高中数学（必修四）校本教材正文.doc

第一章 三角函数 1.1.1 任意角重点与难点：重点：任意角的概念难点：判断已知角所在象限，终边相同的角的表示知识方法归纳：1.角的分类：正角，负角，零角2.象限角，轴线角：当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边（除顶点外）在第几象限，就说这个角是第几象限角。 当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角在终边落在坐标轴上，称做轴线角，这时这个角不属于任何象限。3.终边相同的角：S=+k3600,kz相等的角，终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差3600的整数倍。范例剖析:例1在-72007200之间，写出与600角终边相同的角的集合M点评：解答此类问题的关键是选择适当的k值例2已知角、的终边相同，那么-的终边在（ ）Ax轴的非负半轴上 B.y轴的非负半轴上C. x轴的非正半轴上 D.y轴的非正半轴上点评：将角、按终边相同角公式写出，然后作差-，对其研究即可作出判断。达标练习1下面命题中正确的是（ ）A第一象限角必是锐角B终边相同的角相等C相等的角终边必相同 D不相等的角其终边必不相同2下列命题中的真命题是（ ）A三角形的内角是第一象限角或第二象限角B第一象限的角是锐角C第二象限的角比第一象限的角大D角是第四象限角的充要条件是2k2k(kZ)3时针走过2小时40分，则分针转过的角度是（ ） A7200 B-7200C9600D-96004设，则与终边相同的角的集合为（ ） A. B. C. D. 5设kZ，下列终边相同的角是（ ）A（2k+1）180与（4k1）180Bk90与k180+90Ck180+30与k36030Dk180+60与k606若90180，则180与的终边（ ）A关于x轴对称B关于y轴对称C关于原点对称D以上都不对7设集合M=|=，kZ，N=|，则MN等于（ ）ABCD8若角与角的终边关于轴对称，则与的关系是_。9若是第三象限的角，是第二象限的角，则是第 象限的角.10已知求的范围。1.1.2 弧度制重点与难点：重点: 理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制互化换算；弧度制的运用.难点: 理解弧度制定义，弧度制的运用.知识方法归纳：1.角的弧度数是：=2.角度与弧度之间的互化：3600=2，1800=，10=0.01745，1=570183.弧长公式和扇形面积公式：在弧度制下，弧长公式和扇形的面积公式分别为： =r ； S=r=r2在角度制下，弧长公式和扇形的面积公式分别为： ； 范例剖析：例1（1）将112030化为弧度； （2）将化为度点评：弧度与角度互化，要牢记=1800例2已知扇形OAB的圆心角为1200，半径长为6，（1） 求的弧长；（2）求弓形OAB的面积。点评：记准、记熟弧长公式，扇形面积公式。达标练习1下列命题中，假命题是 （ ） A“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B一度的角是周角的，一弧度的角是周角的 C根据弧度的定义，1800一定等于弧度 D不论是用角度制还是用弧度制量角，它们均与圆的半径长短有关2-3000化为弧度是 ( )A. B. C. D.3一条弧所对的圆心角是2，弧长为4，则半径等于（ ） A. 8 B. 4 C. 2 D. 14将分针拨慢5分钟，则分钟转过的弧度数是（ ）ABCD5某扇形的面积为1，它的周长为4，那么该扇形圆心角的度数为（ ）A2B2C4D46已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是( )A2 B C D7中心角为60的扇形，它的弧长为2，则它的内切圆半径为（ ）A2BC1D8设，则分别是第 象限的角。9一个扇形的周长为20，求扇形的半径，圆心角各取何值时，此扇形的面积最大？1.2.1 任意角的三角函数(第一课时)重点与难点:重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义；三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号；公式一难点：公式一的运用知识方法归纳: 1.终边相同的角的三角函数值相等； 2.三角函数求值时要注意由角所在的象限决定三角函数值的符号。范例剖析:例1 已知角的终边过点，求的正弦、余弦、正切值点评：注意公式例2(1)求下列三角函数值；(2)已知，且，试判断的符号点评：学会灵活运用公式1进行三角函数的化简达标练习1角的终边上有一点P，则的值是( ) A. B. C. 或 D. 12若则在( )A.第二、三象限 B.第一、三象限 C.第一、四象限 D.第二、四象限3( ) A. B. C. D. 4已知角的终边经过点P，且，则的值是( ) A. B. C. D. 5若是第一象限角，那么能确定为正值的是( ) A. B. C. D. 6已知点在第三象限，则角的终边在第_象限7若，则的取值范围是_8已知的终边经过点，且，则的取值范围是_9(1)已知角的终边为射线，求、的值。 (2)已知角a的终边经过P(4,-3),求2sina+cosa的值10(1)求、的值 (2) 求函数的值域1.2.1 任意角的三角函数(第二课时)重点与难点:重点：正弦线、余弦线、正切线的概念难点：正弦线、余弦线、正切线的应用知识方法归纳: 1.用数形结合的思想解决三角问题是行之有效的方法 2.利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围是常用方法范例剖析:例1利用三角函数线比较下列各组数的大小：(1)与 (2) tan与tan点评：利用三角函数线可以很好地比较两个同名三角函数的大小关系训练1作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线。（1）； （2）； （3） 例2利用单位圆寻找适合下列条件的0到360的角(1)sina (2)tana点评：此题的本质是用三角函数线解三角不等式训练2利用单位圆写出符合下列条件的角的范围。（1）； （2）； （3）且；（4）； （5）且达标练习1若02，且sin .利用三角函数线，得到的取值范围是（ ） A（，） B（0，） C（，2） D（0，）（，2）2若 costan BcostansinC tansincos Dsintancos3依据三角函数线，作出如下四个判断：sin =sin；cos（）=cos；tantan ；sin sin 其中判断正确的有（ ） A1个 B2个 C3个 D4个4角（00）在区间0，1是至少出现50次最大值，则的最小值是（ ） A 98 B C D 1007. 若函数是以为周期的函数，且则_.8 函数的周期是_ _,奇偶性是_ _9. 已知函数f(x) =sin(2x+)为奇函数，求的值.10 已知函数是一个以2a为周期的周期函数。1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（第二课时）重点与难点：重点：正、余弦函数的单调性；难点：正、余弦函数单调性的理解与应用知识方法归纳：正弦函数在每一个闭区间2k，2k(kZ)上都是增函数，其值从1增大到1；在每一个闭区间2k，2k(kZ)上都是减函数，其值从1减小到1.余弦函数在每一个闭区间(2k1)，2k(kZ)上都是增函数，其值从1增加到1；在每一个闭区间2k，(2k1)(kZ)上都是减函数，其值从1减小到1.范例剖析例1.设函数图像的一条对称轴是直线.（1）求； （2）求函数的单调增区间训练1.求函数的单调减区间。例2.已知函数（1）当时，求函数的最值；（2）求当时的集合。达标练习1.下列函数在上是增函数的是（）A. y=sinx B. y=cosx C. y=sin2x D. y=cos2x2.下列四个函数中，既是上的增函数，又是以为周期的偶函数的是（）.A. B. y= C. D.3.函数 在闭区间（）.A. 上是增函数 B.上是增函数C. 上是增函数D. . 上是增函数4.函数y=sin2x的单调减区间是（）A. B.C. D.5.函数 y=sin 的单调增区间是（）.A.B.C.D. 6.函数，其单调性是（）.A.在上是增函数，在上是减函数B. 在上是增函数，在上分别是减函数C.在上是增函数，在上是减函数D. 在是增函数，在上是减函数7.y=cos(-2x)的单调递减区间是 。8.函数的最大值是_ _,最小值是_ _.9.函数的增区间是_ _10.求函数 的单调递增区间.1.4.3 正切函数的性质与图象重点与难点：重点：正切函数的图象和性质的运用。 难点：灵活应用正切函数的性质解决相关问题知识方法归纳：1.因为正切函数的定义域是，所以它的图象被等相互平行的直线所隔开，而在相邻平行线间的图象是连续的。2.作出正切函数的图象，也是先作出长度为一个周期（-/2，/2）的区间内的函数的图象，然后再将它沿x轴向左或向右移动，每次移动的距离是个单位，就可以得到整个正切函数的图象。讨论函数的单调性应借助图象或相关的函数的单调性；形如ytan(x)，x (kZ)的周期T；注意正切函数的图象是由不连续的无数条曲线组成的范例剖析例1.根据正切函数图象，写出满足下列条件的x的范围 训练1. 不等式的解集例2.求函数的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单调性。训练2.求函数的单调区间.达标练习1.与函数图象不相交的一条直线是（ ）.A B C D2.函数的定义域（ ）.A BC D3.下列各式正确的是（ ）.A BC D大小关系不确定4.若,则（ ）.A BC D5.直线(a为常数)与正切曲线为常数，且相交的两相邻点间的距离为（ ）.A B C D与a值有关6.在下列函数中，同时满足：在上递增；以为周期；是奇函数的是（ ）.A B C D7.函数y=tan2x-2tanx+3的最小值是 ;8.函数y=tan(+)的递增区间是 。9.下列关于函数y=tan2x的叙述：直线y=a(aR)与曲线相邻两支交于A、B两点，则线段AB长为；直线x=k+，(kZ)都是曲线的对称轴;曲线的对称中心是(，0)，(kZ)，正确的命题序号为 .10.求函数的定义域与值域，并作图象.11.求函数在时的值域(其中为常数)1.5 函数的图象（第一课时）重点与难点：重点：用参数思想讨论函数的图象变换程.难点: 认识图象变换与函数解析式变换的内在联系.知识方法归纳:1. 分别对的图象的影响.2. 函数 (其中)的图象可由函数的图象变换而来.3. 函数 , , (其中)中各量的物理意义.范例剖析：例1. 分别用“五点法”及图象变换法作出函数的图象.点评: (1)用五点法作函数的图象,五个点应是取得最大值、最小值以及曲线与轴的交点。（2）由函数的图象变换到函数的图象的两种方法：第一种方法是先进行相位变换；第二种方法是先进行周期变换。在先进行周期变换时，特别要注意下一步的变换平移的长度。例2将函数的图象先向左平移个单位长度,再将图象上的所有点的横坐标扩大到原来的5倍,纵坐标压缩到原来的,得到函数的图象,求.点评: 运用逆向思维,充分应用图象变换与函数解析式变换的内在联系求出达标练习1为了得到函数的图象,只需将的图象（ ）A. 向左平移个单位长度. B. 横坐标扩大倍C. 向右平移个单位长度. D. 横坐标缩小倍2将函数的图象向左平移个单位,再将横坐标不变、纵坐标伸长到原来的3倍，所得图象的解析式为（ ）A B. C. D. 3为了得到函数的图象,可以将的图象 ( )A. 向右平移个单位长度. B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度. D. 向左平移个单位长度4若将某正弦函数的图象向右平移个单位,得到的图象,则原来函数的解析式是( )A. B. C. D.5最大值为,周期为初相是的函数表达式可能是 ( ).A. B. C. D.6函数的振幅为_;初相为_;频率为_.7将函数 的图象向左平移个单位,再将所得图象的纵坐标不变,横坐标缩小到原来的倍,所得图象恰好与函数 的图象重合,求与的值.8画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图(五点法).9简述由函数的图象经过变换得到函数的过程.1.5 函数的图象（第二课时）重点与难点：重点：掌握由的图象特点,求出函数的解析式.难点：函数中的确定知识方法归纳：由图象或部分图象确定确定解析式：一般可由图象上的最大值、最小值来确定：通过求周期来确定：从寻找“五点法”中的第一零点作为突破口，从图象的升降情况找准第一零点的位置范例剖析：例1已知函数 (其中, )的图象的一个最高点为,由这个最高点到相邻最低,图象与轴交于点(6,0), 试求函数的解析式.点评:求函数的解析式，值是关键，最常用的方法是找平衡点法，即与原点相邻且处于递增部分上的与轴的交点，与正弦曲线上（，）点对应，即有时也用最值点求解训练1已知函数 (其中, )的最小正周期是,最小值为-2,且图象经过点,求函数的的解析式.例2已知函数 (其中, )的部分图象如下,确定A、的值，并求出相应函数的单调区间。训练2如图为正弦函数 的一个周期的图象.(1) 写出的解析式;(2) 若与的图象关于直线对称,写出的解析式;(3) 写出的周期、频率、振幅、相位、初相。达标练习1函数的周期为 ( ) A B C D2已知函数y=2sin(x+)(0)在区间0，2的图像如下：那么=（ ）A1 B2C1/2D1/3 3函数在区间上的递增区间为（ ）A B C D4若函数，（其中，）的最小正周期是，且，则（ ）A B C D5函数 在区间上是增函数,且,则函数在区间上是 ( )A. 是增函数 B. 是减函数 C. 可以取到最大值M D. 可以取到最小值-M6函数的图象的两条相邻对称轴之间的距离是_.7对于函数 有下列例题:由可得必是的整数倍; 的表达式可改写为; 的图象图象关于点对称.其中正确命题的序号是_.8方程在上有两个不相等的实数根,则实数的范围是 _ _.9如图，表示电流强度I与时间t的关系式在一个周期内的图象 试根据图象写出的解析式；为了使中t在任意一段秒的时间内I能同时取最大值|A|和最小值|A|，那么正整数的最小值为多少？10已知函数 ()的图象过点,图象与P点最近的一个最高点的坐标为(1)求函数的解析式; (2)指出函数的增区间; (3)求使时,的取值范围.11已知函数 (其中, )的最大值为,最小值为-,周期为,且图象过点,求这个函数的解析式.1.6 三角函数模型的简单应用（第一课时）重点与难点：重点：函数的图像及性质。难点：函数解析式的求法。知识方法归纳：1 五点法作函数y=sinx的图像。2 函数解析式的求法步骤。范例剖析：例1已知函数，则下列命题正确的是（ ）A.f(x)是周期为1的奇函数 B.f(x)是周期为1的偶函数C.f(x)是周期为2的奇函数 D.f(x)是周期为2的偶函数例2若函数（A0, 0）在同一周期内，当x=时，取得最大值3；当x=时，取得最小值3，则函数的解析式为_.点评：抓住函数各个部分所表达的含义。达标练习1要得到函数y=sin2x的图像，只要将函数y=sin(2x-) 的图像（ ）A向左平移个单位长度 B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度 D向右平移个单位长度2若函数的图像关于点（，0）对称，则的值可能是（ ）A B. C. D. 3函数的值域为-3,3 且在区间, 是单调函数，则A与的一组值可能是（ ）AA3，1 BA3，0 CA3，-1 DA3，1.54如果今年春、夏、秋、冬的平均气温分别是、;随着全球气候变暖（每年平均上升），那么十年以后夏季与冬季的温差是（ ）A. B. C. D. 5.函数取得最大值1时，x的值为_.6函数的单调增区间为_ _.yxo610141020307如图时某地一天从6时至14时的温度变化的近似曲线（1）求这段时间的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式。 8(1)若函数在区间0,1内至少有50个最大值，求的最小值；（2）若函数在区间m,m+1(m为任意整数)内至少有50个最大值，求的最小值。1.6 三角函数模型的简单应用（第二课时）重点与难点： 重点：1进一步熟悉函数的图像、性质。2建立函数的模型，利用模型求解实际应用问题。难点：函数模型的建立。知识方法归纳：根据已知条件画出草图，关键是五点，然后利用函数的周期性等解决问题。范例剖析：例1在匀强磁场中，匀速转动的线圈所产生的电流i是时间t的正弦函数，即，试求它在初始（t=0）时的电流及最大电流和周期。例2某港口的水深y（米）是时间t（0t24,单位：小时）的函数，下面是每天时间与水深关系表：t03691215182124y10139.97101310.17.010(1) 选择个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系；(2) 若船底离海底的距离不少于4.5米时是安全的，如果某船的吃水深度（船底与水面的距离）为7米，那么该船在一天中哪几段时间可以安全地进出该港？点评：根据题意画出草图，利用函数的周期性解决问题。达标练习1若,则x的取值范围为（ ）A B. C. D. 2函数，则下列判断正确的一项是（ ）Af(x)是奇函数且周期为 Bf(x)是偶函数且周期为X XY甲乙丙丁0戊Cf(x)是奇函数且周期为 Df(x)是偶函数且周期为3若函数f(x)=2sin(01)在区间0,上的最大值是，则 的值为（ ）A B C D4如图是一向右传播的绳波在某一时刻各点的位置图，经过周期 后，乙点的位置将移至( )A甲 B.乙 C.丙 D.丁5某动物种群数量1月时低至700，7月时高至900，其总量在此两值之间依正弦曲线变化，则种群数量正弦曲线变化，则种群数量y作为时间t的函数表达式为（其中t是以年初以来的月为计量单位）（ ）A.y B. C. 2D. 6如图是一个弹簧振子作简谐运动的图像，横轴表示振动时间，纵轴表示振子的位移，则这tO0.50.30.1个振子振动的函数解析式为_27某地白昼时间的小时数D（t）可由下式计算其中t表示某天的序号，t=0表示1月1日，依次类推；求：（1）该地在0,365内哪一天的时间最长？ （2）该地一年中有多少天的白昼时间超过10.5小时？82002年8月，在北京召开的国际数学家大会的图标如图所示，它是 由四个相同的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角为大正方形的面积为1，小正方形的面积为，求的值。第二章 平面向量2.1 平面向量的实际背景及基本概念（第一课时）重点与难点：重点：理解掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.知识方法归纳：（1）向量既有大小又有方向，（2）零向量模为零方向任意（3）单位向量模为一个单位（4）平行向量方向相同或相反（5）相等向量长度相等且方向相同（6）共线向量即平行向量范例剖析：例1下列命题正确的是（ ）A共线向量都相等 B单位向量都相等C平行向量不一定是共线向量 D零向量与任一向量平行点评：向量，零向量，单位向量，平行向量，共线向量的理解例2判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；单位向量都相等； 任一向量与它的相反向量不相等；四边形ABCD是平行四边形当且仅当 一个向量方向不确定当且仅当模为0； 共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.达标练习1下列各量中是向量的是( )A面积 B时间 C质量 D速度2若a是零向量则该向量的确定是（ ）A方向 B大小 C方向和大小 D以上均不对3单位向量是（ ）A1 B-1 C过原点的向量 D模为单位长度的向量4下列说法中错误的是（ ）A零向量没有方向 B零向量与任何向量平行 C零向量的长度为0 D零向量的方向是任意的5若向量a=b，则 （ ） A|a|=|b| B|a|=|b|=1 C|a|=|b|=0 D不能确定6若两非零向量a，b平行 ，则（ ）A起点相同 B大小相等 C方向相同 D方向相同或相反 7共线向量的方向是_ 8所有单位向量模都_ 9下列各种情况中，向量的终点各构成什么图形？ (1) 把平面上平行于某一条直线的所有单位向量平移到同一起点；(2)把平面上平行于某一条直线的一切向量平移到同一起点。2.1 平面向量的实际背景及基本概念（第二课时）重点与难点：重点：深刻理解向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，并真正运用之难点：正确运用相关概念来识图和解应用题知识方法归纳：根据向量的有关概念结合图形的平行性和对称性来判断相等和共线，及将实际问题转化为向量范例剖析：例1下列说法中正确的是( ) A平行向量就是向量所在直线都平行的向量 B长度相等的向量叫做相等向量 C零向量的长度为0 D共线向量就是在同一直线上的向量点评：进一步巩固和理解向量，零向量，单位向量，平行向量，共线向量等基本概念训练1下列说法正确的是( ) A若 |a| |b| ，则ab B若 |a|= |b| ，则a= b C若 |a|= |b| ，则 a 与 b 共线 D若 |a|=0 ，则a=o 例2如图,D、E、F顺次是等边ABC的边AB,BC,AC的中点，则在A、B、C、D、E、FEFDCBA六个点中任意两点为起点和终点的向量(1)找出与向量 相等的向量(2)是否存在与向量 长度相等，方向相反的向量? (3)与向量 模长相等的向量有多少个？ 点评：认清图形的平行性和相等线段训练2如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中 与向量 相等的向量例3一辆汽车从A点出发向西行驶了100公里到达B点，然后又改变方向向西偏北500走了200公里到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100公里到达D点。 (1)作出向量 ； (2)求 点评：根据背景理解向量的实际意义达标练习1若非零向量|a|=|b|=|c|=|d|,且它们共起点，则这四个向量的终点构成（ ） A圆 B点 C线 D不能确定2下列命题中，正确的是( )A|=|=B|=|且= C = D|=03如图6所示，设O是六边形ABCDEF的中心，与向量长度相等的向量有（ ） A6 B9 C10 D11 4如图6所示 ， 与向量长度相等，方向相反的向量有（ ）个A1 B2 C3 D05如图6所示，与向量共线的向量有（ ）个 A2 B3 C4 D66如图7，在45的方格图中，有一个向量，分别以图中的格点为起点和终点作向量，则与向量相等的向量有 （ ） A2 B4 C3 D67若向量a，b，c满足a/b且b/c，则a与c关系（ ） A平行 B反向 C同向 D不能确定 8已知飞机从A地按北偏东30的方向飞行了2000km到达B地，再从B地按南偏东 3O的方向飞行了2000km到达C地，再从C地按西南方向飞行了km到 达D地，问（1）D地在A地的什么方向？（2）D地距A地多远？2.2.1 向量加法运算及其几何意义重点与难点：重点：灵活运用向量加