北师大版必修三 第一章 § 数据的数字特征 学案.docx

4数据的数字特征学习目标1.能合理地选取样本，并从中提取基本的数字特征.2.了解众数、中位数、平均数的概念，会计算方差和标准差.3.会用样本的数字特征估计总体的数字特征知识点一众数、中位数、平均数思考平均数、中位数、众数中，哪个量与样本的每一个数据有关，它有何缺点？答案平均数与样本的每一个数据有关，它可以反映出更多的关于样本数据总体的信息，但是平均数受数据中极端值的影响较大梳理众数、中位数、平均数定义(1)众数：一组数据中出现次数最多的数(2)中位数：把一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，处在中间位置的数(或中间两个数的平均数)叫作这组数据的中位数(3)平均数：如果n个数x1，x2，xn，那么(x1x2xn)叫作这n个数的平均数知识点二极差、方差、标准差思考有一组数据：2,3,6,8,10，哪两个数据的差最大？答案1028最大，即最大值与最小值的差最大梳理(1)一组数据中最大值与最小值的差称为这组数据的极差(2)如果一组数据是x1，x2，x3，xn，这组数据的方差记为s2，则s2(x1)2(x2)2(xn)2(3)标准差标准差的定义标准差是一组数据平均值分散程度的一种度量，一般用s表示，计算公式为s标准差的求法样本数据x1，x2，xn的标准差的算法()计算出样本数据的方差s2；()求出方差s2的算术平方根，即s.知识拓展：平均数、方差公式的推广(1)若数据x1，x2，xn的平均数为，那么mx1a，mx2a，mx3a，mxna的平均数是ma.(2)设数据x1，x2，xn的平均数为，方差为s2，则as2(xxx)n2；b数据x1a，x2a，xna的方差也为s2；c数据ax1，ax2，axn的方差为a2s2.类型一数字特征的计算例1(1)在某次测量中得到的a样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若b样本数据恰好是a样本数据每个都加2后所得数据，则a，b两样本的下列数字特征对应相同的是()a众数 b平均数c中位数 d标准差(2)某医院为了了解病人每分钟呼吸次数，对20名病人进行检测，记录结果如下：12,20,16,18,20,28,23,16,15,18,20,24,18,21,18,19,18,31,18,13.则这组数据的平均数为_，中位数为_，众数为_答案(1)d(2)19.31818解析(1)当每个样本数据都加上2后，众数、平均数、中位数都会发生变化，不变的是数据的波动情况，即标准差不变(2)平均数19.3，中位数为18，众数为18.反思与感悟(1)众数的求法在样本数据中出现次数最多的数据即为众数(2)中位数的求法把数据按从小到大的顺序排列找出排列后位于中间位置的数据，即为中位数若中间位置有两个数据，则求出这两个数据的平均数作为中位数(3)平均数的计算公式一组样本数据为x1，x2，xn，则样本平均数(x1x2xn)简记为i.(4)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小跟踪训练1对于数据3,3,2,3,6,3,10,3,6,3,2，有下列结论：这组数据的众数是3；这组数据的众数与中位数的数值不相等；这组数据的中位数与平均数的数值相等；这组数据的平均数与众数的数值相等其中正确结论的个数为()a1 b2 c3 d4答案a解析在这11个数中，数3出现了6次，频率最高，故众数是3；将这11个数按从小到大的顺序排列得2,2,3,3,3,3,3,3,6,6,10，中间数据是3，故中位数是3；而平均数4.故只有正确类型二标准差、方差的应用例2从甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测它们的株高如下：(单位：cm)甲：25,41,40,37,22,14,19,39,21,42；乙：27,16,44,27,44,16,40,40,16,40.问：(1)哪种玉米的苗长得高？(2)哪种玉米的苗长得齐？解(1)甲(25414037221419392142)30030(cm)乙(27164427441640401640)31031(cm)所以甲乙即乙种玉米长得高(2)s(2530)2(4130)2(4030)2(3730)2(2230)2(1430)2(1930)2(3930)2(2130)2(4230)2(2512110049642561218181144)1 042104.2(cm2)，s2(2731)23(1631)22(4431)23(4031)21 288128.8(cm2)所以ss.即甲种玉米苗长得齐反思与感悟(1)方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小(2)样本标准差反映了各样本数据围绕样本平均数波动的大小，标准差越小，表明各样本数据在样本平均数周围越集中；反之，标准差越大，表明各样本数据在样本平均数的两边越分散(3)若样本数据都相等，则s0.(4)当样本的平均数相等或相差无几时，就要用样本数据的离散程度来估计总体的数字特征，而样本数据的离散程度是由标准差来衡量的跟踪训练2甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图(1)分别求出两人得分的平均数与方差；(2)根据图和(1)中算得的结果，对两人的训练成绩作出评价解(1)由题图可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为甲：10分，13分，12分，14分，16分；乙：13分，14分，12分，12分，14分甲13，乙13，s(1013)2(1313)2(1213)2(1413)2(1613)24，s(1313)2(1413)2(1213)2(1213)2(1413)20.8.(2)由ss可知乙的成绩较稳定从折线图来看，甲的成绩基本上呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩无明显提高类型三数据的数字特征的综合应用例3在一次科技知识竞赛中，两组学生的成绩如下表：分数5060708090100人数甲组251013146乙组441621212已经算得两个组的平均分都是80分请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由解(1)甲组成绩的众数为90，乙组成绩的众数为70，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些(2)s2(5080)25(6080)210(7080)213(8080)214(9080)26(10080)2172，s4(5080)24(6080)216(7080)22(8080)212(9080)212(10080)2256.ss，甲组成绩较乙组成绩稳定，故甲组好些(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分其中，甲组成绩在80分以上(包括80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(包括80分)的有26人从这一角度看，甲组的成绩较好(4)从成绩统计表看，甲组成绩大于等于90分的有20人，乙组成绩大于等于90分的有24人，所以乙组成绩集中在高分段的人数多同时，乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人从这一角度看，乙组的成绩较好反思与感悟要正确处理两组数据的优劣问题，首先要抓住问题中的关键词语，全方位地进行必要的计算、分析，而不能习惯性地仅从样本方差的大小去决定哪一组的优劣，像这样的实际问题还得从实际的角度去分析；其次要在恰当地评估后，组织好正确的语言得出结论跟踪训练3某公司的33名职工的月工资(单位：元)如下：职务董事长副董事长董事总经理经理管理员职员人数11215320工资5 5005 0003 5003 0002 5002 0001 500(1)求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数；(2)假设副董事长的工资从5 000元提升到20 000元，董事长的工资从5 500元提升到30 000元，那么新的平均数、中位数、众数又是多少？(精确到元)(3)你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平，并说明理由解(1)平均数1 5001 5005912 091(元)，中位数是1 500元，众数是1 500元(2)新的平均数1 5001 5001 7883 288(元)，中位数是1 500元，众数是1 500元(3)中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平.1某市2017年各月的平均气温()数据的茎叶图如图：则这组数据的中位数是()a19 b20c21.5 d23答案b解析由茎叶图知，平均气温在20以下的有5个月，在20以上的也有5个月，恰好是20的有2个月，由中位数的定义知，这组数据的中位数为20.故选b.2一组样本数据按从小到大的顺序排列为13,14,19，x,23,27,28,31，其中位数为22，则x等于()a21 b22c20 d23答案a解析根据题意知，中位数22，则x21.3一次选拔运动员的测试中，测得7名选手中的身高(单位：cm)分布的茎叶图如图所示记录的平均身高为177 cm，有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为x，则x等于()a5 b6 c7 d8答案d解析由题意知，101103x8977，解得x8.4若样本数据x1，x2，x10的标准差为8，则数据2x11,2x21，2x101的标准差为_答案16解析设样本数据x1，x2，x10的标准差为s，则s8，可知数据2x11,2x21，2x101的标准差为2s16.5某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8，7,9,5,4,9,10,7,4则：(1)平均命中环数为_；(2)命中环数的标准差为_答案(1)7(2)2解析(1)7.(2)s2(77)2(87)2(