北师大版选修11 第四章 导数的应用 章末复习 学案.docx

章末复习学习目标1.掌握利用导数判断函数单调性的方法，会用导数求函数的极值和最值.2.会用导数解决一些简单的实际应用问题1函数的单调性、极值与导数(1)函数的单调性与导数在某个区间(a，b)内，如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内是增加的；如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内是减少的(2)函数的极值与导数极大值：在点xa附近，满足f(a)f(x)，当x0，当xa时，f(x)0，则点a叫作函数的极大值点，f(a)叫作函数的极大值；极小值：在点xa附近，满足f(a)f(x)，当xa时，f(x)a时，f(x)0，则点a叫作函数的极小值点，f(a)叫作函数的极小值2求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤(1)求函数yf(x)在(a，b)内的极值(2)将函数yf(x)的各极值与端点处函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值类型一导数中的数形结合思想例1已知函数yxf(x)的图像如图所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，则yf(x)的图像大致是()考点数形结合思想在导数中的应用题点数形结合思想在导数中的应用答案c解析当0x1时，xf(x)0，f(x)0，故yf(x)在(0,1)上是减少的，排除a，b选项当1x0，f(x)0，故yf(x)在(1,2)上是增加的，因此排除d.反思与感悟研究一个函数的图像与其导函数图像之间的关系时，注意抓住各自的关键要素对于原函数，要重点考查其图像在哪个区间内是增加的，在哪个区间内是减少的；而对于导函数，则应考查其函数值在哪个区间内大于零，在哪个区间内小于零，并考查这些区间与原函数的单调区间是否一致跟踪训练1函数f(x)ln xx2的大致图像是()考点数形结合思想在导数中的应用题点数形结合思想在导数中的应用答案b解析函数f(x)ln xx2的定义域为(0，)，f(x)x.令f(x)0，得0.又因为x0，所以(1x)(1x)0，所以0x1.同理，令f(x)1.于是当0x1时，函数f(x)是减少的；当x1时，f(x)0.结合以上特征可知应选b.类型二构造函数求解命题角度1比较函数值的大小例2已知定义域为r的奇函数yf(x)的导函数为yf(x)，当x0时，f(x)0，若af ，bf ，cf ，则a，b，c的大小关系正确的是()aacb bbcacabc dcab考点利用导数研究函数的单调性题点比较函数值的大小答案b解析令g(x)xf(x)，则g(x)(x)f(x)xf(x)，g(x)是偶函数g(x)f(x)xf(x)，f(x)0时，xf(x)f(x)0，当x0.g(x)在(0，)上是减少的ln 21，g()g(ln 2)g.g(x)是偶函数，g()g()，gg(ln 2)，g()gg.故选b.反思与感悟“构造法”是一种重要而灵活的思维方式，应用构造函数法比较大小时，先构造函数，再根据函数单调性比较大小跟踪训练2设f(x)，g(x)是定义在r上的恒大于0的可导函数，且f(x)g(x)f(x)g(x)0，则当axf(b)g(b)bf(x)g(a)f(a)g(x)cf(x)g(b)f(b)g(x)df(x)g(x)f(a)g(a)考点利用导数研究函数的单调性题点比较函数值的大小答案c解析由条件，得0，在(a，b)上是减少的f(b)g(x)命题角度2求解不等式例3定义域为r的可导函数yf(x)的导函数f(x)，满足f(x)2ex的解集为()a(，0) b(，2)c(0，) d(2，)考点利用导数研究函数的单调性题点求解不等式答案c解析设g(x)，则g(x).f(x)0，即函数g(x)在定义域内是增加的f(0)2，g(0)f(0)2，则不等式等价于g(x)g(0)函数g(x)在定义域内是增加的，x0，即不等式的解集为(0，)，故选c.反思与感悟应用构造法解决不等式时，先根据所求结论与已知条件，构造函数，通过导函数判断函数的单调性，再利用单调性得到x的取值范围跟踪训练3函数f(x)的定义域为r，f(1)2，对任意xr，f(x)2，则f(x)2x4的解集为()a(1,1) b(1，)c(，1) d(，)考点利用导数研究函数的单调性题点求解不等式答案b解析令g(x)f(x)2x4，f(x)2，则g(x)f(x)20.又由g(1)f(1)2(1)40，得g(x)0，即g(x)g(1)的解为x1，f(x)2x4的解集为(1，)类型三利用导数研究函数的极值与最值例4已知函数f(x)x3ax2b的图像上一点p(1,0)，且在点p处的切线与直线3xy0平行(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在区间0，t(0t3)上的最大值和最小值；(3)在(1)的结论下，关于x的方程f(x)c在区间1,3上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围考点利用导数研究函数的极值与最值题点利用导数研究函数的极值与最值解(1)因为f(x)3x22ax，曲线在点p(1,0)处的切线斜率为f(1)32a，即32a3，a3.又函数过(1,0)点，即2b0，b2.所以a3，b2，f(x)x33x22.(2)由f(x)x33x22，得f(x)3x26x.由f(x)0，得x0或x2.当0t2时，在区间(0，t)上，f(x)0，f(x)在0，t上是减少的，所以f(x)maxf(0)2，f(x)minf(t)t33t22.当2t3时，当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：x0(0,2)2(2，t)tf(x)00f(x)22t33t22f(x)minf(2)2，f(x)max为f(0)与f(t)中较大的一个因为f(t)f(0)t33t2t2(t3)0，所以f(x)maxf(0)2.(3)令g(x)f(x)cx33x22c，则g(x)3x26x3x(x2)当x1,2)时，g(x)0.要使g(x)0在1,3上恰有两个相异的实根，则解得2c0.即实数c的取值范围为(2,0反思与感悟1.求极值时一般需要确定f(x)0的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点2求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得跟踪训练4已知函数f(x)ax3(a1)x248(a2)xb的图像关于原点成中心对称(1)求a，b的值；(2)求f(x)的单调区间及极值；(3)当x1,5时，求函数的最值考点利用导数研究函数的极值与最值题点利用导数研究函数的极值与最值解(1)函数f(x)的图像关于原点成中心对称，则f(x)是奇函数，f(x)f(x)，即ax3(a1)x248(a2)xbax3(a1)x248(a2)xb，于是2(a1)x22b0恒成立，解得a1，b0.(2)由(1)得f(x)x348x，f(x)3x2483(x4)(x4)，令f(x)0，得x14，x24.令f(x)0，得4x0，得x4.f(x)的递减区间为(4,4)，递增区间为(，4)和(4，)f(x)极大值f(4)128，f(x)极小值f(4)128.(3)由(2)知，函数在1,4上是减少的，在4,5上是增加的，f(4)128，f(1)47，f(5)115，函数的最大值为47，最小值为128.类型四导数的综合应用例5已知函数f(x)x3ax1.(1)若f(x)在r上是增加的，求a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(1,1)上是减少的，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由考点利用函数的单调性求变量题点已知函数的单调性求参数解(1)f(x)3x2a，因为f(x)在r上是增加的，所以f(x)0在r上恒成立，即3x2a0在r上恒成立即a3x2，而3x20，所以a0.当a0时，f(x)x31在r上是增加的，符合题意所以a的取值范围是(，0(2)假设存在实数a，使f(x)在(1,1)上是减少的，则f(x)0在(1,1)上恒成立，即3x2a0在(1,1)上恒成立，即a3x2，又因为在(1,1)上，03x23，所以a3.当a3时，f(x)3x23，在(1,1)上，f(x)0，所以f(x)在(1,1)上是减少的，即a3符合题意，所以存在实数a，使f(x)在(1,1)上是减少的，且a的取值范围是3，)反思与感悟在已知函数f(x)是增函数(或减函数)求参数的取值范围时，应令f(x)0(或f(x)0)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立理论求解)，然后检验参数的取值能否使f(x)恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去；若f(x)不能恒等于0，则由f(x)0(或f(x)0)恒成立解出的参数的取值范围来确定跟踪训练5(1)若函数f(x)4x3ax3的递减区间是，求实数a的值；(2)若函数f(x)4x3ax3在上是单调函数，求实数a的取值范围考点利用函数的单调性求变量题点已知函数的单调性求参数解(1)f(x)12x2a，f(x)的递减区间为，x为f(x)0的两个根，a3.(2)若f(x)在上是增加的，则f(x)0在上恒成立，即12x2a0在上恒成立，a12x2在上恒成立，a(12x2)min0.当a0时，f(x)12x20恒成立(只有x0时f(x)0)a0符合题意若f(x)在上是减少的，则f(x)0在上恒成立，即12x2a0在上恒成立，a12x2在上恒成立，a(12x2)max3.当a3时，f(x)12x233(4x21)0恒成立(只有x时f(x)0)综上，a的取值范围为(，03，).1已知函数f(x)x3bx2cx的图像如图所示，则xx等于()a. b.c. d.考点函数极值的应用题点函数极值在图像上的应用答案c解析由题意可知f(0)0，f(1)0，f(2)0，可得1bc0,84b2c0，解得b3，c2，所以函数的解析式为f(x)x33x22x.f(x)3x26x2，令3x26x20，可得x1x22，x1x2，所以xx(x1x2)22x1x242.2已知f(x)是定义在(0，)上的非负可导函数，且满足xf(x)f(x)0，对任意的正数a，b，若ab，则必有()abf(b)af(a) bbf(a)af(b)caf(a)bf(b) daf(b)bf(a)考点利用导数研究函数的单调性题点比较函数值的大小答案a解析设g(x)xf(x)，x(0，)，则g(x)xf(x)f(x)0，g(x)在区间(0，)上是减少的或g(x)为常函数ab，g(a)g(b)，即af(a)bf(b)故选a.3用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为21，则该长方体的最大体积为()a2 m3 b3 m3c4 m3 d5 m3考点几何类型的优化问题题点几何体体积的最值问题答案b解析设长方体的宽为x m，则长为2x m，高为h3x(m)，故长方体的体积为v(x)2x29x26x3，从而v(x)18x18x218x(1x)，令v(x)0，解得x1或x0(舍去)当0x0；当1x时，v(x)0，a0.5已知函数f(x)在(2，)内是减少的，则实数a的取值范围为_考点利用函数的单调性求变量题点已知函数的单调性求参数答案解析因为f(x)，所以f(x).由函数f(x)在(2，)内是减少的，知f(x)0在(2，)内恒成立，即0在(2，)内恒成立，因此a.当a时，f(x)，此时函数f(x)为常函数，故a不符合题意，舍去故实数a的取值范围为.导数作为一种重要的工具，在研究函数中具有重要的作用，例如函数的单调性、极值与最值等问题，都可以通过导数得以解决不但如此，利用导数研究得到函数的性质后，还可以进一步研究方程、不等式等诸多代数问题，所以一定要熟练掌握利用导数来研究函数的各种方法一、选择题1已知函数f(x)ln x，则有()af(2)f(e)f(3) bf(e)f(2)f(3)cf(3)f(e)f(2) df(e)f(3)0在(0，)上恒成立，f(x)在(0，)上是增加的，f(2)f(e)f(3)2函数yx42x25的递减区间为()a(，1)，(0,1)b(1,0)，(1，)c(1,1)d(，1)，(1，)答案a解析y4x34x4x(x21)，令y0得x的范围为(，1)，(0,1)，故选a.3已知函数f(x)sin xcos x，f(x)是f(x)的导函数，则函数f(x)f(x)f(x)f2(x)的最大值是()a1 b.c1 d3考点基本初等函数的导数公式题点正弦、余弦函数的导数答案a解析由题意，得f(x)cos xsin x，所以f(x)cos 2x1sin 2xsin1，所以f(x)的最大值是1.4如果函数f(x)x3a2x满足：对于任意x1，x20,1，都有|f(x1)f(x2)|1恒成立，则实数a的取值范围是()a.b.c.d.答案a解析对于任意的x1，x20,1都有|f(x1)f(x2)|1恒成立，只需f(x)maxf(x)min1即可f(x)x2a2(xa)(xa)，当|a|1时，f(x)0，函数f(x)x3a2x在0,1上是减少的，当|a|0)的导数f(x)的最大值为5，则在函数f(x)图像上的点(1，f(1)处的切线方程是()a3x15y40 b15x3y20c15x3y20 d3xy10考点切线方程求解及应用题点求曲线的切线方程答案b解析f(x)2x24ax32(xa)232a2，f(x)max32a25，又a0，a1.f(x)2x24x3，f(1)2435，又f(1)23，所求切线方程为y5(x1)即15x3y20.6定义在r上的函数f(x)满足f(1)1，且对任意xr，都有f(x)的解集为()a(1,2) b(，1)c(1，) d(1,1)考点利用导数研究函数的单调性题点求解不等式答案b解析f(x)，f(x)0.设h(x)f(x)x，则h(x)f(x)，即为f(x)x，即h(x)h(1)，得x0，yx3x2xa在r上是增加的，故x3x2xa0有1个实数根二、填空题9函数yx3x25x5的递增区间是_考点利用导数研究函数的单调性题点根据导数判定函数的单调性答案，(1，)解析令y3x22x50，得x1.10设函数f(x)ax33x1(xr)，若对于任意的x(0,1都有f(x)0成立，则实数a的取值范围为_考点函数最值的应用题点恒成立中参数的取值范围答案4，)解析x(0,1，f(x)0可化为a.令g(x)，则g(x)，令g(x)0，得x.当0x0；当x1时，g(x)0的解集是x|0x02xx200x2，所以正确由f(x)(2xx2)ex，得f(x)(2x2)ex，令f(x)0，得到x1，x2，因为在(，)和(，)上f