北师大版选修11 第四章 导数应用 章末复习 课件（47张）.pptx

章末复习 第四章导数应用 学习目标1 掌握利用导数判断函数单调性的方法 会用导数求函数的极值和最值 2 会用导数解决一些简单的实际应用问题 知识梳理 达标检测 题型探究 内容索引 知识梳理 1 函数的单调性 极值与导数 1 函数的单调性与导数在某个区间 a b 内 如果 那么函数y f x 在这个区间内是增加的 如果 那么函数y f x 在这个区间内是减少的 2 函数的极值与导数 极大值 在点x a附近 满足f a f x 当xa时 则点a叫作函数的极大值点 f a 叫作函数的极大值 极小值 在点x a附近 满足f a f x 当xa时 则点a叫作函数的极小值点 f a 叫作函数的极小值 f x 0 f x 0 f x 0 f x 0 f x 0 f x 0 2 求函数y f x 在 a b 上的最大值与最小值的步骤 1 求函数y f x 在 a b 内的 2 将函数y f x 的各极值与比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 极值 端点处函数值f a f b 题型探究 类型一导数中的数形结合思想 例1已知函数y xf x 的图像如图所示 其中f x 是函数f x 的导函数 则y f x 的图像大致是 解析 答案 解析当00 f x 0 故y f x 在 1 2 上是增加的 因此排除d 反思与感悟研究一个函数的图像与其导函数图像之间的关系时 注意抓住各自的关键要素 对于原函数 要重点考查其图像在哪个区间内是增加的 在哪个区间内是减少的 而对于导函数 则应考查其函数值在哪个区间内大于零 在哪个区间内小于零 并考查这些区间与原函数的单调区间是否一致 跟踪训练1函数f x lnx x2的大致图像是 解析 答案 又因为x 0 所以 1 x 1 x 0 所以01 于是当01时 函数f x 是减少的 类型二构造函数求解 命题角度1比较函数值的大小 解析 a a c bb b c ac a b cd c a b 答案 解析令g x xf x 则g x x f x xf x g x 是偶函数 g x f x xf x 当x 0时 xf x f x 0 g x 在 0 上是减少的 g x 是偶函数 故选b 反思与感悟 构造法 是一种重要而灵活的思维方式 应用构造函数法比较大小时 先构造函数 再根据函数单调性比较大小 跟踪训练2设f x g x 是定义在r上的恒大于0的可导函数 且f x g x f x g x f b g b b f x g a f a g x c f x g b f b g x d f x g x f a g a f x g b f b g x 解析 答案 命题角度2求解不等式例3定义域为r的可导函数y f x 的导函数f x 满足f x 2ex的解集为a 0 b 2 c 0 d 2 f x 0 即函数g x 在定义域内是增加的 f 0 2 g 0 f 0 2 则不等式等价于g x g 0 函数g x 在定义域内是增加的 x 0 即不等式的解集为 0 故选c 解析 答案 反思与感悟应用构造法解决不等式时 先根据所求结论与已知条件 构造函数 通过导函数判断函数的单调性 再利用单调性得到x的取值范围 解析令g x f x 2x 4 f x 2 则g x f x 2 0 又由g 1 f 1 2 1 4 0 得g x 0 即g x g 1 的解为x 1 f x 2x 4的解集为 1 跟踪训练3函数f x 的定义域为r f 1 2 对任意x r f x 2 则f x 2x 4的解集为a 1 1 b 1 c 1 d 解析 答案 类型三利用导数研究函数的极值与最值 例4已知函数f x x3 ax2 b的图像上一点p 1 0 且在点p处的切线与直线3x y 0平行 1 求函数f x 的解析式 解答 解因为f x 3x2 2ax 曲线在点p 1 0 处的切线斜率为f 1 3 2a 即3 2a 3 a 3 又函数过 1 0 点 即 2 b 0 b 2 所以a 3 b 2 f x x3 3x2 2 2 求函数f x 在区间 0 t 0 t 3 上的最大值和最小值 解答 解由f x x3 3x2 2 得f x 3x2 6x 由f x 0 得x 0或x 2 当0 t 2时 在区间 0 t 上 f x 0 f x 在 0 t 上是减少的 所以f x max f 0 2 f x min f t t3 3t2 2 当2 t 3时 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 f x min f 2 2 f x max为f 0 与f t 中较大的一个 因为f t f 0 t3 3t2 t2 t 3 0 所以f x max f 0 2 3 在 1 的结论下 关于x的方程f x c在区间 1 3 上恰有两个相异的实根 求实数c的取值范围 解答 解令g x f x c x3 3x2 2 c 则g x 3x2 6x 3x x 2 当x 1 2 时 g x 0 要使g x 0在 1 3 上恰有两个相异的实根 即实数c的取值范围为 2 0 反思与感悟1 求极值时一般需要确定f x 0的点和单调性 对于常见连续函数 先确定单调性即可得极值点 当连续函数的极值点只有一个时 相应的极值点必为函数的最值点 2 求闭区间上可导函数的最值时 对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断 只需要直接与端点的函数值比较即可获得 跟踪训练4已知函数f x ax3 a 1 x2 48 a 2 x b的图像关于原点成中心对称 1 求a b的值 解答 解 函数f x 的图像关于原点成中心对称 则f x 是奇函数 f x f x 即 ax3 a 1 x2 48 a 2 x b ax3 a 1 x2 48 a 2 x b 于是2 a 1 x2 2b 0恒成立 2 求f x 的单调区间及极值 解答 解由 1 得f x x3 48x f x 3x2 48 3 x 4 x 4 令f x 0 得x1 4 x2 4 令f x 0 得x4 f x 的递减区间为 4 4 递增区间为 4 和 4 f x 极大值 f 4 128 f x 极小值 f 4 128 3 当x 1 5 时 求函数的最值 解答 解由 2 知 函数在 1 4 上是减少的 在 4 5 上是增加的 f 4 128 f 1 47 f 5 115 函数的最大值为 47 最小值为 128 类型四导数的综合应用 例5已知函数f x x3 ax 1 1 若f x 在r上是增加的 求a的取值范围 解答 解f x 3x2 a 因为f x 在r上是增加的 所以f x 0在r上恒成立 即3x2 a 0在r上恒成立 即a 3x2 而3x2 0 所以a 0 当a 0时 f x x3 1在r上是增加的 符合题意 所以a的取值范围是 0 2 是否存在实数a 使f x 在 1 1 上是减少的 若存在 求出a的取值范围 若不存在 请说明理由 解答 解假设存在实数a 使f x 在 1 1 上是减少的 则f x 0在 1 1 上恒成立 即3x2 a 0在 1 1 上恒成立 即a 3x2 又因为在 1 1 上 0 3x2 3 所以a 3 当a 3时 f x 3x2 3 在 1 1 上 f x 0 所以f x 在 1 1 上是减少的 即a 3符合题意 所以存在实数a 使f x 在 1 1 上是减少的 且a的取值范围是 3 反思与感悟在已知函数f x 是增函数 或减函数 求参数的取值范围时 应令f x 0 或f x 0 恒成立 解出参数的取值范围 一般可用不等式恒成立理论求解 然后检验参数的取值能否使f x 恒等于0 若能恒等于0 则参数的这个值应舍去 若f x 不能恒等于0 则由f x 0 或f x 0 恒成立解出的参数的取值范围来确定 解答 解f x 12x2 a a 3 解答 a 12x2 min 0 当a 0时 f x 12x2 0恒成立 只有x 0时f x 0 a 0符合题意 a 12x2 max 3 综上 a的取值范围为 0 3 达标检测 答案 解析 1 2 3 4 5 解析由题意可知f 0 0 f 1 0 f 2 0 可得1 b c 0 8 4b 2c 0 解得b 3 c 2 所以函数的解析式为f x x3 3x2 2x f x 3x2 6x 2 1 2 3 4 5 2 已知f x 是定义在 0 上的非负可导函数 且满足xf x f x 0 对任意的正数a b 若a b 则必有a bf b af a b bf a af b c af a bf b d af b bf a 答案 解析 1 2 3 4 5 解析设g x xf x x 0 则g x xf x f x 0 g x 在区间 0 上是减少的或g x 为常函数 a b g a g b 即af a bf b 故选a 3 用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架 要求长方体的长与宽之比为2 1 则该长方体的最大体积为a 2m3b 3m3c 4m3d 5m3 1 2 3 4 5 解析 答案 解析设长方体的宽为xm 1 2 3 4 5 从而v x 18x 18x2 18x 1 x 令v x 0 解得x 1或x 0 舍去 故在x 1处v x 取得极大值 并且这个极大值就是v x 的最大值 从而最大体积v v 1 9 12 6 13 3 m3 1 2 3 4 5 答案 解析 1 2 3 4 5 4 若函数y x3 ax有三个单调区间 则a的取值范围是 0 解析由题意知 y 4x2 a的图