北师大版必修一 函数与方程 函数零点的综合应用 教案.doc

函数零点的综合应用【考点精讲】二次函数零点分布：设（a）二次方程的两个根满足函数两个零点为满足（b）方程的两个根满足二次函数两个零点满足（c）二次方程f（x）=0在区间（p，q）内有两根二次函数两个零点满足或者（d）二次方程的两个根满足函数的零点满足（e）二次方程的两个根有且只有一个根在（p，q）内函数的两个零点有且只有一个在区间（p，q）内或检验f（p）=0，f（q）=0并检验另一根在（p，q）内。【典例精析】例题1 已知关于x的二次方程x22mx2m10。（1）若方程有两根，其中一根在区间（1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求m的范围；（2）若方程两根均在区间（0，1）内，求m的范围。思路导航：设出二次方程对应的函数，可画出相应的示意图，然后用函数性质加以限制。答案：（1）由条件，抛物线f（x）x22mx2m1与x轴的交点分别在区间（1，0）和（1，2）内，如图（1）所示，得即m。（2）抛物线与x轴交点均落在区间（0，1）内，如图（2）所示，列不等式组即m1。例题2 对实数a和b，定义运算“”：ab设函数f（x）（x22）（x1），xr。若函数yf（x）c的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是（ ）a. （1，1 （2，） b. （2，1 （1，2 c. （，2）（1，2 d. 2，1 思路导航：当（x22）（x1）1时，1x2，所以f（x）f（x）的图象如图所示。yf（x）c的图象与x轴恰有两个公共点，即方程f（x）c恰有两个解，由图象可知当c（2，1 （1，2 时满足条件。答案：b点评：转化为两个函数交点个数问题，利用数形结合法求解。例题3 已知关于x的函数y=（m+6）x2+2（m-1）x+m+1恒有零点 + + （1）求m的范围；（2）若函数有两个不同零点，且其倒数之和为-4，求m的值思路导航:（1）当m+6=0时，即m=-6时，满足条件当m+60时，由0求得m且m-6综合可得m的范围（2）设x1，x2是函数的两个零点，由条件并利用一元二次方程根与系数的关系求得m的值答案：（1）当m+6=0时，m=-6，函数为y=-14x-5显然有零点当m+60时，m-6，由=4（m-1）2-4（m+6）（m+1）=-36m-200，得m当m且m-6时，二次函数有零点综上可得，m，即m的范围为（-， （2）设x1，x2是函数的两个零点，则有x1+x2=，x1x2=-4，即=-4，=-4，解得m=-3且当m=-3时，m+60，0，符合题意，m的值为-3点评：本题主要考查函数的零点的定义，二次函数的性质，体现了分类讨论的数学思想。【总结提升】1. 一元二次方程根的讨论在高中数学中应用广泛，求解此类问题常有三种途径：（1）利用求根公式；（2）利用二次函数的图象；（3）利用根与系数的关系。无论利用哪种方法，根的判别式都不容忽视，只是由于二次函数图象的不间断性，有些问题中的判别式已隐含在问题的处理之中。函数零点的综合应用1. 若函数y=x2+（m2）x+（5m）有2个大于2的零点，则m的取值范围是（ ）a. （5，4） b. （，4） c. （，2） d. （，5）（5，4）2. 关于x的方程x2+px+2=0一根大于2，一根小于2，则p的取值范围是_。3. 若函数f（x）=2（m+1）x21与函数g（x）=4mx2m有两个交点，则m的取值范围是_。4. 已知函数f（x）=ax32ax+3a4在区间（1，1）上有一个零点，求实数a的取值范围。5. 关于x的二次方程x2+（m1）x+1=0在区间0，2 上有解。求实数m的取值范围。6. 已知关于x的方程3x25x+a=0的一根大于2而小于0，另一根大于1而小于3，求实数a的取值范围。7. 关于x的实系数方程x2ax+2b=0的一根在区间0，1 上，另一根在区间1，2 上，求 2a+3b的最大值。 函数零点的综合应用1. a解析：，5m4。2. p3解析：设f（x）=x2+px+2。由条件得f（2）0，且0， 即6+2p0。且p280 解得：p3。3. m1解析：由条件得方程2（m+1）x21=4mx2m有两个不等的实数根。即2（m+1）x24mx+2m1=0，有两个不等的实数根，即16m28（m+1）（2m1）0，解得m1。4. 解：当a=0时，f（x）=4，与题意不符。故a0。f（1）=2a4，f（1）=4a4。 f（x）在（1，1）上有零点， f（1）f（1）0，即（2a4）（4a4）0，解得1a2。故a的取值范围为（1，2）。5. 解：设f（x）=x2+（m1）x+1，x0，2 ， （1）f（x）=0在区间0，2 上有一解。 f（0）=10，应有f（2）0m。 （2）f（x）=0在区间0，2 上有两解，则 m1。由（1）（2）知：m1。6. 12a0解析：运用二分法得出相应的不等式组。设f（x）=3x25x+a，则f（2）0，f（0）0，f（1）0，f（3）0同时成立，解得12a0。7. 解：令f（x）=x2ax+2b，据题意知函数在0，1 ，1，2 内各存在一零点，结合二次函数图象可知