打好基础与启发思维训练能力.doc

打好基础与启发思维训练能力在基础教育中，数学占有重要的地位。作为现代社会的一个公民，必须具有一定的数学素质，其中包括若干必备的数学知识和技能，受到过逻辑推理和理性思维的熏陶。数学更是各门科学的基础，学好数学是成为各种专业（包括理、工、农、医、经济、管理等门类）人才的必要条件。因而根据素质教育的要求来提高基础教育中数学教育的水平，是很重要的一件事。本文就想从数学这门科学的特点来谈谈对基础教育中的数学教学的一些看法，供有关人士参考。由于我缺少这方面的实践经验，实际情况也了解得不多，不妥之处请予指正。一、数学是最为严谨、最为严格的科学数学中有许多运算，它们有严格的法则，不能违反。应教会学生准确、熟练地进行各种基本的运算。数学的论证中，使用非常严格的演绎推理。在古代，欧几里德几何是严格推理的模范，它以公理、公设作为出发点，以演绎的方式构成了几何学，它的公理被认为是“不证自明”的。公设是归纳了人们的几何观察而设定的。然而这种公理化还没有到达现代化的标准。HiIbert的几何基础中列举了一些基本对象（点、直线）、基本关系（衔接、合同、介于），所谓公理就是基本对象和基本关系的属性。一切几何定理，就是这些属性的演绎推理，不必对点、直线再下定义，不必引进公理之外的属性，就可建立起几何学的理论架构。各种数学系统，如整数、实数、集合、群等等都可以建立在各种公理系统之上。任何证明，都可表述为以公理为出发点的演绎，这便是现代纯粹数学（基础数学）的叙述模式。正因为有了这种严谨的体系，任何一组对象，如果它们之间有一定的基本关系，满足了公设，那么这个理论中的任何定理都是无可置疑的。例如单用直尺和圆规用有限步骤不可能把任意角予以三等分，这是严格证明了的命题，要学生去做这类问题，就是误导。一个工程问题，如果按照成熟的力学或电工学的原理，正确地归结为数学问题，经过数学推演的计算，其结论应该是非常可靠的，除非是在归结上出了问题。数学成为各门科学可靠的工具，也正因为它具有最严谨最严格的特性。因此，在基础教育中，要教会学生在进行运算时要严格地遵循运算的正确法则，而且要相当熟练，不引入主观臆想，换句话说，要认认真真地、正确地做计算。要学会严格推理困难就大一些，但也完全是必须的，一定要逐步使学生适应这种严格的推理方式，并且在书写上能反映出来。特别是在几何的教学上，一定要重视这种逻辑的演绎，这也是训练逻辑能力的有效的方法，是要重视几何教学的一个原因。当然，在中学阶段，不能达到Hifbert公理化的那种程度，还必须有若干朴素的、直观的成分，必须培养对现实世界几何图形的直观、想像、计量、作图等方面的能力。二、数学是理性的科学，是理性思维的范例我听说，有些中小学生把数学看成是背公式的学科，这完全是误解。固然，学习数学过程中记忆是必要的，有时还要记得熟，不假思索就能说出来，例如乘法的九九表等等。但数学是理性思维的科学，有严格逻辑结构的科学，对其中的每一项内容，应该不仅仅是知其然，而且要知其所以然。最简单的公式，都有它的来源，矩形面积等于两个边长之积，就是从测面积的经验中得出来的。有了这个经验事实做基础，然后就可以证明许多东西，所以可以论证三角形、平行四边形、梯形等等图形面积的公式。“勾三、股四、弦五”是勾股定理的个特例，这样重要的定理一定要加以证明，它也可以利用计算面积得出（我国古代的证明比欧几里德几何原本中的证明简单得多）。数学是不满足于个别事物和现象的。又如说2是无理数，开方许多步仍然没有完，没有出现循环的情况还不能说明问题，因为这许多步仍然是有限步，这件事作了严格的证明才能成立。论证的过程，也就是进一步理解的过程，揭示内在联系的过程，对学生来说，是提高数学素质的重要手段。只有懂了，才能记得牢固，即使忘了，也会自己推导出来。三、数学是极富创造性的科学数学的最原始对象自然数就是人类思维的创造，现实世界只有三头牛、四匹马等等，数字三、四就是从此抽象出来的。点和直线也是如此。整个数学发展的过程也就是新概念、新方法、新理论的创造过程。例如从自然数到整数、到有理数、无理数以及虚数都有重大的创造。恩格斯曾说过数学是研究思想事物的科学，这是很有见地的，因为它不像别的科学有特定的具体的物质对象，如分子、原子、地球、太阳、细胞等等。对于思想事物，只有不断创新才能发展出新的研究对象和方法，当然这种发展也是不断地从各种自然现象和社会现象中吸取营养而得到的。希腊学者研究天文学，创建了球面三角。牛顿的微积分研究是和力学的研究平行进行的。无限是数学家的重大的创造，要凭想像力，同时也要有数学手段才能把握。没有这种概念，循环小数就无法理解，更不用说微积分了。无限有许多和有限不同的性质，会使人大感惊奇。对于几何来说，对无限的想像也是很有意思的。欧几平面不包括无限远点，但可以想像出无限远点，在射影平面上无限远点构成一条直线，在复平面，无限远点是一个点，这些经典事实说明数学的确是思维创造的广阔的空间。我们在教学中要不断启发学生的创新兴趣，使学生对这些新奇事物感到很有趣，肯主动地努力去钻研，使学生知道这些创造的来龙去脉，而不是叫他们去胡思乱想，这样才能提高他们的创新意识和创新能力。兴趣是学习的重大的动力。四、数学是需要高度解题技巧的科学从历史来看，数学中充满着各种问题和解题的方法，中国的九章算术就是以问题和求解的算法的形式出现的。在欧洲，欧几里德的几何原本是以演绎的形式出现的，但其中也充满着一个个问题及其解法。希腊人还留下了著名的三大几何作图问题。在意大利的文艺复兴时代，数学非常繁荣，数学家们互相提出问题，征求解答，作为一个挑战的形式。近代数学中，人们在研究取得进展的同时，也为后人留下了许多问题和猜想，Hilbert在20世纪开始时提出了23个问题，成为20世纪数学家们努力的方向，Fermat大定理的解决，被数学家们视为非常重大的事件。现在大家还津津乐道着许多重大的问题，如Riemann函数零点问题，Poincare猜想（据说已得到证明）等等。数学是在不断解决问题又不断产生新的问题中前进的。这种解题方法来自创造性的数学思维，在求解三次代数方程时，数学家发明了虚数。讨论代数方程是否可以根式求解时，Galois发展了群论，创造成果的获得还必须依靠对前人优秀成果的深入掌握和深入刻苦的钻研。我们的教学工作中一定要使学生能够熟练地掌握学习的基本内容和思考问题的方法。训练深入、刻苦钻研的精神。对于优秀的学生，可以布置一些困难一点的问题，但切不可号召他们做当前没有条件做的事（如解数论中的历史难题），更不用说去做那些已证明是不可能做到的事（如几何作图的三大问题），以免浪费时间和精力。也不能搞题海战术，单纯背记现成的解题方法，忽略数学思维的训练和自己想办法解题的创造能力。数学奥林匹克是有益的，但也耍注意这两个方面，把奥林匹克低龄化也是不适宜的。五、数学是具有最广泛应用的科学世界上一切事物都离不开数和形，这就说明了数学必然会有非常广泛的应用。特别是在各门科学的研究越来越深入时，定量的描述显得越来越重要，所出现的数量关系和空间形状也越来越复杂，数学就成为它们的工具、语言和基础。这首先是从天文、力学开始，逐步扩展到物理学以及工程学。在19世纪中，逻辑推理也数学化了，到20世纪不但化学、生命科学而且经济科学、管理科学、语言学等也开始以数学为重要工具，数学真正成为各门科学的重要基础和重要工具。在教学中，首先我们要使学生明了数学的重要性，学好数学是学好其他学科的基础，学好数学对从事其他科学都是非常有利的。其次要使学生学会在各种各样的问题上会运用数学，对数学的应用感到很大的兴趣，会做应用题，把应用（包括日常生活中的事，如时间和太阳方向的关系，根据风向猜测台风的走向等等）当成一件很有趣的事，对其他学科也同时感兴趣并鼓励在其中运用数学等等。现在各地推行数学建模竞赛，值得参与。不过，有关应用数学的内容，在教材中的分量要恰当，不能太多太杂，以免影响数学课程的系统性。其实，代数、几何、三角函数等都是很有应用价值的。六、数学中的部分脑力劳动越来越多地可以用计算机来进行使用工具使人类的劳动能力大大加强。过去，这种劳动一般都是体力劳动，但就数学而言，人们却早已使用工具来帮助脑力劳动了，我国的算盘和筹码就是这样的工具。19世纪，逻辑推理数学化了；20世纪电子计算机的出现和迅速发展，使得数学中的大量的脑力劳动，可以用机器来代劳，效率大大提高，使过去因工作量太大而无法完成的计算，有可能在较短时间内完成，及时投入使用。并且，计算机的功能还在扩展，从数值计算发展到数值模拟（即用计算机直接模拟相应的自然现象或社会现象）、符号演算（如符号间的代数运算、微积分）和机器推理和证明等。如何使用和发展计算机，现在是人们所普遍关注的重大问题。在数学教学中，一定要发挥计算机的重要作用。例如由计算机的图像显示可以增进学生的几何直观的想像能力：计算机的使用，使学生的计算能力特别是数学建模能力大为提高。学习运用计算机，应该是基