1 v3b2 v2 v3b3 v3 v3fori 1 3subplot 3 1 i plot 0123 0b3 i b2 i b1 i holdonend 运行结果 第7章振动 应用MATLAB求解 建立系统的运动微分方程 在前一节看到 为了求多自由度系统的固有频率和固有振型 必须解高次代数方程 频率方程或称特征方程 其次数与系统自由度数目一致 当自由度数增加时 解次数很高的代数方程 是很困难的 所以一般用近似的数值方法 这里介绍的是一种数值方法 矩阵迭代法 多自由度相同自由振动微分方程一般形式 设特解为 第7章振动 三 用矩阵迭代法求固有频率和固有振型 代入方程得振型方程 用 k 1前乘各项 移项后得到 引入符号 动力矩阵 就得到迭代格式 振型方程 对于一个给定的系统 动力矩阵 D 是可知的 矩阵迭代法就是用逐次迭代 逐次逼近的方法求解振型方程 以确定特征值和特征向量 固有振型 A 第7章振动 集中质量法概念 第7章振动 例 集中质量法求简支梁的模态 力学模型 有一简支梁 其上有一个附加质量 位置和尺寸均在图上标注 梁长L 2m 截面尺寸b h为0 04m 0 02m 截面惯性矩为2 67 密度为7920kg 质量块的质量M为3 0kg弹性模量E 210GPa 离散 第7章振动 一 力学模型及集中质量法简化 质量矩阵 柔度矩阵 矩阵 称作系统的动力矩阵 第7章振动 二 MATLAB计算 m 100 01 940 001 h 0 00000195 3 186 b 9117 111611 7119 f h b a f m d 111 fori 1 16 y a d d 1 y 3 1 y endv ds m y 第7章振动 w1 1 sqrt s 3 1 subplot 3 1 1 plot 02 00 holdonplot 00 511 52 0v 1 1 v 2 1 v 3 1 0 p v m v q v v m j a s 3 1 p q d 11 1 x 1 d fori 1 16 y j d l y i d 1 y 3 1 y end 第7章振动 v ds m y w2 1 sqrt s 3 1 subplot 3 1 2 plot 02 00 holdonplot 00 511 52 0v 1 1 v 2 1 v 3 1 0 q v v m r j s 3 1 p q d 1 11 x 1 d fori 1 16 y r d l y i d 1 y 3 1 y end 第7章振动 v ds m y w3 1 sqrt s 3 1 subplot 3 1 3 plot 02 00 holdonplot 00 511 52 0v 1 1 v 2 1 v 3 1 0 运行结果 第7章振动 四 强迫振动及减振器 第7章振动 m 5010 k 20040 c 106 N m 2 c 2 k 2 c 2 k 2 D m 1 m 2 c 1 c 2 m 2 c 2 m 1 k 1 k 2 m 2 k 2 m 1 c 1 c 2 k 1 c 2 c 1 k 2 k 1 k 2 sy tf N D y t impulse transferab m k c 20 y t impulse sy 20 subplot 2 1 1 plot t y 1 1 ylabel x 1 t title impulseresponseofm 1 subplot 2 1 2 plot t y 2 1 xlabel timet ylabel x 2 t title impulseresponseofm 2 编制MATLAB文件 运行结果 第7章振动 减振器 求m1上施加一外力时 物体m1和m2位移的频率响应函数 程序如上 k 20040 c 106 omega 0 0 0 005 4fori 1 2ifi 1sys tf 1 m 1 c 1 k 1 mag phas bode sys om