北师大版必修一 2.2 函数的表示法 学案.doc

22函数的表示法学习目标1.掌握函数的三种表示方法：解析法、图像法、列表法(重点)；2.会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；3.了解简单的分段函数，并能简单应用(重、难点)预习教材p2831完成下列问题：知识点一函数的三种表示方法表示法定义解析法用数学表达式表示两个变量之间的对应关系图像法用图像表示两个变量之间的对应关系列表法列出表格来表示两个变量之间的对应关系【预习评价】1函数的三种表示方法各有什么优、缺点？提示三种表示方法的优、缺点比较：优点缺点解析法简明、全面地概括了变量间的关系；可以通过解析式求出任意一个自变量所对应的函数值不够形象、直观列表法不通过计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值一般只能表示部分自变量的函数值图像法直观、形象地表示出函数的变化情况，有利于通过图形研究函数的某些性质只能近似地求出自变量所对应的函数值，有时误差较大2.任何一个函数都可以用解析法、列表法、图像法三种形式表示吗？提示不一定并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图像法也不适用于所有函数，如d(x)列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段知识点二分段函数有些函数在它的定义域中，对于自变量x的不同取值，对应关系也不同，这样的函数通常称为分段函数【预习评价】分段函数的定义域和值域是如何确定的？提示分段函数是一类特殊的函数，其解析式是由几个不同的式子构成，它们合为一个整体表示一个函数，分段函数的定义域、值域分别是各段函数定义域、值域的并集题型一作函数的图像【例1】作出下列函数的图像(1)yx1(x )；(2)yx22x(x0,3)解(1)这个函数的图像由一些点组成，这些点都在直线yx1上，如图(1)所示(2)因为0x3，所以这个函数的图像是抛物线yx22x介于0x1，或x1，或xg(f(x)的x的值是_解析g(1)3，f(g(1)f(3)1f(g(x)与g(f(x)与x相对应的值如下表所示.x123f(g(x)131g(f(x)313f(g(x)g(f(x)的解为x2答案12规律方法解决此类问题关键在于弄清每个表格表示的函数对于f(g(x)这类函数值的求解应从内到外逐层解决，而求解不等式，则可分类讨论或列表解决【训练2】已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出x123f(x)211x123g(x)321(1)f(g(1)_；(2)若g(f(x)2，则x_解析(1)由表知g(1)3，f(g(1)f(3)1；(2)由表知g(2)2，又g(f(x)2，得f(x)2，再由表知x1答案(1)1(2)1题型三待定系数法求函数解析式【例3】(1)已知f(x)是一次函数，且f(f(x)4x1，求f(x)；(2)已知二次函数f(x)ax2bxc，若f(0)0，且f(x1)f(x)x1，求此二次函数f(x)的解析式解(1)f(x)是一次函数，设f(x)axb(a0)，则f(f(x)f(axb)a(axb)ba2xabb又f(f(x)4x1，a2xabb4x1，即解得或f(x)2x或f(x)2x1(2)f(0)0，c0，f(x)ax2bx，f(x1)f(x)x1，当x0，有f(1)f(0)11，即ab1.当x1时，有f(2)f(1)113，即4a2b3，由解得a，b，f(x)x2x规律方法1.对于特征已明确的函数一般用待定系数法求解析式.2.若所求函数为一次函数，通常设f(x) xb( 0)；若为反比例函数，通常设为f(x)( 0)；若为二次函数，则解析式有以下三种：(1)一般式yax2bxc(a0)；(2)两根式 ya(xx1)(xx2)(a0)，其中x1，x2是二次函数图像与x轴交点的横坐标；(3)顶点式ya2(a0)其中顶点坐标为.解题时需依据条件灵活选用【训练3】已知二次函数f(x)满足f(0)1，f(1)2，f(2)5，求该二次函数的解析式解设二次函数的解析式为f(x)ax2bxc(a0)，由题意得解得故f(x)x21题型四换元法(或配凑法)、方程组法求函数解析式【例4】求满足下列条件的函数f(x)的解析式(1)函数f(x)满足f(1)x2；(2)函数f(x)满足2ff(x)x(x0)解(1)法一(换元法)令1t(t1)，则x(t1)2，所以f(t)(t1)22t21，所以f(x)x21(x1)法二(配凑法)因为x2(1)21，所以f(1)(1)21又因为11，所以f(x)x21(x1)(2)由题意知f(x)2fx，令x(t0)，则t，则f2f(t)，即f2f(x)，于是得到关于f与f(x)的方程组解得f(x)(x0)规律方法换元法(或配凑法)、方程组法求函数解析式的思路(1)已知f(g(x)h(x)，求f(x)，常用的有两种方法：换元法，即令tg(x)，解出x，代入h(x)中，得到一个含t的解析式，即为函数解析式，注意：换元后新元的范围配凑法，即从f(g(x)的解析式中配凑出“g(x)”，即用g(x)来表示h(x)，然后将解析式中的g(x)用x代替即可(2)方程组法：当同一个对应关系中的含有自变量的两个表达式之间有互为相反数或互为倒数关系时，可构造方程组求解【训练4】已知f(x1)x24x5，则f(x)的解析式是()af(x)x26x bf(x)x28x7cf(x)x22x3 df(x)x26x10解析法一设tx1，则xt1，因为f(x1)x24x5，所以f(t)(t1)24(t1)5t26t，f(x)的解析式是f(x)x26x法二因为f(x1)x24x5(x1)26(x1)，所以f(x)x26x所以f(x)的解析式是f(x)x26x答案a互动探究题型五分段函数及应用【探究1】函数f(x)则f的值为_解析f(3)32333，所以所以ff12答案【探究2】已知函数f(x)1(2x2)(1)用分段函数的形式表示该函数；(2)画出该函数的图像；(3)写出该函数的值域解(1)当0x2时，f(x)11；当2x0时，f(x)11x，f(x)(2)函数f(x)的图像如图所示(3)由(2)知，f(x)在(2,2 上的值域为1,3)【探究3】已知函数f(x)(1)试比较f(f(3)与f(f(3)的大小；(2)画出函数的图像；(3)若f(x)1，求x的值解(1)31，f(f(3)f(7)72273531，f(3)32233，f(f(3)3f(f(3)f(f(3)(2)函数图像如图所示(3)由f(x)1和函数图像综合判断可知，当x在(，1)上时，得f(x)2x11，解得x0；当x在1，)上时，得f(x)x22x1，解得x1或x1(舍去)综上可知x的值为0或1【探究4】已知函数f(x)求使f(x)2的x值的集合解由题意可得或由解得1x由解得x或x1综上可知，使f(x)2的x值的集合为规律方法(1)求分段函数值的方法先确定要求值的自变量属于哪一段，然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止特别地，当出现f(f(x0)的形式时，应从内到外依次求值(2)已知函数值求字母的值的四个步骤讨论：对字母的取值范围分类讨论代入：由不同取值范围，代入对应的解析式中求解：通过解方程求出字母的值检验：检验所求的值是否在所讨论的区间内课堂达标1已知f(x2)6x5，则f(x)等于()a18x17 b6x5c6x7 d6x5解析设x2t，得xt2，f(t)6(t2)56t7，f(x)6x7，故选c答案c2已知函数f(x)则f(2)等于()a0 b c1 d2解析f(2)1答案c3已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3)_.x1234f(x)3241解析由题设给出的表知f(3)4，则f(f(3)f(4)1答案14如图所示，函数图像是由两条射线及抛物线的一部分组成，则函数的解析式为_答案y5已知f(x)是一次函数，且满足3f(x1)6x4，求f(x)的解析式解因为f(x)是一次函数，所以设f(x) xb( 0)则3f(x1)3 (x1)b 3 x3 3b6x4，所以得所以f(x)2x课堂小结1函数三种表示法的优缺点2理解分段函数应注意的问题(1)分段函数是一个函数，其定义域是各段“定义