人教A版选修41 平行线等分线段定理 学案1.doc

一平行线等分线段定理1理解并掌握平行线等分线段定理及其推论，认识它的变式图形2能运用平行线等分线段定理任意等分已知线段，能运用推论进行简单的证明或计算3会用三角形中位线定理解决问题1平行线等分线段定理文字语言如果一组_在一条直线上截得的线段_，那么在其他直线上截得的_也相等符号语言已知abc，直线m，n分别与a，b，c交于点a，b，c和a，b，c，且abbc，则ab_图形语言变式图形作用证明同一直线上的线段相等(1)平行线等分线段定理的条件是a，b，c互相平行，构成一组平行线，m与n可以平行，也可以相交，但它们必须与已知的平行线a，b，c相交，即被平行线a，b，c所截(2)平行线的条数还可以更多，可以推广(3)平行线等分线段定理的逆命题是：如果一组直线截另一组直线成相等的线段，那么这组直线平行可以证明这一命题是错误的(如图)【做一做1】如图所示，l1l2l3，直线a分别与l1，l2，l3相交于a，b，c，且abbc，直线b分别与l1，l2，l3相交于a1，b1，c1，则有()aa1b1b1c1 ba1b1b1c1ca1b1b1c1 da1b1与b1c1的大小不确定2推论1文字语言经过三角形一边的_与另一边平行的直线必_第三边符号语言在abc中，d为ab的中点，过d作debc，交ac于e，则e平分_图形语言作用证明线段相等，求线段的长度三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边长的一半【做一做2】如图所示，de是abc的中位线，f是bc上任一点，af交de于g，则有()aaggf baggfcaggf dag与gf的大小不确定3推论2文字语言经过梯形一腰的_，且与底边_的直线平分另一腰符号语言在梯形abcd中，adbc，e为ad的中点，过e作efbc，交cd于f，则f平分_图形语言作用证明线段相等，求线段的长度梯形中位线的性质：梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底边长和的一半【做一做3】如图，在梯形abcd中，adbc，adbc10 cm，e为ab的中点，点f在dc上，且efad，则ef的长为()a5 cm b10 cm c20 cm d不确定答案：1平行线相等线段bc【做一做1】al1l2l3，abbc，a1b1b1c1.2中点平分ac【做一做2】bde是abc的中位线，在abf中，dgbf，又addb，g平分af，即aggf.3中点平行cd【做一做3】a由推论2知，ef是梯形abcd的中位线，则ef(adbc)105(cm)平行线等分线段定理的两个推论的证明剖析：(1)推论1：如图，在abc中，b为ab的中点，过b作bcbc交ac于点c，求证：c是ac的中点证明：如图，过a作直线abc，bcbc，abcbc.又abbb，accc，即c是ac的中点(2)推论2：如图，已知在梯形acca中，aacc，b是ac的中点，过b作bbcc交ac于点b，求证：b是ac的中点证明：如图，aacc，bbcc，aabbcc.又abbc，abbc，即b是ac的中点题型一 任意等分已知线段【例题1】如图所示，已知线段ab，求作线段ab的五等分点，并予以证明分析：利用平行线等分线段定理来作图反思：将已知线段ab分成n等份的步骤：(1)作射线ac(与ab不共线)；(2)在射线ac上以任意取定的长度顺次截取ad1d1d2d2d3dn1dn；(3)连接dnb；(4)分别过点d1，d2，d3，dn2，dn1作dnb的平行线，分别交ab于点a1，a2，an2，an1，则点a1，a2，an2，an1将线段ab分成n等份题型二 证明线段相等【例题2】如图，已知acab，dbab，o是cd的中点，求证：oaob分析：由于线段oa和ob有共同端点，则转化为证明oab是等腰三角形即可反思：平行线等分线段定理及其推论应在有线段的中点时应用，在没有线段的中点时要先构造线段的中点题型三 三角形中位线性质的应用【例题3】如图，梯形abcd中，abdc，e为ad的中点，efbc，求证：bc2ef.分析：由于efbc，联系所证明的结果是bc2ef，由此想到三角形中位线定理，过a作bc的平行线即可实现反思：(1)如果已知条件中出现中点，那么往往利用三角形中位线的性质来解决有关问题(2)本题也可用平行线等分线段定理来证明，过e作dc的平行线即可答案：【例题1】作法：(1)作射线ac；(2)在射线ac上以任意取定的长度顺次截取ad1d1d2d2d3d3d4d4d5；(3)连接d5b；(4)分别过d1，d2，d3，d4作d5b的平行线d1a1，d2a2，d3a3，d4a4，分别交ab于点a1，a2，a3，a4.则点a1，a2，a3，a4将线段ab五等分证明：过点a作mnd5b.则mnd4a4d3a3d2a2d1a1d5b，ad1d1d2d2d3d3d4d4d5，aa1a1a2a2a3a3a4a4b.点a1，a2，a3，a4就是所求的线段ab的五等分点【例题2】证明：过o作ab的垂线，垂足为e，如图所示acab，dbab，oeacdb.又o为cd的中点，e为ab的中点，又oeab，oab是等腰三角形，oaob.【例题3】证明：如图所示，过a作bc的平行线ag，交dc于点g.又abdc，四边形abcg是平行四边形agbc，agbc.又efbc，efag.e为ad的中点，f是dg的中点efag.efbc，即bc2ef.1如图，在abc中，d，e三等分ab，dfbc，egbc，分别交ac于f，g，若ac15 cm，则fc_cm.2如图所示，在梯形abcd中，adbc，ad2，bc6，e，f分别为对角线bd，ac的中点，则ef_.3如图，已知梯形abcd中，adbc，abc90，m是cd的中点，求证：ambm.4如图所示，已知线段ab，求作ab的三等分点5如图所示，acab，bdab，ad与bc交于点e，egab，aeed，f是ed的中点，求证：fgfb答案：110dfbc，egbc，dfegbc.由已知，得addeeb，affggc.又ac15 cm，fggcac5 cm.fcfggc10 cm.22如图所示，过e作gebc交ba于g.e是db的中点，g是ab的中点又f是ac的中点，gfbc，g，e，f三点共线，gead1，gfbc3.efgfge312.3证明：过点m作mebc交ab于点e，adbc，adembc.又m是cd的中点，e是ab的中点abc90，me垂直平分ab.mamb.4作法：如图所示，(1)作射线ac；(2)在射线ac上以任意取定的长度顺次截取ad1d1d2d2d3；(3)连接d3b；(4)分别过d1，