数字信号处理课后习题Ch1.pdf

数字信号处理课后习题详解数字信号处理课后习题详解 第一章第一章 1 1 试画出正弦序列试画出正弦序列 sin 16 n 5 的波形 它是不是一个周期序列 若是 其周期 长度是多少 的波形 它是不是一个周期序列 若是 其周期 长度是多少 解 matlab 环境下实现源代码如下 n 0 15 y sin 16 pi n 5 stem n y xlabel n ylabel x n 图形如下图所示 225 16 8 5 p q 取 k p 则周期 N p 5 即 sin 16 n 5 是一个周期序列 周期长度为 5 图中也可以看出这点 1 2 判断下列序列是否是周期序列 若是 确定其周期长度 判断下列序列是否是周期序列 若是 确定其周期长度 1 3 cos 74 x nn 解 2214 3 3 7 p q p q 是互为质数的整数 取 k q 则周期 N p 14 周期长度为 14 2 7 cos 4 sin nn nx 解 1 2 8 4 N 2 2 14 7 N N1 N2最小公倍数为56 其周期长度为56 1 3 试画出如下序列的波形 1 x n 3 n 3 2 n 1 4 n 1 2 n 2 2 x n 0 5nR5 n 解 1 2 1 4 今对三个正弦信号今对三个正弦信号 2cos 1 ttxa 6cos 2 ttxa 10cos 3 ttxa 进 行理想采样 采样频率为 进 行理想采样 采样频率为 8 s 求这三个采样输出序列 比较其结果 画出 求这三个采样输出序列 比较其结果 画出 xa1 t xa2 t xa3 t 的波形及采样点位置并解释频谱混叠现象 的波形及采样点位置并解释频谱混叠现象 解 matlab环境下实现源代码如下 t 1 0 01 1 x1 cos 2 pi t x2 cos 6 pi t x3 cos 10 pi t t2 1 0 25 1 y1 cos 2 pi t2 y2 cos 6 pi t2 y3 cos 10 pi t2 subplot 311 plot t x1 xlabel t ylabel Xa1 t hold stem t2 y1 subplot 312 plot t x2 xlabel t ylabel Xa2 t hold stem t2 y2 subplot 313 hold stem t2 y3 plot t x3 xlabel t ylabel Xa3 t 三个信号波形 已知 8 则 4 1 8 2 4 2 s T 1 x t 1 n x ttnT 1 n x ttnT 1 n x nTtnT cos 2 4 n ntnT cos 2 4 n ntn 同理 2 x t cos 3 2 4 n ntn 3 x t cos 5 2 4 n ntn 因为f1 12 所以有频谱混淆现象 因为f2 5 2 所以有频谱混淆现象 1 5 一个采样周期为T的采样器 开导通时间为 0 T 若采样器的输入信 号 为xa t 求 采 样 器 的 输 出 信 号 pa x tx t p t 的 频 谱 结 构 式 中 n nTtrtp 其它0 01 Tt tr 解 采样过程为距形周期脉冲采样过程 tp 是周期函数 展开成傅里叶级数 P t s jkt k k C e 其中 T s 2 Ck dt T T tjk etP T s 2 2 1 dt T tjk e T s 2 0 1 T Sa 2 k 2 tjk e s P j k T t 2Sa k 2 2 tjk e s k s djpjXajXajpj p x 2 1 2 1 将p j 代 入 得 2 2 sk Sa sjkjXa sk j e k T j p x 提示 DTFT tjk e s 2sk 1 6 令令 x n 和和 j eX表示一个序列及其表示一个序列及其 DTFT 并且 并且 x n 为实因果序列 利用为实因果序列 利用 j eX求下面各序列的求下面各序列的 DTFT 1 k x n k为任意常数 2 x n n0 n0为正整数 3 2 nxng 解 1 k x n DTFT kX j e 2 DTFT x n n0 nj e n n0 x n 0 x m nj e nj e m 0nj e X j e 3 n njj enxeX 22 2 kw jj j n nk DTFT g nxn ex k eX e 4 2 0 n xn n 为偶数 为奇数 解 1 1 2 111 222 11 22 j nnjn nn jnjnj njn nnn jj DTFT g ng n ex nx n e x kex k ex k ex k e X eX e 为奇数 为偶数nne n xngDTFT nj n 0 2 22 jkj n eXekx 1 7 求下列序列的求下列序列的Z变换 收敛域及零极点分布图 变换 收敛域及零极点分布图 3 0 5nu n 1 解 0 5 1 nn X zunz 1 0 5n n z 11 0 0 5 n n z 1 1 0 5 1 0 5 z z 1 1 1 0 5z 收敛域为 1 0 51z 即0 5z0 零点 1 102 0 5 1 jk ze 2 1 10 0 5 0 1 29 jk zek K 2 1 10 2 0 1 29 jk zek K 极点 z 0 5 当k取0时 零点和极点抵消 1 8 利用Z变换的性质求Z变换 1 其它 0 21 2 0 NnNnN Nnn nx 解 x n 图示为 三角脉冲可以看成两个距形序列的卷积 x n f n 1 其中f n h n h n 而h n u n 1 u n N 1 u n 1 1 1Z z 则h n 1 1 1 1 1 1 Z z N z z z f n h n h n 2 1 1 2 2 1 1 1 1 z N z z z z z zHzHzF N 则x n 的Z变换X z Z f n 1 ZF z 2 1 1 1 z N z z 1 10 求以下函数的逆求以下函数的逆z变换变换 1 2 1 21 1 1 11 z zz 解 1 采用部分分式法 1 2 1 1 211 z A z A zx则 1 21 1 1 1 1 z z A 2 1 1 2 1 2 z z A 因为收敛域为1 z 2 所以f n u n 2n 1u n 1 2 5 01 5 01 5 1 z z z 0 5 z 2 解 5 0 5 1 0 5 z z X z zz 12 0 51 0 5 AAX z zzz 1 0 5 0 55 0 5 6 1 0 25 z X z Az z 2 2 25 1 0 5 2 20 5 z X z Az z 6264 0 51 0 50 52 zzz X z zzzz 0 52z 0 5 第二部分的极点是z 2 收敛域是 z 2 6 0 5 4 2 1 nn x nu nun 3 2 0 cos 1 1 1 1 zz z 查过资料 建议将0cos 1 z改为20cos 1 z 解 X z 2 0 cos 1 1 1 1 zz z 2001 1 1 1 z jw e jw ez z 10 1 10 1 1 1 z j ez j e z 00 0 1 2 00 0 1 1 0 2 0 1 00 1 z X z j e j e j e K j e j e j e K j ez K j ez K j ez j ez z 所以 X z 00 0 1 j e j e j e 0 j ez z 00 0 1 j e j e j e 0 j ez z 0 22 0 0sin 2 0 cos 0 22 0 0sin 2 0 cos j ez z j e j ez z j e x n 2 0sin 2 0 cos0 2 0 cos2 2 0 2 0 0sin 2 0 cos 2 0 2 0 0sin 2 0 cos nu j e n nu nj e nj e 1 11 设序列设序列x n 和和y n 的的z变换分别为变换分别为X z 和和Y z 试求试求Y z 与与X z 的关系的关系 1 y n Cnx n 解 nnn nn Y zy n zc x n z 11 n n x n c zX c z 2 y 2n x n y 2n 1 0 解 n n Y zy n z pq pq y p zy q z 偶数奇数 2 2 0 n yn z 2 n n x n z 2 X z 3 y 2n y 2n 1 x n 解 n n Y zy n z y q z qp qp y p z 偶数奇数 2 21 2 21 nn nn yn zynz 2 21 nn nn x n zx n z 212 X zz X z 12 1 zX z 4 y n x n 解 n n Y zy n z n n xn z 1 n n x n z 1 X z 1 12 用直接法或Parseval定理求下列各已知序列的 x n y n n 1 nu n bnynu n anx 解 直接法 x n y n n ab n n abnu n b n nu n a 1 1 0 1 ab 1 14 试用直接计算法求下面两个序列的线性卷积 并画出卷积过程图 1 x1 n n 2 n 2 n 4 x2 n 2 n 1 n 3 解 y n x1 n x2 n n 2 n 2 n 4 2 n 1 n 3 4 n 1 4 n 1 n 3 2 n 5 n 7 略 反折 移位 相加 1 15 设设x n y n w n 为三个序列 试证明 为三个序列 试证明 2 x n y n w n x n y n x n w n 证明 x n y n w n m mnwmnymx mm x m y nmx m w nm x n y n x n w n 即得证 1 17 列出题图所示系统的差分方程 并在初始条件列出题图所示系统的差分方程 并在初始条件y 0 1和和y n 0 n 0下 求下 求 以下输入序列的输出以下输入序列的输出y n 并图示之 并图示之 T 1 3 x n y n 1 n x n 由图知 1 y ny n 3 1 x n 即 3 1 1 y nnxny 输入 n x n 输出y n 就是h n n 0时 y n 0 为因果序列 已知y 0 1 y 1 3 4 0 3 1 x 0 y 0 3 1 y 2 3 4 3 1 y 1 3 1 y 3 3 4 2 3 1 y 2 3 1 y n 1 34 1 34 3 4 1 3 1 nnu nnyn n n 图示为 2 x n u n 解 2 方法一 由框图可得 x n y n 2 y n 1 当x n u n 得 3 y n 1 y n u n 取z变化得 3zY z Y z z z 1 化简得Y z z 3 z 1 z 1 z 2 z 1 z 2 3z 1 所以y k A 1 2 1 6 1 3 k k 因为y 0 1 所以A 3 则y k 3 2 1 2 1 3 k k 方法二 由上图可知 1 1 3 x ny ny n 即 1 1 3 y nx ny n 0 1y 14 1 0 0 33 yyx 113 2 1 1 39 yyx 140 3 2 2 327 yyx 1121 4 3 3 381 yyx 1364 5 4 4 3243 yyx 1364 6 5 5 3729 yyx 1 7 6 3 yy M 1 1 3 y ny n 0 0 1 1 1 1 1 15 3 1 1 6 3 n n y n y nn y nn 0或n 0时 x n 0 n 0时 y 1 2y 0 2x 0 2x 1 2 n 1时 y 2 2y 1 2x 1 2x 2 2y 1 2 2 n m 时 y m m 2 所以y n n 2 n 0 即y n n 2 u n 1 图示为 1 19 分别用直接卷积和分别用直接卷积和z变换求变换求f n x n y n 1 x n anu n y n bn u n 0 a b 1 解 1 法一 直接卷积 ky f f k h k iki ii f i h kia u i bu ki 当i k时 u k i 0 u k u k k 1 u k 1 00 1 1 1 k i kkk ik ik f ii k a b a bab yka bu kbu k a b b bkab 法二 Z变换法 zz F zX z Y z zazb 当ba 时 2 2 bz z zF 2 22 1 1 kkk bzz kbbkf kbk zbzb Q即 当b a 时 12 AAF z zzazb 1 z a F za Aza zab 2 b A ba ab zz abba F z zazb nn ab f nab u n abba 11 nn ab u n ab 2 x n anu n y n n 2 0 a n 时 a a anf n n k k 1 1 1 0 2 n N 1 a a a a anf nnN n nNk k 11 11 1 3 nf1 n 1 n a a u n a 1 1u na 1 1 1 n a u n a 由线性时不变性质可得 1 1 1 Nnu a a Nnunx nN 所以 11 11 11 nn N aa f nu nu nN aa 1 20 如F z 为f n 的Z变换 G z 为g n 的Z变换 且G z z 1 2 2 dz d F 3 z 求f n 和g n 的关系 解 此题用到Z变换性质 m k f k m dz d z F z an f n F a z