数学联想在高等数学教学中的几个应用.pdf

1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 第21卷第3期甘肃联合大学学报 自然科学版 Vol 21 No 3 2007年5月Journal of Gansu Lianhe University Natural Sciences May 2007 收稿日期 2006212218 基金项目 浙江省2006年教育规划课题 SW24 杭州师范学院第五批教改立项 J501 作者简介 叶立军 19692 男 浙江建德人 杭州师范学院副教授 硕士 主要从事数学教育研究 文章编号 16722691X 2007 0320087204 数学联想在高等数学教学中的几个应用 叶立军 杭州师范学院 数学系 浙江 杭州310012 摘 要 探讨了数学联想方法在高等数学教学中的几个应用 以说明数学联想在教学中的重要意义 关键词 联想 归纳 类比 中图分类号 G642 文献标识码 B 著名的科学家牛顿曾经说过 没有大胆的猜 想 就做不出伟大的发现 1 猜想是一种高级的 创造性思维形式 数学中的猜想一般是通过观察 分析发现某些类似的性质 进而对命题的结论做 出假设或推测 并借助于归纳 类比等重要方法 去发现解决问题的新途径 事实上 猜想是合情推理的最普遍 最重要的 一种 2 归纳 类比等数学方法都包含有猜想的成 分 而把猜想运用于开放性教学中 不仅为学生的 思维提供了更加广阔的时间和空间 也使学生有 更多自主探究的机会 从而提高学生学习数学的 积极性 使学生更愿意学数学 想数学 做数学 从 而发现数学 通过类比而产生联想 这就需要学习者培养 自己具有联想的习惯 古希腊哲学家亚里士多德 在 记忆与联想 一书中指出 我们的思维是从与 正在寻求的事物相类似的事物 相反的事物 或者 与它相接近的事物开始进行的 以后 便追寻与它 相关联的事物 由此而产生联想 2 还有一些问 题 通过联想 类比 归纳可以加以推广 深化 从 而得到新的结论 联想是数学问题求解过程中不 可或缺的重要思维途径 也是数学发现的重要方 法 前苏联教育心理学家克鲁捷茨基认为 数学 能力就是用数学材料去形成概括的 简短的 灵活 可逆的数学联想能力 因此 在解题教学中强化 联想意识 掌握联想方法意义十分重要 1 意义联想 所谓意义联想 指的是由问题中的条件 结论 所反映出的概念引起它们具体意义的联想 一切 理解了的概念在思维中都与一定的意义相联系 着 这种思维联系形成了思维通道 从而有利于联 想的出现 如果这种意义还和问题解决的具体方 法相联系 那么问题便能迎刃而解 其思维传导程 序如框图1所示 箭头表示联想的思维联系 下 同 图1 例1 设A B C D是n阶方阵 其中 A 0 且AC CA 证明 AB CD AD CB 证明 先证 A0 CB A B A是r阶矩阵 B是s阶矩阵 且n r s A0 CB A0 0I I0 CI I0 0B 所以 A0 CB A0 0I I0 CI I0 0B A B 再证 AB CD I0 CA 1 I AB CD AB 0D CA 1 B 所以 AB CD A D CA 1 B AD ACA 1 B AD CAA 1 B AD CB 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 从证明过程中可看到 题中已知条件是A可 逆 且AC CA 其中AC CA是必不可少的 那 么A是可逆矩阵这一条件是不是必要的呢 现 在去掉这一条件 来证明这个问题 证明 当A不可逆时 考察矩阵 A kE 由 于A至多有n个特征值 所以除了这些值以外的 任意k都使得 A kE 0 即 A kE 为可逆矩 阵 于是用 A kE 代替上一个例题中的可逆矩 阵A 即 A kEB CD A kE D CB AD CB kD 由于上式等号两边都是关于k的n次多项 式 它们相等说明这两个多项式有完全相同的项 即对于任意k 等式成立 取k 0 即 AB CD AD CB 高等代数 课后习题有这样一个问题 设 W1 W2 Wr是有限维向量空间V的真子空 间 证明 存在向量 V 使得 Wi i 1 2 r 就这个问题而言 是否存在V的基 而基中每 一向量都不属于Wj j 1 2 r 2 目标联想 所谓目标联想 是人们在研究问题时 目标成 为一种思维导向 激励思维产生追求 因此 目标 能促使思维在脑海中进行广泛的搜索 从而可能 出现与现实目标所需要的有关联想 这里所谓的 有关联想 是主观意识中的 由问题的局部 或 全部 所引起的那些联想 主要包括有关概念 有 关公理 定理 有关解题策略等 这些内容是否真 正符合实现目标的客观需要 还要经过实际的检 验 其思维过程如图2所示 当然 目标所涉及的对象只有在被理解了的 前提下才能在思维中引起目标意思 因此目标联 想往往与意义联想交织在一起 例2 设W1 W2 Wr是有限维向量空间 V的真子空间 证明 存在V的基 1 2 n 使得 i不属于Wj i 1 2 n j 1 2 r 证明 当r 1时 设dimW1 s 1 2 s 为W1的基 扩充成V的基 1 s n 其中 s 1 n不属于W1 所以 1 n s n s 1 n 为所求的基 假定r 1时命题成立 即存在V的基 1 2 n 其中 i不属于Wj i 1 2 n j 1 2 r 1 因为Wr为V的真子空间 不妨设 1 s属于Wr s 1 s 1 n不属于Wr 因 为 i i 1 2 n W1 W2 Wr 1 n Wr 所以存在k1 使得 1 k1 n不属于W1 W2 Wr 存在k2使得 2 k2 n不属于W1 W2 Wr 存在ks 使得 s ks n不属于W1 W2 Wr 所以 1 k1 n 2 k2 n s ks n s 1 n 为所求的基 对于这类问题 还可以联想地提出以下问题 推广 设W1 W2 Wr是有限维欧氏空间 V的真子空间 证明 存在V的标准正交基 e1 e2 en 使得ei不属于Wj i 1 2 n j 1 2 r 证明 当r 1时 设 e1 e2 es 为W1的 标准基 扩充成V的标准基 e1 e2 en 使得 es 1 en不属于W1 令 1 e1 en 2 e2 e1 en 3 e3 2e2 e1 en 4 e4 6e3 2e2 e1 en j ej e1 en 6 j 1 i 2 aiei j 3 4 n 其中 ai a2i 1 ai 1 a1 0 a2 2 以上构造了一系列正交基 1 2 n 是V 的基 且 i W1 i 1 2 n 再令 i i i i 1 2 n 则 1 2 n 是V的标准正交基 且 W1 i 1 2 n 假设r 1时命题成立 即存在V的标准基 e1 e2 en 其中ei Wj j 1 2 r 1 由 于Wr是V的真子空间 不妨设e1 e2 es Wr s 1 而es 1 en Wr 则存在k1使得 1 k1e1 en Wj j 1 2 r 存在k2使得 2 k2e2 k1e1 k21en Wj j 1 2 r 存在k3使 得 3 k3e3 k21 k41 k2 e2 k1e1 k21en Wj j 1 2 r j kjej k1e1 k21en 6 j 1 i 2aiei j 3 4 n 其中ai 1 ki a 2 i 1 ki 1ai 1 a 1 0 88 甘肃联合大学学报 自然科学版 第21卷 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved a2 k21 k41 k2 不难证明 1 2 n 是V的一系 列正交基 且 i Wj i 1 2 n j 1 2 r 再令 i i i i 1 2 n 则 1 2 n 是V的标准正交基 且 i Wj i 1 2 n j 1 2 r 著名的数学家波利亚说 数学既要教证明 又要教猜想 在教学过程中 教师不能照本宣 科 应尽力创设充满求知欲望的教学情境 提出富 于启发性的问题 鼓励学生去探索 去发现 去猜 想 从而使学生在 开放 的环境中主动 愉快地学 习知识 3 形似联想 所谓形似联想 指的是在数学问题的研究过 程中 图 数 式的某种形象 生动的形态被人所感 知 从而导致类似问题解决方案的联想 形似 的 形除了指形状之外 更广泛的是指其形态或特征 其框图如下 图3 如上例中 可以提示学生作出这样的联想 把 有限个子空间联想到可数个子空间 得到以下命 题 例3 V为不可数数域F上的n维线性空 间 求证 可数个真子空间不能覆盖它 证明 设V1 Vi 为V的真子空间 现 证明 x使x Vi i 1 2 首先n 1时 结 论成立 因而设n 1 且设 e1 e2 en 为V的 基 作S e1 ke2 k n 1 en k F3 F3为 F中非零元素之集合 F3不可数 作 F3 S k e1 ke2 k n 1 en 易证 为一个一一映 射 从而S为不可数的 由于Vi为S的真子空 间 S中的元素在Vi中的不超过n个 否则 a1 e1 k1e2 k n 1 1en an e1 kne2 k n 1 nen k i彼此不同 因系数行列式不为零 故得ej Vi j 1 2 n 所以Vi V 矛盾 这样 我们将属Vi的元 素设为ai1 aik1 则可有 a11 a12 a1k1 a21 a2k2 共有可数个 因而S中有x使x Vi i 1 2 4 意愿联想 意愿联想 即由推理的意愿引发的联想 推理 的意愿可以引起联想 这是因为推理的意愿可以 激发主观能动性 而思维活动是受主观能动性控 制的 有了推理的主观要求 就有可能出现有关内 容的联想 其思维传导过程如图4所示 图4 如由上例可以联想到下面两个推论 推广1 设V为不可数数域F上的n维线性 空间 有可数个真子空间V1 V2 求证 V中有 基 而基向量中每一个均不在Vi中 i 1 2 证明 同上题作S e1 ke2 k n 1 en k F3 这里e1 en为V的基 n 2 我们知 道S不可数 由上题知 含在Vi i 1 2 中有 可数多个 因而可得到 1 e1 k1e2 kn 1 1en n e1 kne2 kn 1 nen 不在Vi中i 1 2 k i kj i j 而 1 n 线性无关 从而 1 n为所求的基 推广2 设V为n维欧氏空间 V1 V2 为 V的可数个真子空间 则存在一个标准正交基 使 其基向量中任一个均不在Vi i 1 2 中 证明 由例2知 存在单位向量e1 使e1 V1 V2 Vs 然后再扩充成V的标准正交基 e1 e2 en 令 S ke1 e2 k R 3 含有不可数个元素 k1 k2时 k1e1 e2与 k2e1 e2不同时在Vi之中 否则e1 Vi 矛盾 因 而S中最多有可数个 k1e1 e2 k2e1 e2 kie1 e2 其中任一元素在某一个Vi之中 同样令 S1 e1 k e2 k R 3 S1中最多可数个 e1 k1 e2 e1 k2 e2 e1 ki e2 中任一个在某一 Vi之中 从而 k 使ke1 e2 e1 ke2 V1 V2 而又 ke 1 e2 e1 ke2 0 然后再单位化得 到 1 2 由 1 2扩充成V的标准正交基 1 2 3 s 令 S2 k 1 a3 k R 3 S2 1 k 3 k R 3 同上 可得到l R 3 使l 1 3 1 l 3 V1 Vi 而l 1 3 1 l 3彼此正交 然后 98第3期 叶立军 数学联想在高等数学教学中的几个应用 1994 2010 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 单位化得到 1 2 3 这里 3 2 这样做下去可 得到一标准正交基 基中每一个向量均不在中Vi i 1 2 总之 联想不仅是一种重要的数学发现方法 也是一种重要的学习方法 这一方法不但可帮助 我们由已知推出未知 获得新知识 而且对于启发 人们的思维能起到举一反三 触类旁通的作用 因 此 在今天大力提倡数学开放性教学的同时 教师 要不断总结自身教学实践 提高知识水平和教学 素养 在数学教学中重视教给学生一些比如猜想 类比和归纳等重要的学习方法 参考文献 1 波利亚 数学与猜想 第1卷 M 北京 科学出版 社 2001 2222 2 赵振威 中学数学方法指导 上 M 北京 科学出版 社 1988 300 The Foundation of Mathematical Discovering2guess YE L i2jun Department of Mathematics Hangzhou Teachers College Hangzhou 310012 China Abstract Guess is one of the most general and important methods in reasonable reasoning It plays an important rule in arousing students enthusiasm for mathematics The students even more like study think do and discover mathematics Key words guess induction analogy 上接第86页 则