172实际问题与反比例函数.doc

172 实际问题与反比例函数(一)教学目标1能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题2能综合利用几何、方程、反比例函数的知识解决一些实际问题3体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力教学重点 掌握从实际问题中建构反比例函数模型教学难点 从实际问题中寻找变量之间的关系关键是充分运用所学知识分析实际情况，建立函数模型，教学时注意分析过程，渗透数形结合的思想教学过程 一、创设问题情境，引入新课 活动1 问题：某校科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地，为了安全，迅速通过这片湿地，他们沿着前进路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成了任务的情境 (1)请你解释他们这样做的道理 (2)当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S(m2)的变化，人和木板对地面的压强p(Pa)将如何变化? (3)如果人和木板对湿地的压力合计600N，那么? 用含S的代数式表示p，P是S的反比例函数吗?为什么? 当木板面积为0.2m2时，压强是多少? 如果要求压强不超过6000Pa，木板面积至少要多大? 在直角坐标系中，作出相应的函数图象 请利用图象对(2)(3)作出直观解释，并与同伴交流设计意图： 展示反比例函数在实际生活中的应用情况，激发学生的求知欲和浓厚的学习兴趣 师生行为： 学生分四个小组进行探讨、交流领会实际问题的数学煮义，体会数与形的统一 教师可以引导、启发学生解决实际问题 在此活动中，教师应重点关注学生： 能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题； 能积极地与小组成员合作交流； 是否有强烈的求知欲 二、讲授新课 活动2 例1市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室 (1)储存室的底面积S(单位：m2)与其深度d(单位：m)有怎样的函数关系? (2)公司决定把储存室的底面积S定为500m2，施工队施工时应该向下挖进多深? (3)当施工队按(2)中的计划挖进到地下15m时，碰上了坚硬的岩石，为了节约建设资金，公司临时改变计划把储存室的深改为15m，相应的，储存室的底面积应改为多少才能满足需要(保留两位小数)。 设计意图： 让学生体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段，让学生充分认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，此活动让学生从实际问题中寻找变量之间的关系而关键是充分运用反比例函数分析实际情况，建立函数模型，并且利用函数的性质解决实际问题 师生行为： 先由学生独立思考，然后小组内合作交流，教师和学生最后合作完成此活动 在此活动中，教师有重点关注： 能否从实际问题中抽象出函数模型； 能否利用函数模型解释实际问题中的现象； 能否积极主动的阐述自己的见解 三、巩固提高 活动3 练习：如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种窖积为1升(1升1立方分米)的圆锥形漏斗(1)漏斗口的面积S与漏斗的深d有怎样的函数关系? (2)如果漏斗口的面积为100厘米2，则漏斗的深为多少? 设计意图： 让学生进一步体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段，让学生充分认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，更进一步激励学生学习数学的欲望 师生行为： 由两位学生板演，其余学生在练习本上完成，教师可巡视学生完成情况，对“学困生”要提供一定的帮助，此活动中，教师应重点关注： 学生能否顺利建立实际问题的数学模型； 学生能否积极主动地参与数学活动，体验用数学模型解决实际问题的乐趣； 学生能否注意到单位问题 活动4 练习； (1)已知某矩形的面积为20cm2，写出其长y与宽x之间的函数表达式。 (2)当矩形的长为12cm时，求宽为多少?当矩形的宽为4cm，求其长为多少? (3)如果要求矩形的长不小于8cm，其宽至多要多少? 设计意图： 进一步让学生体会从实际问题中建立函数模型的过程，即将实际问题置于已有的知识背景之中，然后用数学知识重新理解这是什么?可以看成什么? 师生行为 由学生独立完成，教师根据学生完成情况及时给予评价 四、课时小结 本节课是用函数的观点处理实际问题，并且是蕴含着体积、面积这样的实际问题，而解决这些问题，关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题，将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新解释这是什么?可以是什么?逐步形成考察实际问题的能力，在解决问题时，应充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想板书设计活动与探究如果等腰梯形ABCD的顶点A，B在一次函数y7的图象上，顶点C、D在这个反比例函数为y的图象上，两底AD，BC平行于y轴，点A和B的横坐标分别为a和a2求a的值 过程：组织学生分小组进行交流，而此问题最关键的是数形结合 结果：点A、B的横坐标分别为a和a2，可得A(a，a7)，B(a2，a4) C(a2，)D(a，)， ABCD，223222()2 即3 由3得a22a8O，方程无解； 由3，得a22a80，a4，a2 经检验a4，a2均为所求的值172 实际问题与反比例函数(二)教学目标 1能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题 2能综合利用工程中工作量，工作效率，工作时间的关系及反比例函数的性质等知识解决一些实际问题 3体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具教学重点 掌握从实际问题中建构反比例函数模型教学难点 从实际问题中寻找变量之间的关系关键是充分运用所学知识分析实际情况，建立函数模型，教学时注意分析过程，渗透数形结合的思想教学过程 一、创设问题情境，引入新课 活动1 某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品的日销售单价x元与日销售量y之间有如下关系：x(元)3456y(个)20151210 (1)根据表中的数据在平面直角坐标系中描出实数对(x，y)的对应点； (2)猜测并确定y与x之间的函数关系式，并画出图象； (3)设经营此贺卡的销售利润为W元，试求出w与x之间的函数关系式，若物价局规定此贺卡的售价最高不能超过10元个，请你求出当日销售单价x定为多少元时，才能获得最大日销售利润? 设计意图： 进一步展示现实生活中两个变量之间的反比例函数关系，激发学生学习数学的兴趣和强烈的求知欲 师生行为： 学生亲自动手操作，并在小组内合作交流 教师巡视学生小组讨论的结果 在此活动中，教师应重点关注： 学生动手操作的能力； 学生数形结合的意识； 学生数学建模的意识； 学生能否大胆说出自己的见解，倾听别人的看法 二、讲授新课 活动2例2码头工人以每天30吨的速度往一艘轮船上装载货物，把轮船装载宪毕恰好用了8天时间 (1)轮船到达目的地后开始卸货，卸货速度v(单位：吨天)与卸货时间t(单位：天)之间有怎样的函数关系? (2)由于遇到紧急情况，船上的货物必须在不超过5日内卸载完毕，那么平均每天至少要卸多少吨货物?设计意图： 进一步分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题，将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新解释是什么?可以看作什么?逐步形成考察实际问题的能力在解决问题时，还应充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想 师生行为： 学生先独立思考，然后小组交流合作 教师应鼓励学生运用数形结合，用多种方法来思考问题，充分利用好方程，不等式，函数三者之间的关系，在此活动中，教师应重点关注： 学生能否自己建构函数模型， 学生能否将函数，方程、不等式的知识联系起来； 学生面对困难，有无克服困难的勇气和战胜困难的坚强意志 画出v在第一象限内的图象(因为tO)如下图当t5时，代入v，得v48 根据反比例函数的性质v在第一象限，v随t的增大而减小所以当0t5时，v48即若货物不超过5天内卸完，则平均每天至少要卸货48吨 三、巩固提寓 活动3 一辆汽车往返于甲、乙两地之间，如果汽车以50千米时的平均速度从甲地出发，则经过6小时可到达乙地 (1)甲、乙两地相距多少千米? (2)如果汽车把速度提高到v(千米时)那么从甲地到乙地所用时间t(小时)将怎样变化? (3)写出t与v之间的函数关系式； (4)因某种原因，这辆汽车需在5小时内从甲地到达乙地，则此时汽车的平均速度至少应是多少? (5)已知汽车的平均速度最大可达80千米时，那么它从甲地到乙地最快需要多长时间? 设计意图： 本题可以通过计算解决以上问题，也可以根据函数的图象对问题进行解释，通过两种方法的比较，可以加深对这类问题的理解 师生行为： 先由学生独立完成，后在小组内讨论交流 教师可巡视，对“学围生”以适当的帮助 四、课时小结 本节课是继续用函数的观点处理实际问题，关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一步明确数学问题，将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新解释这是什么? 可以看到什么?逐步形成考察实际问题的能力，在解决问题时不仅要充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想，也要注意函数不等式、方程之间的联系板书设计活动与探究 某单位花50万元买回一台高科技设备，根据对这种型号设备的跟踪调查显示，该设备投入使用后，若将养护和维修的费用均摊到每一天，则有结论：第x天应付的养护与维修费为(x1)500元 (1)如果将该设备从开始投入使用到报废共付的养护与维修费及购实该设备费用的和均摊到每一天，叫做每天的平均损耗请你将每天的平均损耗y(元)表示为使用天数x(天)的函数 (2)按照此行业的技术和安全管理要求，当此设备的平均损耗达到最小值时，就应当报废，问该设备投入使用多少天应当报废? 注：在解本题时可能要用到以下两个数学知识点(如果需要可以直接引用下述结论) A. 对于任意正整数n，下列等式一定成立 l234n； B对于确定的正常数a，b以及在正实数范围内取值的变量x，一定有22成立可以看出，2是一个常数，也就是说函数y有最小值2，而且当时，y取得最小值 解：(1)设该设备投入使用x天，每天的平均损耗为：(2)y 当且仅当，即x2000时，取等号172 实际问题与反比例函数(三)教学目标1能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题2能综合利用物理杠杆知识、反比例函数的知识解决一些实际问题 3体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力教学重点 掌握从物理问题中建构反比例函数模型教学难点 从实际问题中寻找变量之间的关系，关键是充分运用所学知识分析物理问题，建立函数模型，教学时注意分析过程，渗透数形结合的思想教学过程 一、创设问题情境，引入新课 活动1 问属：在物理学中，有很多量之间的变化是反比例函数的关系，因此，我们可以借助于反比例函数的图象和性质解决一些物理学中的问题，这也称为跨学科应用下面的例子就是其中之一 例1在某一电路中，保持电压不变，电流I(安培)和电阻R(欧姆)成反比例，当电阻R5欧姆时，电流I2安培 (1)求I与R之间的函数关系式； (2)当电流I0.5时，求电阻R的值 设计意图： 运用反比例函数解决物理学中的一些相关问题，提高各学科相互之间的综合应用能力 师生行为： 可由学生独立思考，领会反比例函数在物理学中的综合应用二、讲授新课 活动2 例3小伟欲用撬棍橇动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1200牛顿和05米 (1)动力F与动力臂l有怎样的函数关系?当动力臂为1.5米时，撬动石头至少需要多大的力? (2)若想使动力F不超过题(1)中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少? 设计意图： 物理学中的很多量之间的变化是反比例函数关系因此，在这儿又一次借助反比例函数的图象和性质解决一些物理学中的问题，即跨学科综合应用 师生行为： 先由学生根据“杠杆定律”解决上述问题 教师可引导学生揭示“杠杆乎衡”与“反比例函数”之间的关系 教师在此活动中应重点关注： 学生能否主动用“杠杆定律”中杠杆平衡的条件去理解实际问题，从而建立与反比例函数的关系； 学生能否面对困难，认真思考，寻找解题的途径； 学生能否积极主动地参与数学活动，对数学和物理有着浓厚的兴趣 活动3 问题：某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿度，本年度计划将电价调至0.550.75元之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y(亿度)与(x04)元成反比例又当x065元时，y0.8(1)求y与x之间的函数关系式；(2)若每度电的成本价0.3元，电价调至0.6元，请你预算一下本年度电力部门的纯收人多少? 设计意图： 在生活中各部门，经常遇到经济预算等问题，有时关系到因素之间是反比例函数关系，对于此类问题我们往往由题目提供的信息得到变量之间的函数关系式，进而用函数关系式解决一个具体问题 师生行为： 由学生先独立思考，然后小组内讨论完成 教师应给予“学困生”以一定的帮助 三、巩固提高 活动4一定质量的二氧化碳气体，其体积y(m3)是密度(kgm3)的反比例函数，请根据下图中的已知条件求出当密度1.1 kgm3时二氧化碳气体的体积V的值 设计意图： 进一步体现物理和反比例函数的关系 师生行为 由学生独立完成，教师讲评 四、课时小结 活动5 你对本节内容有哪些认识?重点掌握利用函数关系解实际问题，首先列出函数关系式，利用待定系数法求出解析式，再根据解析式解得 设计意图： 这种形式的小结，激发了学生的主动参与意识，调动了学生的学习兴趣，为每一位学生都创造了在数学学习活动中获得成功的体验机会，并为程度不同的学生提供了充分展示自己的机会，尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，从而使小结不流于形式而具有实效性 师生行为： 学生可分小组活动，在小组内交流收获，然后由小组代表在全班交流 教师组织学生小结 反比例函数与现实生活联系非常紧密，特别是为讨论物理中的一些量之间的关系打下了良好的基础用数学模型的解释物理量之间的关系浅显易懂，同时不仅要注意跨学科间的综合，而本学科知识间的整合也尤为重要，例如方程、不等式、函数之间的不可分割的关系17.2实际问题与反比例函数（四）教学目标:1、能综合利用物理电学知识，反比例函数知识解决一些实际问题。2、体会数学与物理间的密切联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力。3、积极参与交流，并积极发表意见。教学重点：掌握从物理电学问题中建构反比列函数的模型。教学难点：从实问题中寻找变量之间的关系，关键还是充分运用所学的知识分析物理中的电学问题，建立函数模型，教学时注意分析过程，渗透数行结合的思想。教学过程：一、创设问题情境，引入新课活动1做一做：蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流与电阻间的函数关系如下图所示：（1）蓄电池的电压为多少？你能写出这一函数表达式吗？（2）完成下表，并回答下列问题：如果蓄电池为电源的用电器限制电流不得超10A，那么用电器的可变电阻可控制在什么范围内？R/345678910I/A4师生共析：图形所提供的信息包括：直观上看，I与R之间的关系可能是反比例函数关系，利用相关知识IR=U（U为定值）得到确认；由图象上点A的坐标可知，当用电器电阻为9时，电流为4A。（1）根据图象可得当用电器的电阻为9时，电流为4A，因为IR=U（U为定值），所以蓄电池的电压为U=94=36（V）。所以电流I与电阻R之间的函数关系为。即I与R两个物理量成反比例函数关系。利用I与R两个物理量之间的关系可填写下表：从左向右依次为：12，9，6，。如果以此蓄电池为电源的用电器，限制电流不超过10A，即I10A，所以10，R3.6（）。因此，用电器的可变电阻应控制在大于等于3.6的范围内。我们还可以综合运用表格、图象来考察此问题，这样我们就可以形成对反比例函数较完整的认识。无论从图象还是从表格，我们都能观察出反比例函数在第一象限I随R的增大而减小。当I=10A时，R=3.6。因此当限制电流不超过10A时，用电器的可变电阻应是不小于3.6的。用反比例函数去研究两个物理量之间的关系是在物理学中最常见的，因此同学们要学好物理，首先要打好数学基础，才能促进你对物理知识的理解和探索。下面我们再来看一个物理方面的问题。二、讲授新课活动2问题：电学知识告诉我们，用电器的输出功率P（瓦）、两端的电压U（伏）及用电器的电阻R（欧姆）有如下关系：PR=U2。这个关系也可写为P= ，或R= 。 【例4】一个用电器的电阻是可调节的，其范围为110220欧姆，已知电压为220伏，这个用电器的电路图如上图所示。（1）输出功率P与电阻R有怎样的函数关系？（2）用电器输出功率的范围多大？师生行为：可先由学生独立思考，领会反比例函数在物理学中的综合应用，教师应不断地引导学生完成。解：（1）根据电学知识，当U=220时，有即输出功率P是电阻R的反比例函数，函数式为P=（2）从式可以看出，电阻越大，功率越小。把电阻的最小值R=110代入式，得到输出功率的最大值：P=把电阻的最大值R=220代入式，则得到输出功率的最小值P=；因此用电器的输出功率在220瓦到440瓦之间。结合例4，想一想为什么收音机的音量可以调节，台灯的亮度及风扇的转速可以调节？音量、亮度、及转速随 的减小而增大，随 的增大而减小。利用反比例函数可以解决实际生活中的很多问题，大大地方便我们的生活。下面我们再来看几个这样的例子。活动3练习：见教材P612题三、巩固提高活动4某学校冬季储煤120吨，若每天用煤x吨，经过y天可以用完。（1）请与出y与x之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）当每天的用煤量为1.21.5吨时，这些煤可用的天数在什么范围？师生行为：由学生独立完成，教师巡视完成情况。活动5练习：见教材P613四、课时小结活动6你对本节的内容有哪些认识？利用函数观点处理实际问题，理解数形结合的数学思想方法。师生行为：本节课进一步学习了函数的观点处理实际问题，特别是利用函数的性质，由自变量x的取值范围，决定函数y的值的范围，提高了学生用函数观点解决实际问题的能力，在解决问题时，又一次渗透了数形结合的思想。题目：反比例函数数学活动教学目标：1、 知识与技能：学生熟练掌握反比例函数的实际应用】2、 能力与方法：培养学生把现实中的实际问题转化为反比例函数的能力。3、 情感态度价值观：培养学生数学类比和数学建模思想。重点：培养学生把现实中的实际问题转化为反比例函数的能力难点：数学建模思想的培养。关键：对反比例函数和实际问题关系的理解教具：多媒体课件和直尺学具：直尺和三角板课时安排：1课时教材分析：活动1 的目的是培养学生把现实中的实际问题转化为反比例函数的建模能力。活动2 考察的是学生对“杠杆原理”的理解。教学过程：一、 问题导入 师提