2014-2015年高中数学选修2-1-2课时提升作业(十八) 2.4.2.1.doc

温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(十八)抛物线的简单几何性质(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.抛物线y2=3x关于直线y=x对称的抛物线方程为()A.y2=13xB.x2=3yC.x2=13yD.y2=3x【解题指南】利用点(x,y)关于y=x的对称点为(y,x)进行求解.【解析】选B.因为点(x,y)关于y=x的对称点为(y,x),所以y2=3x关于y=x对称的抛物线方程为x2=3y.2.已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C的准线上一点,则ABP的面积为()A.18B.24C.36D.48【解析】选C.如图所示,设抛物线方程为y2=2px(p0).因为当x=p2时,|y|=p,所以p=|AB|2=122=6.又P到AB的距离始终为p,所以SABP=12126=36. X k B 1 . c o m3.已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到y轴的距离为()A.34B.1C.54D.74【解析】选C.由抛物线的定义,有|AF|+|BF|=xA+p2+xB+p2=xA+xB+p=3,故xA+xB=3-p=52,故线段AB的中点到y轴的距离为54,故选C.【举一反三】若将上题改为F是抛物线x2=2y的焦点,A,B是抛物线上的两点,|AF|+|BF|=6,则线段AB的中点到y轴的距离为.【解析】|AF|+|BF|=6,由抛物线的定义可得|AD|+|BE|=6,又线段AB的中点到抛物线准线y=-12的距离为12(|AD|+|BE|)=3,所以线段AB的中点到y轴的距离为52.答案:524.抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是()A.43B.75C.85D.3【解析】选A.设抛物线y=-x2上一点为(m,-m2),该点到直线4x+3y-8=0的距离为|4m-3m2-8|5,当m=23时,取得最小值为43.【一题多解】选A.设与4x+3y-8=0平行的直线l方程为:4x+3y+m=0,由y=-x2,4x+3y+m=0消去y得,3x2-4x-m=0,由=0得,16+12m=0,解得m=-43.所以l的方程为4x+3y-43=0.因此抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值是d=-8-4342+32=43.5.(2014兰州高二检测)斜率为1,过抛物线y=14x2的焦点的直线被抛物线所截得的弦长为()A.8B.6C.4D.10【解析】选A.设弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),易知直线方程为y=x+1,直线方程与抛物线方程联立,消元得:14x2-x-1=0,所以x1+x2=4,x1x2=-4,所以弦长l=2(x1+x2)2-4x1x2=8.6.已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,其上的三个点A,B,C的横坐标之比为345,则以|FA|,|FB|,|FC|为边长的三角形()A.不存在B.必是锐角三角形C.必是钝角三角形D.必是直角三角形【解析】选B.设A,B,C三点的横坐标分别为x1,x2,x3,x1=3k,x2=4k,x3=5k(k0),由抛物线定义得|FA|=p2+3k,|FB|=p2+4k,|FC|=p2+5k,易知三者能构成三角形,|FC|所对角为最大角,由余弦定理可证该角的余弦值为正数,故该三角形必是锐角三角形.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014长沙高二检测)已知定点A(-3,0),B(3,0),动点P在抛物线y2=2x上移动,则PAPB的最小值等于.【解析】设P(x,y),则y2=2x,因为A(-3,0),B(3,0),则PAPB=APBP=(x+3,y)(x-3,y)=x2+y2-9=x2+2x-9=(x+1)2-10(x0),所以当x=0时,(PAPB)min=-9.答案:-98.(2014济宁高二检测)已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线与x轴的交点为M,N为抛物线上的一点,且满足|NF|=32|MN|,则NMF=.【解析】过N作准线的垂线,垂足为P,则有|PN|=|NF|,w w w .x k b 1.c o m所以|PN|=32|MN|,NMF=MNP.又cosMNP=32,所以MNP=6,即NMF=6.答案:69.(2014长春高二检测)已知点P是抛物线y2=4x上的动点,点P在y轴上射影是M,点A(4,6),则|PA|+|PM|的最小值是.【解题指南】将P到y轴的距离,转化为点P到焦点的距离,当A,P,F共线时,|PA|+|PM|最小.【解析】由y2=4x,得p=2,所以F(1,0),如图,|PM|=|PN|-p2=|PF|-1,所以|PA|+|PM|=|PA|+|PF|-1|AF|-1=(4-1)2+(6-0)2-1=35-1.答案:35-1三、解答题(每小题10分,共20分)10.直角AOB的三个顶点都在抛物线y2=2px上,其中直角顶点O为原点,OA所在直线的方程为y=3x,AOB的面积为63,求该抛物线的方程.【解题指南】运用解方程组分别求出A,B坐标,从而求出|OA|和|OB|,利用面积公式求出p即可.【解析】因为OAOB,且OA所在直线的方程为y=3x,所以OB所在直线的方程为y=-33x.由y2=2px,y=3x,得A点坐标(2p3,23p3),X k B 1 . c o m由y2=2px,y=-33x,得B点坐标(6p,-23p).|OA|=43|p|,|OB|=43|p|,SOAB=833p2=63,所以p=32.即该抛物线的方程为y2=3x或y2=-3x.11.(2014淮安高二检测)如图,已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,直线AF,BF分别与抛物线交于点M,N.(1)求y1y2的值.(2)记直线MN的斜率为k1,直线AB的斜率为k2,证明:k1k2为定值.【解题指南】(1)把直线方程代入抛物线方程中整理化简,然后根据一元二次方程根与系数的关系可求.(2)表示出斜率,根据根与系数的关系代入化简可求得定值.【解析】(1)依题意,设AB的方程为x=my+2,代入y2=4x,得y2-4my-8=0,从而y1y2=-8.(2)设M(x3,y3),N(x4,y4),k1k2=y3-y4x3-x4x1-x2y1-y2=y3-y4y324-y424y124-y224y1-y2=y1+y2y3+y4,设直线AM的方程为x=ny+1,代入y2=4x消去x得:y2-4ny-4=0,所以y1y3=-4,同理y2y4=-4,k1k2=y1+y2y3+y4=y1+y2-4y1+-4y2=y1y2-4,由(1)y1y2=-8,所以k1k2=2为定值.w w w .x k b 1.c o m(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.已知点P是抛物线y2=4x上一点,设点P到此抛物线准线的距离是d1,到直线x+2y-12=0的距离为d2,则d1+d2的最小值是()A.5B.4C.1155D.115【解析】选C.设抛物线的焦点为F,则F(1,0).由抛物线的定义可知d1=|PF|,所以d1+d2=|PF|+d2,所以d1+d2的最小值为|PF|+d2的最小值,即点F到直线x+2y-12=0的距离,所以最小值为|1-12|5=1155.【变式训练】已知抛物线y2=4x,过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,过A,B分别作y轴的垂线,垂足分别为C,D,则|AC|+|BD|的最小值为.【解析】抛物线准线为x=-1,F(1,0),则|AC|=|AF|-1,|BD|=|BF|-1,所以|AC|+|BD|=|AF|+|BF|-2=|AB|-2.而|AB|为过焦点的弦长,所以当ABx轴时,|AB|取到最小值4.所以|AC|+|BD|4-2=2.答案:22.如图,F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C在抛物线上,若FA+FB+FC=0,则|FA|+|FB|+|FC|=()A.6B.4C.3D.2【解析】选A.设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),因为F(1,0),所以FA+FB+FC=(x1+x2+x3-3,y1+y2+y3)=0,所以x1+x2+x3=3,y1+y2+y3=0.所以|FA|+|FB|+|FC|=x1+p2+x2+p2+x3+p2=3+3=6.3.(2014成都高二检测)A,B是抛物线x2=y上任意两点(非原点),当OAOB最小时,OA,OB所在两条直线的斜率之积kOAkOB=()A.12B.-12C.3D.-3【解析】选B.由题意设A(x1,x12),B(x2,x22),所以OAOB=x1x2+(x1x2)2=x1x2+122-14,易知当x1x2=-12时,OAOB最小,此时kOAkOB=x1x2=-12.4.(2014安阳高二检测)抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,已知点A,B为抛物线上的两个动点,且满足AFB=90,过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN,垂足为N,则|MN|AB|的最大值为()A.22B.33C.1D.3【解析】选A.设|AF|=r1,|BF|=r2,|MN|AB|=12(r1+r2)r12+r22=12r12+2r1r2+r22r12+r22=121+2r1r2r12+r22121+r12+r22r12+r22=22.【举一反三】本题条件“AFB=90”改为“AFB=120”,其他条件不变,则结论如何?【解析】选B.如图,设|AF|=r1,|BF|=r2,则|MN|=12(r1+r2),|AB|=r12+r22-2r1r2cos120=r12+r1r2+r22,所以|MN|AB|=r1+r22r12+r22+r1r2=12(r1+r2)2r12+r22+r1r2=121+r1r2r12+r22+r1r2121+r1r23r1r2=33.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2014天水高二检测)已知抛物线x2=4y的焦点为F,经过F的直线与抛物线相交于A,B两点,则以AB为直径的圆在x轴上所截得的弦长的最小值是_.【解析】由题意,设A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B到准线的距离和为y1+y2+2=AB,所以以AB为直径的圆的圆心到x轴的距离为y1+y22,设直线AB的方程为y=kx+1,代入抛物线方程,消y,得x2-4kx-4=0,所以x1+x2=4k,y1+y2=4k2+2,所以以AB为直径的圆在x轴上所截得的弦长为2y1+y2+222-y1+y222=12+16k2,所以k=0时,以AB为直径的圆在x轴上所截得的弦长的最小值为23.答案:236.(2013安徽高考)已知直线y=a交抛物线y=x2于A,B两点.若该抛物线上存在点C,使得ACB为直角,则a的取值范围为.【解题指南】点C的轨迹是圆心在y轴上、半径为r=a的圆,数形结合可得.【解析】联立直线y=a与抛物线y=x2得x=a,满足题设条件的点C的轨迹是以(0,a)为圆心,r=a为半径的圆,其方程为x2+(y-a)2=a.由数形结合可知当r=aa时满足题设要求,解得a1. 新 课 标 第 一 网答案:1,+)x k b 1 . c o m三、解答题(每小题12分,共24分)新$课$标$第$一$网7.设抛物线y2=2px(p0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线的准线上,且BCx轴.试探究直线AC是否经过原点O?【解题指南】借助kOA和kOC的关系去探究.【解析】直线AC经过原点O.证明如下:设AB:x=my+p2,代入y2=2px,得y2-2pmy-p2=0.由根与系数的关系,得yAyB=-p2,即yB=-p2yA.因为BCx轴,且C在准线x=-p2上,所以C-p2,yB,则kOC=yB-p2=2pyA=yAxA=kOA.故直线AC经过原点O. X k B 1 . c o m【一题多解】如图所示,记准线l与x轴的交点为E,过A作ADl,垂足为D,则ADEFBC,连接AC交EF于N,则|EN|AD|=|CN|AC|=|BF|AB|,|NF|BC|=|AF|AB|.因为|AF|=|AD|,|BF|=|BC|,所以|EN|=|AD|BF|AB|=|AF|BC|AB|=|NF|,即N是EF的中点,从而点N与点O重合,故直线AC经过原点O.8.(2014长春高二检测)点M(m,4)(m0)为抛物线x2=2py(p0)上一点,F为其焦点,已知|FM|=5.(1)求m与p的值.(2)以M点为