人教B版选修44 直角坐标系平面上的伸缩变换 学案.doc

课堂导学三点剖析1求轨迹方程【例1】如图,圆o1与圆o2的半径都是1，|o1o2|=4，过动点p分别作圆o1、圆o2的切线pm、pn（m、n分别为切点），使得pm=pn,试建立适当的坐标系，并求动点p的轨迹方程.解析:本题是解析几何中求轨迹方程问题，由题意建立适当坐标系，写出相关点的坐标，由几何关系式：pm=2pn，即(pm)2=(pn)2，结合图形,由勾股定理转化为po12-1=2(po22-1)，设p(x，y),由距离公式写出代数关系式，化简整理可得.解:如右图,以直线o1o2为x轴，线段o1o2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则两圆心的坐标分别为o1(-2,0),o2(2,0).设p(x,y)，则pm 2=po12-mo12=(x+2)2+y2-1.同理,pn2=(x-2)2+y2-1.pm=pn，即(x+2)2+y2-1=2(x-2)2+y2-1，即x2-12x+y2+3=0，即(x-6)2+y2=33.这就是动点p的轨迹方程.点评:这道题是考查解析几何中求点的轨迹方程的方法应用，考查建立坐标系、数形结合思想、勾股定理、两点间距离公式等相关知识点，及分析推理、计算化简技能、技巧等，是一道很综合的题目.2.坐标变换问题【例2】 将曲线c按伸缩变换公式变换后的曲线方程为x2+y2=1,则曲线c的方程为( )a.+=1 b.+=1 c.4x2+9y2=36 d.4x2+9y2=1解析：将代入方程x2+y2=1,得4x2+9y2=1.答案：d温馨提示1.设点p(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换:的作用下,点p(x,y)对应到点p(x,y),称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.在坐标伸缩变换的作用下,可以实现平面图形的伸缩.因此,平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示.3.坐标伸缩变换与我们前面学的坐标变换之间的关系.3.标变换公式应用【例3】在同一平面直角坐标系中，由椭圆+=1变成圆x2+y2=1的伸缩变换公式为_.解析:设伸缩变换为.将其代入x2+y2=1,得2x2+u2y2=1.与方程+=1比较系数有2=,u2=.=,u=,即所求的伸缩变换为答案:各个击破类题演练1如右图,已知直线l与半径为1的d相切于点c,动点p到直线l的距离为d,若,建立适当的直角坐标系,求点p的轨迹方程.解:，点p的轨迹是以点d为焦点,l为相应准线的椭圆.由e,又-c=1,解得a=,c=1,b=1.于是以cd所在直线为x轴,以cd与d的另一交点o为坐标原点建立直角坐标系,所求点p的轨迹方程为+y2=1.变式提升1某河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5 m时，水面宽8 m，一木船宽4 m，高2 m，载货后木船露在水面上的部分高为m，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，木船开始不能通航？解析:求抛物线方程时,若由已知条件可知曲线是抛物线,一般用待定系数法. 本题中影响通航的因素是高度和宽度,而宽度是首要的,据对称性,可取拱顶为坐标原点,拱桥的对称轴为y轴建立直角坐标系xoy,设抛物线方程为x2=-2py(p0),运用待定系数法确定参数p,问题即可获解.解:根据题意,建立右图所示的直角坐标系,设抛物线方程为x2=-2py(p0),a（4,-5）在抛物线上,42=-2p(-5),p=1.6.x2=-3.2y(-4x4).设当水面bb上涨到与抛物线拱顶相距h米时船开始不能通航,这时木船两侧与抛物线接触,于是可设木船宽bb的端点b的坐标为（2,y1）,由223.2y1,得y1,h=|y1|+=|+=2（m）,所以当水面上涨到与抛物线拱顶相距2 m时,船开始不能通航.类题演练2在同一平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形.y2=2x;y=3sin2x.解:由伸缩变换得(*)将(*)代入y2=2x,得(y)2=2(2x).y2=64x.经过伸缩变换后抛物线y2=2x变成了抛物线y2=64x.将(*)代入y=3sin2x,得y=3sin2(2x),y=12sin4x.经过伸缩变换后,曲线y=3sin2x变成了曲线y=12sin4x.变式提升2已知f1(x)=cosx,f2(x)=cosx(0),f2(x)的图象可以看作是把f1(x)的图象在其所在的坐标系中的横坐标压缩到原来的（纵坐标不变）而得到的，则为( )a. b.2 c.3 d.解析:f1(x)=cosxf2(x)=cos3x.答案：c类题演练3在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线c变为曲线(x-5)2+(y+6)2=1，求曲线c的方程，并判断其形状.解析:考查变换公式：我