北师大版必修一 1.2 利用二分法求方程的近似解 学案.doc

12利用二分法求方程的近似解学习目标1.能用二分法求出方程的近似解；2.知道二分法是求方程近似解的一种常用方法，体会“逐步逼近”的思想预习教材p117119完成下列问题：知识点一二分法的定义对于图像在区间a，b 上连续不断且满足f(a)f(b)0的函数yf(x)，每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法【预习评价】1用二分法求函数近似零点时，函数应满足哪些条件？提示前提条件：(1)f(x)在区间a，b 上的图像连续不断(2)在区间a，b 端点的函数值f(a)f(b)02所有函数的零点都可以用二分法求出吗？提示不是，例如函数y(x)2的零点就无法用二分法求出知识点二用二分法求方程近似解的步骤给定精确度，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：(1)确定区间a，b ，验证f(a)f(b)0，给定精确度；(2)求区间(a，b)的中点c；(3)计算f(c)；若f(c)0，则c就是函数的零点；若f(a)f(c)0，则令bc(此时零点x0(a，c)若f(c)f(b)0，则令ac(此时零点x0(c，b)(4)判断是否达到精确度：即若|ab|，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2) (4)【预习评价】1用二分法求函数f(x)x35的零点可以取的初始区间是()a2,1 b1,0 c0,1 d1,2 解析f(2)30，f(2)f(1)0，故可取2,1 作为初始区间，用二分法逐次计算答案a2用二分法研究函数f(x)x33x1的零点时，第一次经计算得f(0)0，可得其中一个零点x0_，第二次应计算_解析因为f(0)0，所以f(0)f(0.5)0，故f(x)的一个零点x0(0,0.5)，利用二分法，则第二次应计算ff(0.25)答案(0,0.5)f(0.25)题型一二分法概念的理解【例1】下列图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是()解析按定义，f(x)在a，b 上是连续的，且f(a)f(b)0，才能不断地把函数零点所在的区间一分为二，进而利用二分法求出函数的零点故结合各图像可得选项b、c、d满足条件，而选项a不满足，在a中，图像经过零点x0时，函数值不变号，因此不能用二分法求解故选a答案a规律方法判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图像在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适合【训练1】下列函数中，能用二分法求零点的为()解析函数图像连续不断，函数零点附近的函数值异号，这样的函数零点才能使用二分法求解，观察四个函数图像，只有b选项符合答案b典例迁移题型二用二分法求方程的近似解【例2】用二分法求方程2x33x30的一个正实数近似解(精确度0.1)解令f(x)2x33x3，经计算，f(0)30，f(0)f(1)0，所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，即方程2x33x3在(0,1)内有解取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)0，所以方程2x33x30在(0.5,1)内有解如此继续下去，得到方程的正实数解所在的区间，如下表：(a，b)中点cf(a)f(b)f(0,1)0.5f(0)0f(0.5)0(0.5,1)0.75f(0.5)0f(0.75)0(0.5,0.75)0.625f(0.5)0f(0.625)0(0.625,0.75)0.687 5f(0.625)0f(0.687 5)0由于|0.687 50.75|0.062 50.1，所以方程2x33x30的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.687 5【迁移1】(变换条件)本例变为：根据下表，用二分法求函数f(x)x33x1在区间(1,2)上的零点的近似值(精确到0.1)是_.f(1)1f(2)3f(1.5)0.125f(1.75)1.109 375f(1.625)0.416 015 625f(1.562 5)0.127 197 265解析由表中数据知f(1.5)f(2)0，f(1.5)f(1.562 5)0，所以函数零点在区间(1.5,1.562 5)上，又因为|1.562 51.5|0.062 50.1，所以函数f(x)x33x1在区间(1,2)上的零点的近似值可以取1.5.故填1.5答案1.5【迁移2】(变换条件)(本例变为)用二分法求2xx4在1,2 内的近似解(精确度为0.2)参考数据：x1.1251.251.3751.51.6251.751.8752x2.182.382.592.833.083.363.67解令f(x)2xx4，则f(1)2140.区间区间中点值xnf(xn)的值及符号(1,2)x11.5f(x1)0.330(1,1.5)x21.25f(x2)0.370(1.25,1.5)x31.375f(x3)0.0350|1.3751.5|0.1250，f(2)0，f(2)0(2，1.5)x11.75f(x1)2.2030(2，1.75)x21.875f(x2)0.7360(2，1.875)x31.937 5f(x3)0.097 40(1.937 5，1.875)由于|1.8751.937 5|0.062 50.1，所以函数在区间2，1 内的一个近似零点可取为1.937 5规律方法1.用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则(1)需依据图像估计零点所在的初始区间m，n (一般采用估计值的方法完成)(2)取区间端点的中点c，计算f(c)，确定有解区间是(m，c)还是(c，n)，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值2二分法求函数零点步骤的记忆口诀定区间，找中点；中值计算两边看同号丢，异号算，零点落在异号间重复做，何时止，精确度来把关口课堂达标1下列函数图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的近似值的是()答案b2已知定义在r上的函数f(x)的图像是连续不断的，且有如下对应值表：x0123f(x)3.10.10.93那么函数f(x)一定存在零点的区间是()a(0,1) b(1,2)c(2,3) d(3，)答案b3用二分法求方程x32x50在区间(2,3)内的实根，取区间中点为x02.5，那么下一个有根的区间是_解析令f(x)x32x5，则f(2)2322510，下一个有根的区间是(2,2.5)答案(2,2.5)4已知方程mx2x10在区间(0,1)内恰有一解，则实数m的取值范围是_解析设函数f(x)mx2x1，因为方程mx2x10在(0,1)内恰有一解，所以当m0时，方程x10在(0,1)内无解，当m0时，由f(0)f(1)0，即(m11)2答案(2，)5用二分法求函数f(x)x3x1在区间(1,1.5)内的一个零点(精确度为0.1)解f(1)10，f(1.25)1210.1；f(1.375)0，所以零点在区间(1.25,1.375)内，此时|1.3751.25|0.1250.1；又f(1.312 5)0，所以零点在区间(1.312 5,1.375)内，此时|1.3751.312 5|0.062 50.1，故f(x)x3x1在区间(1,1.5)内的一个零点可取x1.312 5课堂小结