北师大版必修三 建立概率模型 学案.doc

2.2建立概率模型学习目标1.根据需要会建立合理的概率模型，解决一些实际问题(重点).2.理解概率模型的特点及应用(重、难点).预习教材p134137完成下列问题：知识点古典概率模型1.在建立概率模型时，把什么看作是一个基本事件(即一个试验结果)是人为规定的，如果每次试验有一个并且只有一个基本事件出现，只要基本事件的个数是有限的，并且它们的发生是等可能的，就是一个古典概型.2.从不同的角度去考虑一个实际问题，可以将问题转化为不同的古典概型来解决，而所得到的古典概型的所有可能结果越少，问题的解决就变得越简单.3.在求古典概型的概率时，我们往往要列举基本事件，树状图法是进行列举的一种常用方法.【预习评价】(正确的打，错误的打)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”()(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件()(3)从市场上出售的标准为5005 g的袋装食盐中任取一袋，测其重量，属于古典概型()(4)在古典概型中，如果事件a中基本事件构成集合a，且集合a中的元素个数为n，所有的基本事件构成集合i，且集合i中元素个数为m，则事件a的概率为()答案(1)(2)(3)(4)题型一用树状图求概率【例1】 甲、乙、丙、丁四名学生按任意次序站成一排，试求下列事件的概率：(1)甲在边上；(2)甲和乙都在边上；(3)甲和乙都不在边上.解利用树状图来列举基本事件，如图所示.由树状图可看出共有24个基本事件.(1)甲在边上有12种情形：(甲，乙，丙，丁)，(甲，乙，丁，丙)，(甲，丙，乙，丁)，(甲，丙，丁，乙)，(甲，丁，乙，丙)，(甲，丁，丙，乙)，(乙，丙，丁，甲)，(乙，丁，丙，甲)，(丙，乙，丁，甲)，(丙，丁，乙，甲)，(丁，乙，丙，甲)，(丁，丙，乙，甲).故甲在边上的概率为p.(2)甲和乙都在边上有4种情形：(甲，丙，丁，乙)，(甲，丁，丙，乙)，(乙，丙，丁，甲)，(乙，丁，丙，甲)，故甲和乙都在边上的概率为p.(3)甲和乙都不在边上，有4种情形：(丙，甲，乙，丁)，(丙，乙，甲，丁)，(丁，甲，乙，丙)，(丁，乙，甲，丙)，故甲和乙都不在边上的概率为p.规律方法对于一些比较复杂的古典概型问题，一般可以通过分类，有序地把事件包含的情况分别罗列出来，从而清晰地找出满足条件的情况，在列举时一定要注意合理分类，才能做到不重不漏，结果明了，而树状图则是解决此类问题的较好方法.【训练1】甲、乙两同学下棋，胜一盘得2分，和一盘各得1分，负一盘得0分.连下三盘，得分多者为胜，求甲获胜的概率.解每盘棋都有胜、和、负三种情况，三盘棋共有27种情况.设“甲获胜”为事件a，甲获胜的情况有：三盘都胜，得6分有1种情况，两胜一和得5分有3种情况，两胜一负得4分有3种情况，一胜两和得4分有3种情况，共10种情况.故甲获胜的概率为p(a).题型二由列表法求概率【例2】某乒乓球队有男乒乓球运动员4名、女乒乓球运动员3名，现要选一男一女两名运动员组成混合双打组合参加某项比赛，试列出全部可能的结果；若某女乒乓球运动员为国家一级运动员，则她参赛的概率是多少？解由于男运动员从4人中任意选取，女运动员从3人中任意选取，为了得到试验的全部结果，我们设男运动员为a，b，c，d，女运动员为1,2,3，我们可以用一个“有序数对”来表示随机选取的结果.如(a,1)表示：第一次随机选取从男运动员中选取的是男运动员a，从女运动员中选取的是女运动员1，可用列表法列出所有可能的结果.如下表所示，设“国家一级运动员参赛”为事件e.由上表可知，可能的结果总数是12个.设女运动员1为国家一级运动员，她参赛的可能事件有4个，故她参赛的概率为p(e).规律方法列表法的优点是准确、全面、不易漏掉，对于试验的结果不是太多的情况，都可以采用此方法.【训练2】 在一次数学研究性实践活动中，兴趣小组做了两个均匀的正方体玩具，组长同时抛掷2个均匀的正方体玩具(各个面上分别标上数字1、2、3、4、5、6)后，让小组成员求：(1)两个正方体朝上一面数字相同的概率是多少？(2)两个正方体朝上一面数字之积为偶数的概率是多少？解两个玩具正面向上的情况如下表：1234561(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)(1)事件“两个正方体朝上一面数字相同的情况”只有6种，故它的概率是.(2)事件“两个正方体朝上一面数字之积为偶数的情况”有27种，如表中有下划线的情况，即两个正方体朝上一面数字之积为偶数的概率为.【探究1】从含有两件正品a1，a2和一件次品b1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率.解每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2).其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品.总的事件个数为6，而且可以认为这些基本事件是等可能的.用a表示“取出的两件中恰有一件次品”这一事件，所以a(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2).因为事件a由4个基本事件组成，所以p(a).【探究2】一个盒子里装有完全相同的四个小球，分别标上1,2,3,4这4个数字，今随机地抽取两个小球，如果：(1)小球是不放回的；(2)小球是有放回的.求两个小球上的数字为相邻整数的概率.解设事件a：两个小球上的数字为相邻整数.则事件a包括的基本事件有(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,3)，(3,2)，(2,1)共6个.(1)不放回取球时，基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)共12种.故p(a).(2)有放回取球时，基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)共16种.故p(a).【探究3】一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.(1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求nm2的概率.解(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个.从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的事件有1和2,1和3，共2个，因此所求事件的概率为p.(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个.又满足条件nm2的事件有(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个.所以满足条件nm2的事件的概率为p1.故满足条件na的概率为_.解析设(a，b) a1,2,3,4,5，b1,2,3，包含的基本事件总数n15，事件“ba”为(1,2)，(1,3)，(2,3)，包含的基本事件数m3.其概率p.答案课堂小结1.建立概率模型的要求：把什么看作是一个基本事件(即一个试验结果)是人为规定的，它要求每次试验有一个并且只有一个基本事件出现.2.建立概率模型的作用：一方面，对于同一个实际问题，我们有时可以通过建立不同的“模型”来解决，即“一题多解”，在这“多解”的方法中，再寻求较为“简捷”的解法；另一方面，我们又可以用同一种“模型”去解决很多“不同”的问题，即“多题一解”.3.建立概率模型的一般原则：建立概率模型时，注意选择恰当的观察角度，把问题转化为易于解决的古典概型.基础过关1.在6瓶饮料中，有2瓶已过了保质期，从中任取2瓶，取到的全是已过保质期的饮料的概率为()a. b. c. d.解析设过保质期的2瓶记为a、b，没过保质期的4瓶用1、2、3、4表示，试验的结果为由图可知试验可能的结果数是15,2瓶都过保质期的结果只有1个，p.答案c2.从装有两个白球和一个红球的袋中不放回地摸两个球，则摸出的两个小球中恰有一个红球的概率为()a. b. c. d.解析不放回地摸出两球共有3种情况，即(白1，红)，(白2，红)，(白1，白2)，而恰有一个红球的结果有2种.所以p.答案b3.从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是()a. b. c. d.解析基本事件的总数为6，构成“取出的2个数之差的绝对值为2”这个事件的基本事件的个数为2，所以所求概率p，故选b.答案b4.在五个数字1,2,3,4,5中，若随机取出三个数字，则剩下的两个数字都是奇数的概率是_.解析在五个数字1,2,3,4,5中，若随机取出三个数字，则剩下的两个数字有10种可能的结果：1,2，1,3，1,4，1,5，2,3，2,4，2,5，3,4，3,5，4,5，其中两个数字都是奇数包含3个结果：1,3，1,5，3,5，故所求的概率为.答案5.已知x，y0,1,2,3,4,5，p(x，y)是坐标平面内的点，则点p在x轴上方的概率为_.解析方法一把点p的所有情况列举出来(0,0)，(0,5)，(5,0)，(5,5)，共可构成36个点，其中在x轴上方的点有30个.所以点p在x轴上方的概率为.方法二由于点p与x轴的位置关系只与纵坐标y有关，因此，只考虑纵坐标y，有6种结果，即0,1,2,3,4,5.其中5种在x轴上方，即1,2,3,4,5.所以点p在x轴上方的概率为.答案6.盒中有3只灯泡，其中2只是正品，1只是次品.(1)从中取出1只，然后放回，再取1只，求：连续2次取出的都是正品所包含的基本事件总数；两次取出的一个为正品，一个为次品所包含的基本事件总数；(2)从中一次任取2只，求2只都是正品的概率.解(1)将灯泡中2只正品记为a1，a2,1只次品记为b1，则第一次取1只，第二次取1只，基本事件为(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，b1)，共9个.连续2次取出的都是正品所包含的基本事件为(a1，a1)，(a1，a2)，(a2，a1)，(a2，a2)，共4个；两次取出的一个为正品，一个为次品所包含的基本事件为(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，共4个.(2)从中一次任取2只得到的基本事件总数是3，即a1a2，a1b1，a2b1,2只都是正品的基本事件数是1，所以其概率为p.7.四条线段的长度分别是1,3,5,7，从这四条线段中任取三条，求所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是.解从四条长度各异的线段中任取一条，每条被取出的可能性均相等，所以该问题属于古典概型.又所有基本事件包括(1,3,5)，(1,3,7)，(1,5,7)，(3,5,7)共四种，其中能构成三角形的有(3,5,7)一种，故概率为p.能力提升8.从分别写有a，b，c，d，e的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母恰好按字母顺序相邻的概率是()a. b. c. d.解析从5张卡片中任取2张有ab、ac、ad、ae、bc、bd、be、cd、ce、de共10种结果，而恰好按字母顺序相邻的有ab、bc、cd、de 4种结果，故此事件的概率为.答案b9.从正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则以它们作为顶点的四边形是矩形的概率等于()a. b. c. d.解析假设正六边形的6个顶点分别为a、b、c、d、e、f，则从6个顶点中任取4个顶点共有15种结果，以所取4个点作为顶点的四边形是矩形有3种结果，故所求概率为.答案d10.从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为()a. b. c. d.解析取两个点的所有情况为10种，所有距离不小于正方形边长的情况有6种，概率为.故选c.答案c11.从3台甲型电脑和2台乙型电脑中任取两台，则两种品牌都齐全的概率_.解3 台甲型电脑为1、2、3,2台乙型电脑为a，b，则所有的基本事件为(1,2)，(1,3)，(1，a)，(1，b)，(2,3)，(2，a)，(2，b)，(3，a)，(3，b)，(a，b)，共10个.记事件c为“一台为甲型，另一台为乙型”，则符合条件的事件为6个，所以p(c).答案12.一个长为2 m，宽为1 m的纱窗，由于某种原因，纱窗上有一个半径为10 cm的小孔，现随机向纱窗投一小石子，求小石子恰好从孔中飞出的概率，问此试验是否属于古典概型？为什么？(小石子的体积可看为一个点)解不属于古典概型.原因是随机向纱窗投一小石子，小石子可以击在纱窗的任一位置，试验结果有无限多个，不满足古典概型“试验的可能结果是有限的”这一条件，故不属于古典概型.13.(选做题)