北师大版必修三 最小二乘估计 学案.docx

8最小二乘估计学习目标1.了解最小二乘法，会用给出的公式建立线性回归方程.2.理解回归直线与观测数据的关系，能用线性回归方程进行估计和预测.知识点一最小二乘法思考具有线性相关关系的散点大致分布在一条直线附近.如何确定这条直线比较合理？答案应该使散点整体上最接近这条直线.梳理(1)最小二乘法的定义如果有n个点(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，可以用下面的表达式来刻画这些点与直线yabx的接近程度：y1(abx1)2y2(abx2)2yn(abxn)2.使得上式达到最小值的直线yabx就是我们所要求的直线，这种方法称为最小二乘法.(2)最小二乘法的应用利用最小二乘法估计时，要先作出数据的散点图.如果散点图呈现出线性关系，可以用最小二乘法估计出线性回归方程；如果散点图呈现出其他的曲线关系，我们就要利用其他的工具进行拟合.知识点二线性回归方程1.回归直线如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线.2.回归直线对应的方程yabx叫作线性回归方程，简称回归方程.3.如果用表示，用表示，则可以求得b.ab.4.样本点的中心对于一组有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)中，(，)称为样本点的中心.1.最小二乘法是求线性回归方程的基本思想.()2.任意一组数据都可以由最小二乘法求得回归直线方程，且可以由方程进行预测.()3.回归直线一定过点(，).()类型一求线性回归方程例1某种产品的广告费支出x(单位：百万元)与销售额y(单位：百万元)之间有如下对应数据：x24568y3040605070(1)画出散点图；(2)求回归方程.解(1)散点图如图所示.(2)列出下表，并用科学计算器进行有关计算.i12345xi24568yi3040605070xiyi60160300300560x4162536645，50，145，iyi1 380于是可得，b6.5，ab506.5517.5.反思与感悟求线性回归方程的步骤(1)先把数据制成表，从表中计算出，xxx，x1y1x2y2xnyn.(2)计算回归系数a，b，公式为(3)写出线性回归方程ybxa.跟踪训练1某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：x681012y2356已知记忆力x和判断力y是线性相关的，求线性回归方程.解9，4，x6282102122344，xiyi6283105126158，b0.7，ab40.792.3.则所求的线性回归方程为y0.7x2.3.类型二线性回归方程的应用例2一台机器按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点的零件的多少随机器运转速度的变化而变化，下表为抽样试验的结果：转速x(转/秒)1614128每小时生产有缺点的零件数y(件)11985(1)画出散点图；(2)如果y对x有线性相关关系，请画出一条直线近似地表示这种线性关系；(3)在实际生产中，若它们的近似方程为yx，允许每小时生产的产品中有缺点的零件最多为10件，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？解(1)散点图如图所示：(2)近似直线如图所示：(3)由y10得x10，解得x14.9，所以机器的运转速度应控制在14转/秒内.引申探究1.本例中近似方程不变，若每增加一个单位的转速，生产有缺点的零件数近似增加多少？解因为yx，所以当x增加一个单位时，y大约增加.2.本例中近似方程不变，每小时生产有缺点的零件件数是7，估计机器的转速.解因为yx，所以当y7时，7x，解得x11.反思与感悟线性回归分析的三个步骤(1)判断两个变量是否线性相关，可以利用经验，也可以画散点图.(2)求线性回归方程，注意运算的正确性.(3)根据回归直线进行预测估计，估计值不是实际值，两者会有一定的误差.跟踪训练2有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：摄氏温度/504712151923273136热饮杯数15615013212813011610489937654(1)画出散点图；(2)从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间有什么关系；(3)求线性回归方程；(4)如果某天的气温是2，预测这天卖出的热饮杯数；(5) 气温为2时，小卖部一定能够卖出143杯左右热饮吗？为什么？解(1)散点图如图所示：(2)从上图看到，各点散布在从左上角到右下角的区域里，因此，气温越高，卖出去的热饮杯数越少.(3)从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附近，因此，可用公式求出线性回归方程的系数.利用计算器可求得线性回归方程为y2.352x147.767.(4)当x2时，y143.063.因此，某天的气温为2时，这天大约可以卖出143杯热饮.(5)小卖部不一定能够卖出143杯左右热饮，原因如下：线性回归方程中的截距和斜率都是通过样本估计出来的，存在误差，这种误差可以导致预测结果的偏差.即使截距和斜率的估计没有误差，也不可能百分之百地保证对应于x的预报值，能够与实际值y很接近.我们不能保证点(x，y)落在回归直线上，甚至不能百分之百地保证它落在回归直线的附近.1.已知x与y之间的一组数据如下表：x0123y1357则y与x的线性回归方程ybxa必过点()a.(2,2) b.(1.5,0) c.(1,2) d.(1.5,4)答案d解析1.5，4.2.已知某车间加工零件的个数x与所花费的时间y(h)之间的线性回归方程为y0.01x0.5，则加工600个零件大约需要()a.6.5 h b.5.5 h c.3.5 h d.0.5 h答案a解析由题意知y0.016000.56.5.3.已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点中心(即(，)为(4,5)，则线性回归方程为()a.y1.23x4 b.y1.23x5c.y1.23x0.08 d.y0.08x1.23答案c解析回归直线必过样本点中心.4.设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i1,2，n)，用最小二乘法建立的线性回归方程为y0.85x85.71，则下列结论中不正确的是()a.y随x的增大而增大b.回归直线过样本点的中心(，)c.若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kgd.若该大学某女生身高为170 cm，则可判定其体重必为58.79 kg答案d解析当x170时，y0.8517085.7158.79，体重的估计值为58.79 kg.5.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用x(万元)4235销售额y(万元)49263954根据上表可得线性回归方程ybxa中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为_万元.答案65.5解析由题意可知3.5，42，则429.43.5a，a9.1，y9.469.165.5.1.求线性回归方程时应注意的问题(1)知道x与y成线性相关关系，无需进行相关性检验，否则应首先进行相关性检验，