高等数学(1)第二单元辅导.doc

高等数学（1）第二单元辅导一、导数与微分理解导数的概念；了解导数的几何意义；会求曲线的切线和法线；会用定义计算简单函数的导数；知道可导与连续的关系。在点处可导是指极限存在，且该点处的导数就是这个极限。导数极限还可写成 在点处的导数的几何意义是曲线上在点处的切线斜率。曲线在点处的切线方程为函数在点可导，则在点连续。反之函数在点连续，在点不一定可导。了解微分的概念；知道一阶微分形式不变性。熟记导数与微分的基本公式；熟练掌握导数与微分的四则运算法则。微分四则运算法则与导数四则运算法则类似 熟练掌握复合函数的求导法则。掌握隐函数求导法，取对数求导法，参数表示的函数的求导法。一般当函数表达式中有乘除关系或根式时，求导时采用取对数求导法，如求。直接求导比较麻烦，采用取对数求导法，将上式两端取对数得两端求导得整理后便可得若函数由参数方程的形式给出，则有导数公式了解高阶导数的概念；会求函数的二阶导数。二、导数的应用了解拉格朗日中值定理的条件和结论；会用拉格朗日中值定理证明简单的不等式。掌握洛必塔法则，会用它求“”、“”型不定式的极限，以及简单的“”、“”型不定式的极限。掌握用一阶导数判别函数增减性的方法；会求函数的单调区间。若在区间上有，则在区间上单调增加；若在区间上有，则在区间上单调减少。了解极值和极值点的概念；熟练掌握求极值的方法；了解可导函数极值存在的必要条件；知道极值点与驻点的区别与联系。在点满足，那么若在点的左右由正变负（或），则点是的极大值点；若在点的左右由负变正（或），则点是的极小值点。极值点如果可导则一定是驻点；驻点的两边导数如果变号则一定是极值点。了解曲线凹凸的概念；掌握用二阶导数判别曲线凹凸的方法；会求曲线的拐点。若在区间上有，则在区间上是凹函数；若在区间上有，则在区间上是凸函数。会求曲线的水平渐近线和垂直渐近线。若，则是曲线的水平渐进线；若，则是曲线的垂直渐进线。熟练掌握求解一些简单的实际应用问题中最大值和最小值的方法，以几何问题为主。求在区间上的最大值的方法是：找出的所有驻点，找出的所有不可导点，将所有这些点的函数值与两个端点的函数值一起比较大小，最大者为最大值，相应的点为最大值点。求最小值的方法类似。典型例题 一、单项选择题 1已知f(0)0， ，则 （ ）。 （A）1 （B）0 （C）1 （D）不存在 ，故A正确。2下列命题中，（ ）是正确的。（A）设f(x)g(x)h(x)，若f(x)在x0处可导，则g(x)和h(x)都在x0处可导（B）设f(x)g(x)h(x)，若f(x)在x0处不可导，且g(x)在x0处可导，则h(x)在x0处一定不可导 （C）设f(x)g(x)h(x)，若f(x)在x0处可导，则g(x)，h(x)都在x0处可导（D）设f(x)g(x)h(x)，且g(x)在x0处可导，h(x)在x0处不可导，则f(x)在x0处一定不可导B正确。假设h(x)可导，由g(x)可导，从而f(x)也可导，矛盾。A、C、D不一定，即它们都不成立。3yf(x) 在a点可微，且yf(ax)f(a)AxO(x)，则（ ）。 （A） （B） （C） （D）A是非零常数由微分定义，C正确。4设g(x)在a点可导，f(x)(xa)g(x)，则f(x)在a点（ ）。 （A）不可导 （B）不一定可导 （C）可导且 （D）可导且 只有C正确。5下列式子正确的是（ ）。 （A） （B） （C） （D） C正确。6设xacos3t，yasin3t，则 （ ）。 （A）cott （B）tant （C）cott （D）tant，B正确。7 。 （A）arcsinx （B）arccosx （C） （D） 只有B满足等式。8设yln(1x)，则 （ ）。 （A） （B） （C） （D） 直接求导得C正确。9.函数 在区间上是（ ）A） 单调增加 B）单调减少 C）先单调增加再单调减少 D）先单调减少再单调增加解：选择D，当时，；当时，；所以在区间上函数先单调减少再单调增加。10. 若函数满足条件（ ），则在内至少存在一点，使得成立。 A）在内连续； B）在内可导； C）在内连续，在内可导； D）在内连续，在内可导。 解：选择D。 由拉格朗日定理条件，函数在内连续，在内可导，所以选择D正确。11. 满足方程的点是函数的（ ）。A）极值点 B）拐点C）驻点 D）间断点解：选择C。依驻点定义，函数的驻点是使函数一阶导数为零的点。12.设函数在内连续，且，则函数在处（ ）。A）取得极大值 B）取得极小值C）一定有拐点 D）可能有极值，也可能有拐点解：选择D函数的一阶导数为零，说明可能是函数的极值点；函数的二阶导数为零，说明可能是函数的拐点，所以选择D。二、填空题 1 曲线yx3在x1处的切线方程为_。切线斜率 ，且当x1时，y1，故切线方程为：y13(x1) 2 曲线 在 处的法线方程为_。 ，切线斜率为 ，法线斜率 ，故法线方程为： 3 设yx2tanx10，则dy_。由导数或微分的运算法则，应填：(2xtanxx2sec2x)dx 4 设 ，则 。 5 曲线 在x处的切线斜率为_。 6 设 ，则 。 7.函数的单调增加区间是.解：，当时.故函数的单调增加区间是.8.极限.解：由洛必达法则9.函数的极小值点为 。解：，令，解得驻点，又时，；时，所以是函数的极小值点。三、计算题 1设 解： 2设 解： 3设 解： 两边对x求导，得化简、整理得4设 解： 5设 ，求dy解： 6设 解： 7设exyy2lnxx2e2y，求dy解： 两边对x求导，得8设 解： 两边对x求导，得9设y3lntanx，求dy解： 10设 解： 11设yln(1x2)，求 解： 12设 解： 13设 解： 15设 解： 16.求函数的单调区间。解：函数的定义区间为，由于 令，解得，这样可以将定义区间分成和两个区间来讨论。当时，；