高中数学 第1章 3反证法课时作业 北师大版选修22 (1).doc

2015-2016学年高中数学 第1章 3反证法课时作业 北师大版选修2-2一、选择题1反证法是()a从结论的反面出发，推出矛盾的证法b对其否命题的证明c对其逆命题的证明d分析法的证明方法答案a解析反证法是先否定结论，在此基础上，运用演绎推理，导出矛盾，从而肯定原结论的真实性2否定结论“至多有两个解”的说法中，正确的是()a有一个解b有两个解c至少有三个解d至少有两个解答案c3应用反证法导出矛盾的推导过程中，要把下列哪些作为条件使用：结论相反判断，即假设；原命题的条件；公理、定理、定义等；原结论()abc d答案c4“m不是n的子集”的充分必要条件是()a若xm，则xnb若xn，则xmc存在x1m且x1n，又存在x2m且x2nd存在x0m且x0n答案d解析按定义，若m是n的子集，则集合m的任一个元素都是集合n的元素所以，要使m不是n的子集，只需存在x0m，但x0n.故选d.5“自然数a、b、c中恰有一个偶数”的否定为()a自然数a、b、c都是奇数b自然数a、b、c都是偶数c自然数a、b、c中至少有两个偶数d自然数a、b、c都是奇数或至少有两个偶数答案d解析恰有一个偶数的否定有两种情况，其一是无偶数，其二是至少有两个偶数6若a、b、c不全为零，必须且只需()aabc0ba、b、c中至少有一个为0ca、b、c中只有一个是0da、b、c中至少有一个不为0答案d解析a、b、c不全为零，即a、b、c中至少有一个不为0.二、填空题7某同学准备用反证法证明如下问题：函数f(x)在0,1上有意义，且f(0)f(1)，如果对于不同的x1，x20,1，都有|f(x1)f(x2)|x1x2|，求证|f(x1)f(x2)|.那么其反设应该是_答案如果对于不同的x1，x20,1，都有|f(x1)f(x2)|x1x2|，则|f(x1)f(x2)|解析根据题意知，反证法解题是从假设原命题不成立开始，把结论的否定作为条件，连同其他条件一起经过推断，得出与已知条件或已有原理相矛盾，从而肯定原命题的正确性这里进行假设时，注意把函数f(x)在0,1上有意义，且f(0)f(1)剥离出来作为已知条件8用反证法证明命题“若p1p22(q1q2)，则关于x的方程x2p1xq10与x2p2xq20中，至少有一个方程有实数根”时，应假设为_答案两个方程都没有实数根三、解答题9求证：一个三角形中至少有一个内角不小于60.证明已知a、b、c为abc的三个内角求证：a、b、c中至少有一个不小于60.证明：假设abc的三个内角a、b、c都小于60，即a60，b60，c60，三式相加得abc0，则三个数，()a都大于2 b至少有一个大于2c至少有一个不小于2 d至少有一个不大于2答案c解析假设这三个数都小于2，则三个数之和小于6，又()()()2226，与假设矛盾，故这三个数至少有一个不小于2.另取xyz1，可排除a、b.2(2014山东理，4)用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3axb0至少有一个实根”时，要做的假设是()a方程x3axb0没有实根b方程x3axb0至多有一个实根c方程x3axb0至多有两个实根d方程x3axb0恰好有两个实根答案a解析至少有一个实根的否定为：没有实根反证法的假设为原命题的否定3设a、b、c为一个三角形的三边，s(abc)，若s22ab，试证s2acs2a ds2a答案c解析对“0.将p两边平方，得ap2b2p，所以.因为a、b、p均为有理数，所以必为有理数，这与已知条件矛盾，故假设错误所以必为无理数点评数学中的有些命题，所给条件不足以从正面证明结论正确，可采用反证法，否定结论，由此推出与已知或假设矛盾，证得结论8已知函数f(x)ax(a1)(1)证明：函数f(x)在(1，)上为增函数；(2)用反证法证明方程f(x)0没有负实数根分析(1)可直接用定义证明单调性；(2)应用反证法要注意准确作出反设证明(1)任取x1，x2(1，)，不妨设x10.ax2x11，且ax10，所以ax2ax1ax1(ax2x11)0.又因为x110，x210，所以0.于是f(x2)f(x1)ax2ax10，故函数f(x)在(1，)上为增函数(2)假设存在x00(x01)满足f(x0)0，则ax0.又0ax01，所以01，即x02，与假设矛盾故x0