人教A版选修44 直线的参数方程 学案 (2).doc

三直线的参数方程1掌握直线的参数方程及参数的几何意义2能用直线的参数方程解决简单问题1直线的参数方程的标准形式过定点m0(x0，y0)，倾斜角为()的直线l的普通方程为yy0(xx0)tan ，它的参数方程为_，这种形式称为直线参数方程的标准形式其中参数t的几何意义是：_，即|m0m|t|.若_，则的方向向上；若_，则的方向向下；若_，则m与m0重合【做一做11】 直线(t为参数)上与点p(2,3)的距离等于的点的坐标是()a(4,5) b(3,4)c(3,4)或(1,2) d(4,5)或(0,1)【做一做12】 参数方程(t是参数)表示的曲线是()a一条直线 b两条直线c一条射线 d两条射线2根据直线的参数方程判断直线的倾斜角根据参数方程判断倾斜角，首先要看参数方程的形式是不是标准形式，如果是标准形式，根据方程就可以判断出倾斜角，例如(t为参数)，可以直接判断出直线的倾斜角是20.如果不是标准形式，就不能直接判断出倾斜角了，例如判断直线(t为参数)的倾斜角，有两种方法：第一种方法：化为普通方程，求倾斜角把参数方程改写成消去t，有y，即y(x3)tan 110，所以直线的倾斜角为110.第二种方法：化参数方程为直线的标准参数方程令tt，则所以直线的倾斜角为110.【做一做21】 直线(t为参数)的倾斜角等于()a30 b60 c45 d135【做一做22】 过点(5，4)，倾斜角满足tan 的直线l的参数方程是()a.(t为参数) b.(t为参数)c.(t为参数) d.(t为参数)3直线的一般参数方程转化为标准参数方程的方法给出直线的非标准式参数方程(t为参数)，根据标准式的特点，参数t的系数应分别是倾斜角的正弦和余弦值，根据三角函数的性质知其平方和为1，所以可以化为(t为参数)，再进一步令cos ，sin ，根据直线倾斜角的范围让在0，)范围内取值，并且把t看成相应的参数t，即得标准式的参数方程(t为参数)由转化的过程可以看出，在一般参数方程(t为参数)中，t具有标准式参数方程中参数的几何意义所以有些较简单的问题可以不必转化为标准形式，而直接求出相应的t，再乘即可继续使用标准形式中参数的几何意义【做一做3】 写出直线2xy10的参数方程的标准形式，并求直线上的点m(1,3)到点a(3,7)，b(8,6)的距离答案：1.(t为参数)|t|是直线上任一点m(x，y)到m0(x0，y0)的距离t0t0t0【做一做11】 c【做一做12】 dy2表示一条平行于x轴的直线当t0时xt22；当t0时xt22，即x2或x2，所以表示两条射线【做一做21】 b【做一做22】 b【做一做3】 解：根据直线的普通方程可知斜率是2，设直线的倾斜角为，则tan 2，sin ，cos ，所以直线的参数方程是(t为参数)经验证易知，点a(3，7)恰好在直线上，所以由1t3得t2，即点m到点a的距离是2.而点b(8,6)不在直线上，所以不能使用参数t的几何意义，根据两点之间的距离公式得.综上，点m(1,3)到点a(3,7)的距离为2，到点b(8,6)的距离为.1直线的参数方程剖析：首先，参数t可以理解为直线l上有向线段的数量参数t的几何意义可以与数轴上点a的坐标a的意义作类比，即a|oa|，当a在o的右侧时取“”；当a在o的左侧时取“”，所以，数轴上点a的坐标就是有向线段的数量同样，当点m在m0的上方时，t0；当点m在m0的下方时，t0；当点m与点m0重合时，t0.其次，如果把直线的普通方程yy0tan (xx0)写为，令上述比例式的比值为t，即t，由此即得直线的参数方程另外，在得到直线的参数方程后，应当注意，x0，y0都是常数，t是参数2直线的参数方程的其他形式剖析：对于同一直线的普通方程选取的参数不同，会得到不同的参数方程例如，对于直线普通方程y2x1，如果令xt，可得到参数方程(t为参数)；如果令x，可得到参数方程(t为参数)这样的参数方程中的t不具有一定的几何意义，但是在实际应用中有时能够简化某些运算例如，动点m做匀速直线运动，它在x轴和y轴方向的分速度分别为9和12，点m从a点(1,1)开始运动，求点m的轨迹的参数方程点m的轨迹的参数方程可以直接写为(t为参数)3根据直线的参数方程，判断直线的平行和垂直剖析：对于直线参数方程的标准形式，容易看出直线的倾斜角及斜率，直接根据倾斜角或斜率关系来判断直线的平行和垂直如果直线的参数方程是一般形式，例如：直线l1的方程为(t为参数)，直线l2的方程为(t为参数)若l1与l2平行时，它们的斜率存在的话应是相等的，即a1b2a2b10；斜率不存在时有a1a20，则必有l1l2.故得到一般性结论：不重合的两条直线l1与l2平行时，有a1b2a2b10，反之也成立，即不重合的直线l1l2a1b2a2b10.若l1与l2垂直，斜率存在时有1a1a2b1b20，易知斜率不存在时，直线l1与l2的系数也满足a1a2b1b20.故直线l1l2a1a2b1b20.题型一 求经过点p(x0，y0)，倾斜角是的直线的参数方程【例1】 已知直线l过点p(3,4)，且它的倾斜角120.(1)写出直线l的参数方程；(2)求直线l与直线xy10的交点分析：根据直线过点(3,4)及直线的倾斜角120，得该直线的参数方程，然后与xy10联立可求得交点反思：由直线上一定点和直线的倾斜角，可确定直线的方程题型二 求经过两个定点p(x1，y1)，q(x2，y2)(其中x1x2)的直线的参数方程【例2】 已知两点a(1,3)，b(3,1)和直线l：yx，求过点a，b的直线的参数方程，并求它与直线l的交点m分ab的比分析：由已知直线过两定点，代入公式(为参数，1)，可得直线的参数方程，然后再求与直线yx的交点题型三 直线的参数方程的应用【例3】 已知直线l过定点p(3,2)且与x轴和y轴的正半轴分别交于a，b两点，求|pa|pb|的值为最小时的直线l的方程分析：本题可用直线的普通方程求解，但运算较麻烦，如果用直线的参数方程来解就可以把问题转化为三角函数的最小值问题，便于计算题型四 易错辨析【例4】 已知过点m(2，1)的直线l：(t为参数)，与圆x2y24交于a，b两点，求|ab|及|am|bm|.错解：把直线方程代入圆的方程，化简得t26t20.设a，b两点对应的参数分别为t1，t2，那么t1t26，t1t22，由于|ma|t1|，|mb|t2|，从而|ma|mb|t1t2|2，|ab|t2t1|2.答案：【例1】 解：(1)直线l的参数方程为(t为参数)，即(t为参数)(2)把代入xy10，得3t4t10，解得t0.把t0代入得两直线的交点为(3,4)【例2】 解：设直线ab上一动点p(x，y)，选取参数，则直线ab的参数方程为(为参数)把代入yx，得，解得1，所以m分ab的比：1.【例3】 解：设直线的倾斜角为，则它的方程为(t为参数)由a，b是坐标轴上的点知ya0，xb0，02tsin ，即|pa|t|，03tcos ，即|pb|t|，故|pa|pb|().90180，当2270，即135时，|pa|pb|有最小值直线方程为(t为参数)，化为普通方程为xy50.【例4】 错因分析：直线l的方程中，参数t的意义与直线参数方程的标准形式中参数t的意义是不同的，后者是有向线段的数量，而前者则不同，错解中把两者等同起来，错用了参数的几何意义正解：l的参数方程为(t为参数)令t，则有(t是参数)其中t是点m(2，1)到直线l上的一点p(x，y)的有向线段的数量，代入圆的方程x2y24，化简得t23t10.0，可设t1，t2是方程的两根，由根与系数关系得t1t23，t1t21.由参数t的几何意义得|ma|t1|，|mb|t2|，|ma|mb|t1t2|1，|ab|t1t2|.1直线(t为参数)的倾斜角等于()a40 b50 c45 d1352若(为参数)与(t为参数)表示同一条直线，则与t的关系是()a5t b5tct5 dt53直线(t为参数)被圆x2y24截得的弦长为()a. b. c d34已知p1，p2是直线(t为参数)上的两点，它们所对应的参数分别为t1，t2，则线段p1p2的中点到点p(1，2)的距离是()a. b. c. d.5已知直线l的方程为3x4y10，点p(1,1)在直线l上，写出直线l的参数方程，并求点p到点m(5,4)和点n(2,6)的距离答案：1d根据tan 1，因此倾斜角为135.2c由xx0，得3tcos ，由yy0，得4tsin ，消去的三角函数，得252t2，得t5，借助于直线的斜率，可排除t5，所以t5.3a直线为xy10，圆心到直线的距离d，所以弦长的一半为，即弦长为.4b由t的几何意义可知，p1p2