江苏省栟茶高级中学2015届高三上学期第二次学情调研数学试题（含理科加试题） (2).doc

江苏省栟茶高级中学高三年级第二次学情调研数 学 试 卷 2014.12.26第I卷(总分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上1 若集合，集合，则 2复数Z满足，是Z的虚部为 3 抛物线的准线方程是 4若ac0且bc0，直线不通过第 象限四5椭圆的左、右顶点分别是A，B,左、右焦点分别是F1，F2若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为 6已知一个圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为 7中，若，则 xyOAB8如右图所示为函数()的部分图象,其中两点之间的距离为,那么 9 若双曲线的一条渐近线方程是y2x，则离心率e的值为_或10下列有关命题的说法正确的是 命题“若，则”的否命题为：“若，则”；已知时，若是锐角三角形，则；命题“若，则”的逆否命题为真命题；命题“使得”的否定是：“均有”11已知,点P在圆上,满足=40，若这样的点P有两个，则的取值范围是 12定义在上的函数满足：，是的导函数，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为 13为的外接圆圆心,为钝角,M是边BC的中点,则= 29 14已知函数是定义域为的偶函数 当时， 若关于的方程，有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围是 解析：依题意在和上递增，在和上递减，当时，函数取得极大值；当时，取得极小值要使关于的方程，有且只有6个不同实数根，设，则必有两个根、，则有两种情况符合题意：（1），且，此时，则；（2），此时同理可得，综上可得的范围是 二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分14分）已知向量， (1)当时，求的值； (2)设函数，已知在中，内角的对边分别为，若，求（）的取值范围解析：（1） 2分6分 （2）+8分由正弦定理得或 10分 因为，所以 11分,所以 14分16 （本小题满分14分）在正四面体ABCD中，点F在CD上，点E在AD上，且DFFC=DEEA=23证明：（1）EF平面ABC；（2）直线BD直线EF证：（1）因为点F在CD上，点E在AD上，且DFFC=DHHA=23， 1分所以EFAC， 3分又EF平面ABC，AC平面ABC，所以EF平面ABC6分（2）取BD的中点M，连AM，CM，因为ABCD为正四面体，所以AMBD，CMBD， 8分又AMCM=M，所以BD平面AMC， 10分又AC平面AMC，所以BDAC， 12分又HFAC，所以直线BD直线HF14分17（本小题满分14分）某小区想利用一矩形空地建造市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一个水塘（如图中阴影部分），水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中，且中，经测量得到为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏设计时经过点作一条直线交于，从ABCDEFMNG第17题而得到五边形的市民健身广场（）假设，试将五边形的面积表示为的函数，并注明函数的定义域；（）问：应如何设计，可使市民健身广场的面积最大？并求出健身广场的最大面积解：（）作GHEF，垂足为H，因为，所以，因为所以，所以 2分过作交于T，则，所以 7分由于与重合时，适合条件，故,8分（），10分 所以当且仅当，即时，取得最大值2000， 13分答：当时，得到的市民健身广场面积最大，最大面积为14分18（本小题满分16分）已知椭圆（）的左、右焦点分别为、，短轴两个端点为、，且四边形是边长为2的正方形 （）求椭圆的方程； （）若、分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足，连结，交椭圆于点证明：为定值；（）在（）的条件下，试问轴上是否存在异于点的定点Q，使得以为直径的圆恒过直线的交点，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由 解：（）如图，由题意得， 所求的椭圆方程为 3分（）由（）知，（，0），（2，0） 4分由题意可设：，（，） ，（2，） 5分 由 整理得: ， ， 即为定值（）设，则若以为直径的圆恒过，的交点，则，恒成立 由（）可知， 即恒成立 存在使得以为直径的圆恒过直线，的交点 19（本小题满分16分）已知函数（1）求的单调增区间和最小值；（2）若函数与函数在交点处存在公共切线，求实数的值；（3）若时，函数的图象恰好位于两条平行直线；之间，当与间的距离最小时，求实数的值解（1）因为，由，得，所以的单调增区间为，2分又当时，则在上单调减，当时，则在上单调增， 所以的最小值为 5分（2）因为，设公切点处的横坐标为，则与相切的直线方程为：，与相切的直线方程为：， 所以 8分解之得，由（1）知，所以 10分（3）若直线过，则，此时有（为切点处的横坐标），所以， 11分当时，有，且，所以两平行线间的距离，12分令，因为，所以当时，则在上单调减；当时，则在上单调增，所以有最小值，即函数的图象均在的上方，13分令，则， 所以当时，15分所以当最小时，16分20（本小题满分16分）已知函数（为实数，），若，且函数的值域为，求的表达式；设，且函数为偶函数，判断是否大0？设，当时，证明：对任意实数，(其中是的导函数) 解：因为，所以，因为的值域为，所以， 3分所以，所以，所以； 5分因为是偶函数，所以，又，所以， 8分因为，不妨设，则，又，所以，此时，所以； 10分 因为，所以，又，则， 因为，所以 则原不等式证明等价于证明“对任意实数， ” ， 即 12分 先研究 ，再研究 记，令，得，当，时，单增；当，时，单减 所以，即 记，所以在,单减，所以，即 综上、知， 即原不等式得证，对任意实数， 16分江苏省栟茶高级中学高三年级第二次学情调研第卷（理科加试）(总分40分，考试时间30分钟)21 （本小题满分10分）将曲线y2sin4x经矩阵M变换后的曲线方程为ysinx，求变换矩阵M的逆矩阵解：解法1：由条件知点(x，y)在矩阵M作用下变换为点，即M，所以M，设M1，于是有MM1，所以，解得，所以M的逆矩阵为解法2：由于M， ，所以，即M的逆矩阵为22（本小题满分10分） 以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位已知直线的参数方程为 (为参数，)，曲线的极坐标方程为（）求曲线的直角坐标方程；（）设直线与曲线相交于、两点，当变化时，求的最小值解：（）由，得所以曲线C的直角坐标方程为5分（）将直线的参数方程代入，得设、两点对应的参数分别为、，则， ，当时，的最小值为4 10分23 （本小题满分10分）已知过定点F(0,2)的圆C始终与直线相切（1）求圆心C的轨迹方程；（2）AB是（1）中轨迹的动弦，且AB过F点，分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，证明：AQBQ解：（1）易知轨迹为抛物线：x28y；（2）因为直线AB与x轴不垂直，设直线AB的方程为ykx2，A(x1，y1)，B(x2，y2)由可得x28kx160，x1x28k，x1x216(4分)抛物线方程为yx2，求导得yx(6分)所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是k1x1，k2x2，k1k2x1x2x1x21所以AQBQ(10分)24 （本小题满分10分）设是函数的一个极值点（1）求与的关系式（用表示），并求的单调区间； （2）设，若存在，使得成立，求实数的取值范围解：（） 由题意得：，即， 且 令得， 是函数的一个极值点 ，