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第三章 刚体定轴转动的基本定律 39 第三章 刚体定轴转动的基本定律 第三章 刚体定轴转动的基本定律 刚体是一个特殊的质点系统 但我们仍然可以运用质点的运动的规律加以研 究从而使牛顿力学的研究范围从质点扩展到刚体 3 1 转动动能 转动惯量转动动能 转动惯量 计划学时 2 计划学时 2 一 转动动能一 转动动能 刚体以角速度 转动时 刚体上不同的质点的线速度并不相同 我们找任意 一个质点i 其质量为 i m 定轴转动的半径为 i r 则该质点的动能 2 22 2 1 2 1 iiii rmvm 则刚体的转动动能就是所有质点动能之和 2 22 k 2 1 2 1 i ii i ii rmvmE 基本概念 转动惯量 质量密度 重点 掌握 掌握 基本关系或规律 刚体转动动能的描述 掌握 任务目标 1 理解质点系和质量连续分布刚体转动惯量的计算形式 2 理解常见物体对不同轴的转动惯量的推到 并牢记牢记细棒对中心轴和端点 轴 圆环对中心轴和直径轴 薄圆盘对中心轴的转动惯量 3 了解平行轴定理和垂直轴定理 作业 物理教研室 Lyon 40 我们定义 i iir mI 2 为转动惯量 则刚体的转动动能 2 k 2 1 IE 我们把转动动能和平动动能相比较 2 k 2 1 mvE v Im 可见 在 平动中 我们用质量m来描述物体的惯性 在转动中 我们用转动惯量 moment of inertia I来描述转动物体的惯性 转动惯量的国际单位是 2 mkg 思考 孙悟空在耍金箍棒时 一般会手持什么地 方 手持中间部位与手持一端 用同样力作用 达到 的转动速度相同吗 video 4m50s 惯性大小可以衡量一个物体的运动状态是否容易改变 对于平动 只用质量 的大小即可 但对于转动 即使质量相同的物体 如果形状不同 质量分布不同 转动状态是否容易改变也是不同的 所以 转动的惯量 1 与质量有关 2 与质量对转轴的分布有关 即形状 转轴位置 二 转动惯量的计算二 转动惯量的计算 1 计算公式 计算公式 对于质点系 i iir mI 2 对于质量连续分布 m mrId 2 2 质量密度 质量密度 a 线密度 质量沿线分布 线的长度远远大于线截面的直径 Dl l m d d 若均匀分布 有 l m b 面密度 质量分布在一个平面内 面的线度远远大于面的厚度 hl S m d d 若均匀分布 有 S m c 面密度 质量分布在三维立体内 V m d d 若均匀分布 有 V m 在今后的学习中 我们还会学习到电荷密度的概念 也会涉及到上述三种密 第三章 刚体定轴转动的基本定律 41 度分布 一定要领会好上述密度的概念 3 应用举例 应用举例 a 两质点组成的体系的转动惯量 此模型属于质点系 则 22 22 2 22 2 11 2 sinsinsinmllmlm rmrmrmI i ii b 均匀细杆的转动惯量 设细杆的质量为m 长度为l 质量属 于连续分布 则质量线密度 l m 我们取 一小段质元 质量为md 长度为xd x l m xmddd 我们分析如下三种情形 1 转轴通过细杆中心且与细杆垂直 2 2 2 3 2 2 22 12 1 3 ddmlx l m x l m xmxI l l l l m 2 转轴位于细杆一端且与细杆垂直 2 0 3 0 22 3 1 3 ddmlx l m x l m xmxI l l m 3 转轴通过距离细杆中心h处一点 且 与细杆垂直 22 2 2 3 2 2 22 12 1 3 dd mhml x l m x l m xmxI h l h l h l h l m 在此 给出平行轴定理 设刚体绕通过其质心的转轴的转动惯量为 0 I 如果 有另一条轴线与这个通过质心的轴线平行 且两轴线间的距离为h 则通过这个新 转轴的转动惯量 2 0 mhII c 均匀圆环的转动惯量 物理教研室 Lyon 42 设圆环的质量为m 半径为R 质量属于连续分布 则质量线密度 R m 2 我们取一小段质元md 其长度为l d 则 d 2 d 2 dd m l R m lm 我们分析如下两种情形 1 转轴通过圆环中心且与圆环所 在平面垂直 我们选取的质元md与转轴的 距离总是R 则 222 ddmRmRmRI mm 2 转轴通过圆环中心且在圆环所在平面内 我们选取的质元md到转轴的距离为是 sinR 而 d 2 d m m 则 2 d 2 cos2 1 2 d 2 sindsin 2 2 0 2 2 0 2222 mRmRm RmRI m 我们看到 如果在 1 的情形下 如果以圆心为原点 圆环所在平面为xOy平 面 则 222 yxR 则 yx 222 z dddIImymxmRI mmm 在此 我们给出垂直轴定理 如果一刚体质量分布在xOy平面内 有 yxz III d 均匀薄圆盘绕过其圆心的垂直轴的转动惯量 设圆盘的质量为m 半径为R 质量属 于连续分布 则质量面密度 2 R m 我们 取一同心小圆环作为微元进行研究 距离圆 心r 宽 度rd 则 这 个 圆 环 的 面 积 rrSd2d 其质量为 rr R m rr R m Smd 2 d2dd 22 则这个微元圆环的转动惯量为 rr R m mrId 2 dd 3 2 2 则整个圆盘的转动惯量 第三章 刚体定轴转动的基本定律 43 2 0 3 2 2 1 d 2 dmRrr R m II R e 球壳 球体绕通过球心的轴的转动惯量的求法说明 1 球壳 取圆心角为 处的一环带为微元 半径为 sinRr 环带面积 dsin2d2d 2 RRrS 则有环带质量 dsin2dd 2 RSm dsin2dd 342 RmrI 因此 2 0 34 3 2 dsin2dmRRII 2 球体 取半径为r处的球壳为微元 然后对r由0至R积分可得 2 5 2 mRI f 转动惯量综合举例 1 222 3 4 3 1 mlmlmlI 2 222 12 5 12 1 3 1 mlmlmlI 3 222 3 1 d 3 1 d 3 1 mamamaI mm g 不规则形状物体的转动惯量 形状不规则 则不能对物体的质量分布进行积分 我们可以通过实验测量的 方式得到其转动惯量 第三章 刚体定轴转动的基本定律 45 3 2 角动量 力矩角动量 力矩 计划学时 1 计划学时 1 我们都知道 刚体的平动和转动在处理上有很大的相似性 很多物理量都能 相互对应起来 那么 刚体平动中的动量 力等物理量 在转动中又有什么物理 量相对应呢 我们引入角动量和力矩的概念来进行研究 一 角动量一 角动量 1 质点的角动量 质点的角动量 我们定义质点绕O点转动的角动量 angular momentum 为 质点的位矢与其 动量的矢积 即 prL 其中 位矢r是由O点指向质点的位矢 两个矢量的矢积也是矢量 其方向 遵循右手定则 sinsinrmvrpL L 方向垂 直于r和p决定的平面 角动量的单位是 smkg 2 由于 sinr是位矢在垂直于动量方向上的大小 所以也把 sinr称为动量臂 则 角动量也经常被称作动量矩 moment of momentum 通常 我们研究z方向的角动量 所以 cos z LL 2 刚体定轴转动的角动量 刚体定轴转动的角动量 刚体的角动量是由构成刚体的各个质点的角动量的矢量和 即 基本概念 角动量 力矩 重点 掌握 基本关系或规律 任务目标 作业 物理教研室 Lyon 46 i iii i i mvrLL 通常我们应用刚体对角速度方向所在的 z 轴的角动量 即 IrmL i ii 2 二 力矩二 力矩 思考 刚体受到外力的作用一定会发生转动吗 我们开门的时候 如果将力施 加到哪里门不会动 施加在门轴上 或者与门轴平行 1 力 力F对对 O 点的力矩点的力矩 我们将力对质点的力矩 moment 定 义为 FrM 和角动量一样 力矩也是矢积 有方 向 遵循右手定则 力矩的大小 sinrFM 方向垂直于 r和F决定的平面 力矩的国际单位是 mN 不难发现 力矩的大小等于以位矢 和力为邻边的平行四边形的面积 如果作用在一个质点上的力F是多个力的合力 即 i i FF 则合力矩 i i i i MFrFrM 可见 合力对质点的合力矩是各分力对同一点的分力矩的矢量和 2 力 力F对轴的力矩对轴的力矩 在平面坐标系中 力矩可以写为 kjiM zyx MMM 而 位矢kjirzyx 力kjiF yxz FFF 则 zyx xyzxyz z FFF zyxyFxFxFzFzFyF FFFzyx kji kji kjikjiFrM yx 我们一般研究力沿z轴方向的力矩 力矩只有沿转轴的方向的分量才会起作 用 所以 一般只用力矩沿z轴方向分量的标量即可 即 cos z MM 如果F是 第三章 刚体定轴转动的基本定律 47 多个力的合力 即 i i FF 则沿 z 轴方向分量的合力矩 i i MM zz 也就是说 合力对转轴的合力矩 等于分力对转轴分力矩的代数和 所以 我们可以用正负号来反应力矩的方向性 3 力 力F作用于刚体上的力矩作用于刚体上的力矩 若力的作用点为 P r为转轴到 P 的位矢 则力矩为FrM 若力与转动平面有一夹角 则可以只考虑力在转动平面上的分量 解 3 4 细棒上各点距离转轴的距离r各不相同 所以 以转轴为原点 沿棒的方向建立坐标轴 在x处取一微元xd 则微元所受摩擦力 x l mg mgfddd 则摩擦力矩 xx l mg fxMddd 则mglxx l mg MM l 4 1 d2d 2 0 第三章 刚体定轴转动的基本定律 49 3 3 力矩的功与转动动能定理力矩的功与转动动能定理 计划学时 1 计划学时 1 一 力矩的功和功率一 力矩的功和功率 质点在外力的作用下发生了位移 我们说 力做了功 而刚体在力矩的作用 下发生了角位移 我们说 力矩也做了功 dddd z MrFSFdA rF 所以 力矩的功 0 d z MA 若M为以恒力矩 则 0z MA 合力矩的功 是沿 z 轴力分力矩的功的代数和 刚体内部的能力成对出现 大小相等 方向相反 则内力矩的总功0 内 A 类似的 我们也有功率的概念 z z d d d d M t M t A P 二 刚体定轴转动的动能定理二 刚体定轴转动的动能定理 我们知道 根据质点平动的动能定理 合外力的功等于动能的增量 对于刚 体 这个定理仍然适用 由于刚体内力矩的功为 0 则合外力的功体现为和外力矩 做功 动能则体现为刚体的转动动能 所以 2 k 2 1 ddd IEA 则 2 0 2 z 2 1 2 1 d 0 IIMA 此式表明 刚体和外力矩的功等于体系转动动能的增量 这就是刚体定轴转 动的动能定理 基本概念 基本关系或规律 任务目标 1 会计算刚体力矩的功 2 掌握刚体定轴转动的动能定理 并会应用其解题 作业 二 1 物理教研室 Lyon 50 需要指出的是 公式中的角量 必须是针对同以转轴的 解 3 5 1 细棒在下落的过程中 重力臂的大小 不断发生变化 当杆与水平方向成 角时 重 力矩 cos 2 l mgM 则杆转过极小的角位 移 d时 重力的元功 dcos 2 d l mgA 所 以整个过程 重力矩的功 2 l mgA 当然 此问也可用质心的重力势能计算 2 根据刚体转动的动能定理 0 2 1 2 2 I l mgA 其中 2 3 1 mlI 所以 l g3 3 由题意 gl l v3 2 1 2 解 3 6 根据机械能守恒 重物下落h高的势能 转化为两部分 物体运动的动能 以及圆盘转 动的转动动能 因此 22 2 1 2 1 Imvmgh 其中 2 2 1 RmI 是圆盘的转动惯量 圆盘边缘 的线速度与重物下落的速度始终相同 所以 Rv 则是重物下落的线速度 于是 22222 4 1 2 1 4 1 2 1 vmmvRmmvmgh 解得 2 2 mm mgh v 第三章 刚体定轴转动的基本定律 51 3 4 转动定律转动定律 计划学时 1 计划学时 1 质点在合外力的作用下产生了加速度 力是产生加速度的原因 那么角加速 度又是如何产生的呢 根据转动动能定理有 k ddEA 则 dd d d d 2 1 dd 2 I t IIIM 所以 IM 这就是转动定律 其表明 力矩是刚体产生角加速度的原因 对于刚体定轴转动 角动量 IL 于是 t L t I t IIM d d d d d d 即 t L M d d 实验表明 当物体的转动惯量I发生变化时 上式仍然适用 应用转动定律应 注意 1 M是合外力矩的代数和 2 力矩是角加速度产生的原因 M与 有瞬时关系 3 公式中的角量必须是针对同一个转轴的 基本概念 基本关系或规律 转动定律 IM 掌握 任务目标 1 掌握用刚体的转动定律 并会应用其解题 2 掌握求解滑轮问题的一般步骤 作业 二 2 4 三 3 物理教研室 Lyon 52 解 3 7 由题意 力矩RtRFM2 根据转动 定律 t IIRt d d 2 其中 2 2 1 mRI 是 圆盘的转动惯量 所以 2 2 2 rad s4 4 2 1 2 t mR t mR Rt dd4mRtt 则 rad s4 2 2 mR t 解 3 8 首先 选择沿圆盘转动的顺时针方向 为正方向 绳两端的拉力 1 T和 2 T并不相 等 分别对物体应用牛顿定律 对圆盘应 用转动定律有 对 1 m amgmT 111 对 2 m amTgm 222 对m IRTRT 12 其中 2 2 1 mRI 是圆盘的转动惯量 根据角量有线量的关系有 Ra 则根据上述公式得 mmm gmm a 21 12 22 2 mmm gmmm T 21 12 1 22 4 mmm gmmm T 21 22 2 22 4 可见 只有当圆盘的质量0 m时 g mm mm TT 21 21 21 2 解决定滑轮问题 首先要选择好正方向 顺时针或逆时针 然后列三类方程 对物体列牛顿方程 对圆盘列转动定律方程 列角量与线量关系方程 则可以解决定滑轮问题 第三章 刚体定轴转动的基本定律 53 3 5 角动量定理与角动量守恒定律角动量定理与角动量守恒定律 计划学时 2 计划学时 2 思考 为什么陀螺转动起来就不容易倒 两轮的 自行车在运行起来就不容易倒 VIDEO 1m13s 一 质点角动量定理与角动量守恒定律一 质点角动量定理与角动量守恒定律 质点角动量的定义为vrLm 根据牛顿第二定律 vFm t d d 则 vrFrm t d d 由于 vrvvvrv r vrvrm t mm t m t m t m td d d d d d d d d d 则 vrFrm t d d 即 t d dL M 上式就是质点的角动量定理 theorem of angular momentum 说明 作用于质 点上的合力矩等于质点的角动量对时间的变化率 若作用于质点上的合力矩0 M 则0 d d t L 即角动量不随时间变化 也就是 说 L是恒矢量 角动量守恒 注 基本概念 基本关系或规律 任务目标 1 掌握质点的角动量定理 2 掌握质点的角动量守恒定律 并会应用其解题 3 掌握刚体的角动量定理 4 掌握刚体的角动量守恒定律 并会应用其解题 作业 一 1 2 二 3 三 1 2 4 物理教研室 Lyon 54 1 0 FrM 有三种情形 0 r 如力的作用点在转轴上 0 F 物体不受合外力的作用 Fr 即质点受有心力的作用 如万有引力 2 L是恒矢量 不仅角动量的大小不变 方向也不变 而角动量的方向