北师大版必修一 函数的综合应用 教案.doc

函数的综合应用【考点精讲】1. 复合函数y单调性的确定： 当a1时，y的单调区间与f（x）的单调区间一致；当0a1时，f（x）的单调增区间是y的单调减区间；f（x）的单调减区间是y的单调增区间。例如：与的单调增减区间就是不同的。的增区间是，减区间是。的增区间是，减区间是。2. 对于y值域问题，应分以下两步求解：由定义域求出uf（x）的值域；利用指数函数y的单调性求得此函数的值域。【典例精析】例题1 求下列函数的值域。（1）yax（a1）；（2）f（x）x22x2（x0）；（3）f（x）（ax）22ax2（a0，且a1）。思路导航：一个函数的解析式中若含有指数式，即这个指数式为中间变量，这类题通常的解法是用换元法作变量替换。如y4x1，设4xt，则yt1，容易出错和忽略的是t的范围应该是4x的值域，而不是tr，应该是t0。此题（3）的解题关键是设axt（t0），换元后变为f（t）t22t2，转化成求二次函数的值域。答案：（1）yax（a1）的值域为（0，）；（2）x22x2（x1）21，对称轴为x1。函数在（0，）上为增函数，x0时，min2（此处取不到）。x22x2（）的值域为（2，）。（3）设axt（t0），换元后变为f（t）t22t2（t1）21，f（t）2，f（x）（ax）22ax2（）的值域为（2，）。点评：通过换元将f（x）（ax）22ax2化为二次函数的形式再求二次函数在（0，）上的值域，问题便得到解决。例题2 讨论函数f（x）的单调性，并求其值域。思路导航：涉及复合函数的单调性问题，首先要弄清函数是由哪些基本函数复合得到的，它们的单调性如何，根据“同增异减”来判断复合函数的单调性。此函数是由指数函数及二次函数复合而成的函数，因此可以通过逐层讨论它的单调性，综合得结果。答案：函数的定义域为r，令，则。，在上是减函数，在上是增函数，在其定义域内是减函数，在上是增函数，在上是减函数，又，据指数函数的图象可知f（x）。例题3 利用函数f（x）2x的图象，作出下列各函数的图象。（1）f（x1）；（2）f（|x|）；（3）f（x）1；（4）f（x）；（5）|f（x）1|；（6）f（x）。思路导航：此题考查函数图象的平移变换和对称变换，平移变换记住“左加右减，上加下减”的变换规则，对称变换需注意在x上加绝对值和在f（x）上加绝对值后，图象怎么变换。答案：（1）将y2x的图象右移一个单位（2）将函数y2x的图象在y轴左侧的部分去掉，然后将右侧部分作关于y轴对称的图形即得。（3）将y2x的图象下移一个单位。（4）作y2x的图象关于x轴对称的图形。（5）将y2x的图象先向下平移一个单位，再将x轴下方图象翻折到x轴上方。（6）将y2x的图象作关于y轴对称的图象。【总结提升】1. 对于y这类函数，（1）定义域是指只要使f（x）有意义的x的取值范围； （2）值域问题，应分以下两步求解：由定义域求出uf（x）的值域；利用指数函数yau的单调性求得此函数的值域。2. 复合函数y，xd的单调性：设集合md，若a1，且uf（x）在xm上单调递增（减），集合m对应的区间是函数y的增（减）区间；若0a1，且uf（x）在xm上单调递增（减），集合m对应的区间是函数y的减（增）区间。函数的综合应用1. 函数ya|x|（0a1）的图象是（）2. 函数ylog2的图象（）a. 关于原点对称 b. 关于直线yx对称c. 关于y轴对称 d. 关于直线yx对称3. 函数f（x）|log2x|的图象是（）4. 若yloga（2ax）在x0，1 上是减函数，则a的取值范围是（）a. （0，1） b. （1，2）c. （0，2） d. （1，）5. 函数f（x）log（x22x）的单调递减区间是_。6. 函数y1loga（x1）（a0，a1），无论a取何值时，函数图象恒过一定点，此定点为_。7. 对于函数f（x）的定义域中任意的x1、x2（x1x2），有如下结论：f（x1x2）f（x1）f（x2）；f（x1x2）f（x1）f（x2）；0；0当f（x）10x时，上述结论中正确的是_。8. 设函数f（x）（1）证明函数f（x）是奇函数；（2）证明函数f（x）在（，）内是增函数。9. 已知函数y（log2x2）（log4x），2x8。（1）令tlog2x，求y关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；（2）求该函数的值域。函数的综合应用1. c 解析：y，0a0在x0，1 上恒成立，又a0，所以x1，a2。当0a1。综上可知，1a2，故选b。5.（2，） 解析：ylogt，tx22x.由于t0，x2或x0，故其单调递减区间为（2，）。6.（2，1） 解析：当x2时，y1loga11，过定点（2，1）。7. 解析：因为f（x）10x，且x1x2，所以f（x1x2）10x1x210x110x2f（x1）f（x2），所以正确；因为f（x1x2）10x1x210x110x2f（x1）f（x2），不正确；因为f（x）10x是增函数，所以f（x1）f（x2）与x1x2同号，所以0，所以正确，不正确。8.（1）证明：由题意，得xr，即函数的定义域关于原点对称，f（x）f（x），函数f（x）为奇函数。（2）证明：设x1，x2是（，）内任意两实数，且x1x2，则f（x1）f（x2）x1x2，2x12x20，f（x1）f（x2）0，函数f（x）在（，）内是增函数。9. 解析：（1）y（log2x2）（log4x）（log2x2）