北师大版必修2 142 空间图形的公理(二) 课件（37张） (1).ppt

4 2空间图形的公理 二 学习目标1 掌握公理4及等角定理 重点 2 掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念 能求出一些较特殊的异面直线所成的角 重 难点 知识点一公理4 预习评价 正确的打 错误的打 1 公理4在平面内和空间中均成立 2 多条直线平行于同一条直线 则这些直线互相平行 知识点二空间等角定理1 定理 2 推广如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行 那么这两组直线所成的锐角 或直角 相等 预习评价 正确的打 错误的打 1 如果两条直线和第三条直线成等角 那么这两条直线平行 2 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同 那么这两个角相等 3 如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直 那么这两个角互补 知识点三异面直线所成的角1 概念 已知两条异面直线a b 经过空间任一点o作直线a a b b 我们把a 与b 所成的锐角 或直角 叫作异面直线a与b所成的角 2 异面直线所成的角 的取值范围 0 90 3 如果两条异面直线所成的角是直角 就说这两条异面直线互相垂直 两条互相垂直的异面直线a b 记作a b 4 异面直线所成的角的求法方法一在空间任取一点o 过点o分别作a a b b 则a 与b 所成的锐角 或直角 为异面直线a与b所成的角 然后通过解三角形等方法求角 方法二在其中一条直线上任取一点 如在b上任取一点 o 过点o作另一条直线的平行线 如过点o作a a 则两条直线相交所成的锐角 或直角 为异面直线所成的角 如b与a 所成的角 然后通过解三角形等方法求角 如图 预习评价 1 分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线吗 提示 1 不一定 可能相交 平行或异面 2 在长方体a1b1c1d1 abcd中 bc1 ad1 则 直线bc1与直线bc所成的角 与 直线ad1与直线bc所成的角 是否相等 提示相等 题型一公理4与等角定理的应用 例1 e f分别是长方体abcd a1b1c1d1的棱a1a c1c的中点 求证 四边形b1edf是平行四边形 证明设q是dd1的中点 连接eq qc1 因为e是aa1的中点 所以eq綊a1d1 又因为在矩形a1b1c1d1中 a1d1綊b1c1 所以eq綊b1c1 所以四边形eqc1b1为平行四边形 所以b1e綊c1q 又因为q f分别是矩形dd1c1c两边d1d c1c的中点 所以qd綊c1f 所以四边形dqc1f为平行四边形 所以c1q綊fd 又因为b1e綊c1q 所以b1e綊fd 所以四边形b1edf为平行四边形 规律方法 1 空间两条直线平行的证明 一是定义法 即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点 二是利用平面图形的有关平行的性质 如三角形中位线 梯形 平行四边形等关于平行的性质 三是利用公理4 找到一条直线 使所证的直线都与这条直线平行 2 求证角相等 一是用等角定理 二是用三角形全等或相似 答案平行 题型二异面直线的判断 例2 如图 在正方体abcd a b c d 中 哪些棱所在直线与直线ba 是异面直线 解由异面直线的定义可知 棱ad dc cc dd d c b c 所在直线分别与直线ba 是异面直线 规律方法判断两直线是否为异面直线 只需判断它们是否相交 平行 只要既不相交 也不平行 就是异面直线 训练2 如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 判断下列直线的位置关系 1 直线a1b与直线d1c的位置关系是 2 直线a1b与直线b1c的位置关系是 3 直线d1d与直线d1c的位置关系是 4 直线ab与直线b1c的位置关系是 解析 答案 1 平行 2 异面 3 相交 4 异面 探究1 在正方体abcd a1b1c1d1中 异面直线ba1与cc1所成的角为 a 30 b 45 c 60 d 90 解析如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 bb1 cc1 故 b1ba1就是异面直线ba1与cc1所成的角 故为45 答案b 探究2 如图所示 在空间四边形abcd中 ab cd ab cd e f分别为bc ad的中点 求ef和ab所成的角 解如图 取bd的中点g 连接eg fg 因为e f分别为bc ad的中点 ab cd 所以eg cd gf ab 由ab cd 知eg fg efg为等腰三角形 当 egf 30 时 gef 75 当 egf 150 时 gef 15 故ef与ab所成的角为15 或75 规律方法 1 异面直线一般依附于某几何体 所以在求异面直线所成的角时 首先将异面直线平移成相交直线 而定义中的点o常选取两异面直线中其中一个线段的端点或中点或几何体中的某个特殊点 2 求异面直线所成的角的一般步骤 作角 平移成相交直线 证明 用定义证明前一步的角为所求 计算 在三角形中求角的大小 但要注意异面直线所成的角的范围 2 若a和b是异面直线 b和c是异面直线 则a和c的位置关系是 a 平行b 异面c 相交d 平行 相交或异面解析可借助长方体来判断 如图 在长方体abcd a b c d 中 a d 所在直线为a ab所在直线为b 已知a和b是异面直线 b和c是异面直线 则c可以是长方体abcd a b c d 中的b c cc dd 故a和c可以平行 相交或异面 答案d 3 在四棱锥p abcd中 各棱所在的直线互相异面的有 对 解析以底边所在直线为准进行考察 因为四边形abcd是平面图形 4条边在同一平面内 不可能组成异面直线 而每一边所在直线能与2条侧棱组成2对异面直线 所以共有4 2 8 对 异面直线 答案8 4 如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 异面直线a1b与ad1所成的角为 解析连接bc1 a1c1 bc1 ad1 异面直线a1b与ad1所成的角即为直线a1b与bc1所成的角 在 a1bc1中 a1b bc1 a1c1 a1bc1 60 故异面直线a1b与ad1所成的角为60 答案60 5 如图 已知e f g h分别是空间四边形abcd的边ab bc cd da的中点 1 求证 e f g h四点共面 2 若四边形efgh是矩形 求证 ac bd 证明 1 在 abd中 e h分别是ab ad的中点 eh bd 同理fg bd 则eh fg 故e f g h四点共面 2 由 1 知eh bd 同理ac gh 又 四边形efgh是矩形 eh gh 故ac bd 课堂小结1 判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行 相交 异面的定义 很多情况下 定义就是一种常用的判定方法 2 在研究异面直线所成角的大小时 通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角 将空间问题向平面问题转化 这是我们学习立体几何的一