第五节 对坐标的曲面积分.ppt

第五节第二类 对坐标 曲面积分 一 基本概念 二 引例 三 定义及性质 四 计算 五 两类曲面积分的关系 上一节我们讲述了对面积的曲面积分 这一节我们就来讲对坐标的曲面积分 一 基本概念 观察以下曲面的侧 假设曲面是光滑的 曲面分上侧和下侧 曲面分内侧和外侧 1 有向曲面 曲面的侧向 曲面的分类 1 双侧曲面 2 单侧曲面 典型双侧曲面 莫比乌斯带 典型单侧曲面 曲面通常都是双侧的 具体分类如下 1 若曲面方程为z z x y 则将曲面分为上 下两侧 此时曲面上任意一点处的法向量为 其中 朝上 代表曲面的上侧 朝下 代表曲面的下侧 2 若曲面方程为y y x z 则将曲面分为左 右两侧 此时曲面上任意一点处的法向量为 其中 朝右 代表曲面的右侧 朝左 代表曲面的左侧 3 若曲面方程为x x y z 则将曲面分为前 后两侧 此时曲面上任意一点处的法向量为 其中 朝前 代表曲面的前侧 朝后 代表曲面的后侧 4 若曲面为封闭曲面 方程为F x y z 0 则将曲面分为内 外两侧 此时曲面上任意一点处的法向量为 其中 一个朝内 代表曲面的内侧 一个朝外 代表曲面的外侧 小结 1 曲面的方程形式决定了曲面侧向的划分 2 曲面侧向的选定可通过法向量的指向来确定 这种通过法向量的指向来选定了侧的曲面叫做有向曲面 例如 考虑封闭的球面 则应将 分为内 外两侧 取 则 代表 的外侧 代表 的内侧 进一步 若将 分为上下两半球面 则 的方程为 而 其中 代表上半球面 代表下半球面 例如 考虑封闭的球面 则应将 分为内 外两侧 此时 均应分为上 下两侧 其中 若 取外侧 则 应取上侧 应取下侧 若 取内侧 则 应取下侧 应取上侧 2 有向曲面在坐标面上的投影 的方向余弦记为 设 是一个有向曲面 法向量 的方向与 的侧向一致 假设在 S上 cos 不变号 则 S在xoy面上的投影规定为 类似地 可以定义 S在yoz和xoz面上的投影 3 有向曲面在坐标面上的投影与侧向之间的关系 1 设 的方程为 若 取上侧 则 的法向量为 显然在 S上 cos 0不变号 所以 若 取下侧 则 的法向量为 显然在 S上 cos 0不变号 所以 3 有向曲面在坐标面上的投影与侧向之间的关系 1 设 的方程为 注意 取上侧 投影取正 2 若 的方程为 3 有向曲面在坐标面上的投影与侧向之间的关系 3 若 的方程为 二 概念的引入 举例 流向曲面一侧的流量 为与A的侧向一致的 通过A流向 所指一侧 的流量就是该斜柱体的体积 1 设有一有向平面区域A 今有一流速为常向量 的流速场 单位法向量 为 求单位时间内通过A流向 所指 一侧的流量 此时 但 所以仍然有 在平面内 因此 此时流体实际流向 所指一侧 其大小为 的流量仍然为 因此通过A流向 所指一侧 总之 流体通过A而流向 所指一侧的流量总可表示为 1 分割 记该点流速为 单位法向量为 的方向与 的侧向一致 2 求近似 在单位时间内通过 而流向 指定 而通过整个 流向指定侧的流量为 侧的流量为 3 取极限 求精确值 令 为所有小块曲 面直径的最大值 则 三 对坐标的曲面积分的定义及性质 定义 设 为光滑有向曲面 R x y z 在 上有界 首先 将 任意分成n块小曲面 在xoy面上的投影记为 其次 在 上任取一点 做乘积 并作和 令 为所有小块曲面直径的最大值 如果极限 总存在 则称此极限为R x y z 在 上对坐标 x y的曲面积分 被积函数 积分曲面 类似可定义 积分和 以上三个对坐标的曲面积分统称为第二类曲面积分 存在条件 组合形式 物理意义 性质 与第二类曲线积分的性质完全相似 例如 线性性质 有限可加性等 若用 表示与 取相反侧向的有向曲面 则 四 第二类曲面积分的计算方法 为 在xoy面上的投影区域 首先将 的方程表为 在 上任取一小块区域 1 取上侧 则 在xoy面上的投影区域为 投影为 代入上述积分和中得 四 第二类曲面积分的计算方法 1 取上侧 则 2 取下侧 则 四 第二类曲面积分的计算方法 1 取上侧 则 2 取下侧 则 其中 取上侧 积分取正 取下侧 积分取负 计算 的步骤 1 将 的方程写成 2 将 投影到xoy面上 得投影区域 3 将z z x y 代入被积函数 的侧分为上 下侧 将 换为 4 根据 的侧向确定二重积分的符号 注意 对坐标的曲面积分 必须注意曲面所取的侧 类似地 其中 为 的方程 取前侧 二重积分取正 取后侧 二重积分取负 为 在yoz面上的投影区域 其中 为 的方程 取右侧 二重积分取正 取左侧 二重积分取负 为 在xoz面上的投影区域 例1 计算 其中 取外侧 解 考虑 的计算 在xoy面上的投影均为线段 而在 上 取下侧 所以 例1 计算 其中 取外侧 解 取上侧 由坐标轮换性可得 所以 例1 计算 其中 取外侧 解 所以 注意 1 要保持 与各 在侧向上的一致性 2 善于使用坐标轮换特征 解 分析 计算对x y的曲面积分 必须 1 将 投影到xoy面上 2 将 的方程表为 由于 故 其中 取下侧 取上侧 它们在xoy面上的投影区域相同 解 解 例3 计算 其中 取上侧 解 例3 计算 其中 解 取上侧 例3 计算 其中 解 为了计算 1 将 的方程表为 取后侧 取前侧 2 将 投影到yoz面 取上侧 例3 计算 其中 解 所以 取上侧 例3 计算 其中 解 取上侧 五 两类曲面积分之间的联系 考虑曲面积分 在xoy面上的投影区域为 1 取上侧 而 而 所以 2 取下侧 而 所以亦有 则无论 取上 下那一侧 均有 是与 的侧向一致的法向量 的方向余弦 同理 将三个不同的对坐标曲面积分转化为同一个曲面积分 假设 的方程为 所以无论 取上 下那一侧 总有 故 分别代表上 下两侧 假设 的方程为 同理可得 若 的方程为 则有 若 的方程为 则有 解 由于 由对称性得 解 解 由对称性得 解 例5 计算 其中 取上侧 解 例5 计算 其中