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文档简介
第2课时对数的运算性质及换底公式学习目标1.掌握对数的运算性质,能运用运算性质进行对数的有关计算(重、难点);2.了解换底公式,能用换底公式将一般对数化为自然对数或常用对数(重、难点)预习教材p8085完成下列问题:知识点一对数的运算性质如果a0,a1,m0,n0,则:(1)loga(mn)logamlogan;(2)logamnnlogam(nr);(3)logalogamlogan思考当m0,n0时,loga(mn)logamlogan,loga(mn)logamlogan是否成立?提示不一定成立【预习评价】(正确的打“”,错误的打“”)(1)若mn0,则loga(mn)logamlogan.()(2)logaxlogayloga(xy)()(3)对数的运算性质(1)loga(mn)logamlogan能推广为loga(a1a2an)logaa1logaa2logaan(a0且a1,an0,nn )()提示(1)错误m和n为负数时logam和logan无意义(2)错误logaxlogayloga(xy)(3)正确能loga(a1a2an1)an loga(a1a2an1)logaanloga(a1a2an2)logaan1logaanlogaa1logaa2logaan答案(1)(2)(3)知识点二换底公式logbn(a,b0,a,b1,n0)【预习评价】1换底公式中底数a是特定数还是任意数?提示是大于0,且不等于1的任意数2换底公式有哪些作用?提示利用换底公式可以把不同底数的对数化为同底数的对数,便于应用对数的运算性质进行化简、求值知识点三常用结论由换底公式可以得到以下常用结论:(1)logab;(2)logablogbclogca1;(3)loganbnlogab;(4)loganbmlogab;(5)blogab【预习评价】1计算log2781()a. b c d解析log2781log3334答案a2计算log42log48_解析log42log48log4162答案23结合教材p8182,例4和例5,你认为应怎样利用对数的运算性质计算对数式的值?提示第一步:将积、商、幂、方根的对数直接运用运算性质转化第二步:利用对数的性质化简、求值题型一利用对数的运算性质化简、求值【例1】计算下列各式的值(1)lglglg;(2)lg 25lg 8lg 5lg 20(lg 2)2解(1)法一原式(5lg 22lg 7)lg 2(2lg 7lg 5)lg 2lg 72lg 2lg 7lg 5lg 2lg 5(lg 2lg 5)lg 10法二原式lglg 4lg (7)lglg()lg(2)原式2lg 52lg 2lg 5(2lg 2lg 5)(lg 2)22lg 10(lg 5lg 2)22(lg 10)2213规律方法1.对于同底的对数的化简,常用方法是(1)“收”,将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数(2)“拆”,将积(商)的对数拆成对数的和(差)2对数式的化简,求值一般是正用或逆用公式要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯,lg 2lg 51在计算对数值时会经常用到,同时注意各部分变形要化到最简形式【训练1】计算下列各式的值(1)(lg 5)22lg 2(lg 2)2;(2)解(1)原式(lg 5)2lg 2(2lg 2)(lg 5)2(1lg 5)lg 2(lg 5)2lg 2lg 5lg 2(lg 5lg 2)lg 5lg 2lg 5lg 21(2)原式题型二利用换底公式化简、求值【例2】计算下列各式的值(1)lg 20log10025;(2)(log2125log425log85)(log1258log254log52)解(1)lg 20log100251lg 21lg 2lg 52(2)(log2125log425log85)(log1258log254log52)(log253log2252log235)(log5323log5222log52)log25(111)log52313规律方法(1)在化简带有对数的表达式时,若对数的底不同,需利用换底公式(2)常用的公式有:logablogba1,loganbmlogab,logab等【训练2】(1)(log29)(log34)等于()a. b c2 d4(2)log2log3log5_解析(1)(log29)(log34)(log232)(log322)2log23(2log32)4log23log324(2)原式12答案(1)d(2)12考查方向题型三换底公式、对数运算性质的综合运用方向1含有附加条件的对数式或指数式的求值【例31】(1)已知log189a,18b5,求log3645(2)设3a4b36,求的值解(1)法一log189a,18b5,log185b于是log3645法二log189a,18b5,log185b于是log3645法三log189a,18b5,lg9alg 18,lg 5blg 18,log3645(2)法一由3a4b36,得alog3362log36,blog436log2262log26log63log62log6(23)log661法二对已知条件取以6为底的对数,得alog632,blog621,log63,log62,于是log63log62log661方向2与方程的综合应用【例32】解下列方程(1)(lg xlg 3)lg 5lg(x10);(2)lg x2log(10x)x2;(3)log(x21)(2x23x1)1解(1)首先,方程中的x应满足x10,其次,原方程可化为lglg,即x210x750解得x15或x5(舍去),经检验,x15是原方程的解(2)首先,x0且x,其次,原方程可化为lg x2,即lg2xlg x20令tlg x,则t2t20,解得t1或t2,即lg x1或lg x2,x10或x经检验,x10,x都是原方程的解(3)首先,x210且x211,即x1或x0,得x1综上可知,x1或x1或x1且x,x2经检验,x2是原方程的解方向3与集合知识的综合应用【例33】已知集合ax,xy,lg(xy),b0,|x|,y,若ab,则log8(x2y2)_解析在集合b中,根据集合中元素的互异性,有|x|0,且y0.则在集合a中,x0,且xy0,有lg(xy)0,解得xy1.此时,ax,1,0,b0,|x|,y由ab,得|x|1或y1若|x|1,则x1或x1(舍去)此时y1.经检验,符合题意若y1,则|x|x,解得x1,与集合中元素的互异性矛盾综合可知,x1,y1,log8(x2y2)log82答案方向4与函数知识的综合应用【例34】已知函数f(x)求f(f(f(2)的值解20又当x(0,)时,f(x)log2x,f(f(f(2)flog24规律方法(1)带有附加条件的对数式或指数式的求值问题,需要对已知条件和所求式子进行化简转化,原则是化为同底的对数,以便利用对数的运算性质要整体把握对数式的结构特征,灵活运用指数式与对数式的互化(2)解对数方程时,先由对数有意义(真数大于0,底数大于0且不等于1)求出未知数的取值范围,去掉对数值符号后,再解方程,此时只需检验其解是否在其取值范围内即可,这样做可以避免烦琐的计算课堂达标1若lg xlg ya,则lg3lg3()a3a baca d解析lg3lg33(lg xlg y)3a答案a2已知ln 2a,ln 3b,那么log32用含a,b的代数式表示为()aab bcab dab解析log32答案b3log510log5_解析原式log5log551答案14log23log34_解析原式2答案25计算:(lg 32lg 2)解原式lglg 244课堂小结1换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化
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