北师大版选修11 第三章 §3　计算导数 学案.docx

3计算导数学习目标1.会求函数在一点处的导数.2.理解导函数的概念并能求一些简单函数的导函数知识点一导函数思考对于函数f(x)，如何求f(1)，f(x)？f(x)与f(1)有何关系？答案f(1) .f(x) .f(1)可以认为把x1代入导数f(x)得到的值梳理如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f(x)，f(x) ，则f(x)是关于x的函数，称f(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数.区别联系f(x0)f(x0)是具体的值，是数值在xx0处的导数f(x0)是导函数f(x)在xx0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值f(x)f(x)是f(x)在某区间i上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数知识点二导数公式表函数导函数yc(c是常数)y0yx (为实数)yx1yax (a0，a1)yaxln ayexyexylogax(a0，a1)yyln xyysin xycos xycos xysin xytan xyycot xy1函数f(x)与f(x)的定义域相同()2求f(x0)时，可先计算出f(x0)，再对f(x0)求导()3求f(x0)时，可先求出f(x)，再求f(x)在xx0处的函数值()类型一利用导函数求某点处的导数例1求函数f(x)x23x的导函数f(x)，并利用f(x)求f(3)，f(1)考点导函数题点利用导函数求某点处的导数解f(x) (x2x3)2x3，即f(x)2x3，f(3)2333，f(1)2(1)35.反思与感悟f(x0)是f(x)在xx0处的函数值计算f(x0)可以直接使用定义，也可以先求f(x)，然后求f(x)在xx0处的函数值f(x0)跟踪训练1求函数yf(x)5的导函数f(x)，并利用f(x)，求f(2)考点导函数题点利用导函数求某点处的导数解yf(xx)f(x)5，f(x) .f(2).类型二导数公式表的应用例2求下列函数的导数(1)ysin ；(2)yx；(3)ylog3x；(4)y；(5)y5x.考点基本初等函数的导数公式题点基本初等函数导数公式的应用解(1)y0.(2)因为yx，所以(3)y(log3x).(4)因为ytan x，所以y(tan x).(5)y(5x)5xln 5.反思与感悟 对于教材中出现的8个基本初等函数的导数公式，要想在解题过程中应用自如，必须做到以下两点：一是正确理解，如sin是常数，而常数的导数一定为零，就不会出现cos这样的错误结果二是准确记忆，灵活变形如根式、分式可先转化为指数式，再利用公式求导跟踪训练2求下列函数的导数(1)y(1)；(2)yx13；考点基本初等函数的导数公式题点基本初等函数导数公式的应用解(1)y(1)，(2)y(x13)13x13113x12.类型三导数公式的综合应用命题角度1利用导数公式求解切线问题例3已知点p(1,1)，点q(2,4)是曲线yx2上两点，是否存在与直线pq垂直的切线，若有，求出切线方程，若没有，说明理由考点基本初等函数的导数公式题意利用导数公式求解切线问题解因为y(x2)2x，假设存在与直线pq垂直的切线设切点为(x0，y0)，由pq的斜率为k1，而切线与pq垂直，所以2x01，即x0.所以切点为(，)所以所求切线方程为y(1)(x)，即4x4y10.引申探究若本例条件不变，求与直线pq平行的曲线yx2的切线方程解因为y(x2)2x，设切点为m(x0，y0)，由pq的斜率为k1，而切线平行于pq，所以2x01，即x0.所以切点为m.所以所求切线方程为yx，即4x4y10.反思与感悟解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用(1)切点处的导数是切线的斜率(2)切点在切线上(3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决跟踪训练3(1)若直线l过点a(0，1)且与曲线yx3切于点b，求b点坐标(2)若直线l与曲线yx3在第一象限相切于某点，切线的斜率为3，求直线l与坐标轴围成的三角形面积解(1)y3x2，设b(x0，x)(x00)，则切线斜率k3x.又直线l过点(0，1)，k.3x，2x1，x0，x，b.(2)设切点为(x0，x)(x00)，则该切线斜率为3x，3x3，x01，则切点为(1,1)直线l的方程为y13(x1)直线l与坐标轴的交点分别为(0，2)，直线l与坐标轴围成的三角形面积s|2|.命题角度2利用导数公式求解参数问题例4已知直线ykx是曲线yln x的切线，则k的值等于()ae bec. d考点基本初等函数的导数公式题点利用导数公式求解切线问题答案c解析y(ln x).设切点坐标为(x0，y0)，则切线方程为yy0(xx0)，即yln x01.直线ykx过原点，ln x010，得x0e，k.反思与感悟解决利用导数公式求解参数问题的关键是设出切点，根据导数的几何意义表示出切线的斜率进一步写出切线方程跟踪训练4已知函数f(x)，g(x)aln x，ar，若曲线yf(x)与曲线yg(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值考点基本初等函数的导数公式题点利用导数公式求解切线问题解设两曲线的交点为(x0，y0)，由题意知，f(x0)g(x0)，即即点(x0，y0)为两曲线的交点，aln x0，由可得x0e2，将x0e2代入得a.1下列结论：(sin x)cos x；(ln x).其中正确的有()a0个 b1个 c2个 d3个考点基本初等函数的导数公式题点基本初等函数的导数公式的应用答案c解析错误，故选c.2函数f(x)，则f(3)等于( )a. b0c. d.答案a解析f(x)()，f(3).3设函数f(x)logax，f(1)1，则a .考点基本初等函数的导数公式题点指数函数、对数函数的导数答案解析f(x)，又f(1)1，a.4在曲线y上一点p处的切线的斜率为4，则点p的坐标为 考点基本初等函数的导数公式题点利用导数公式求解切线问题答案或解析设p(x0，y0)，y，则4，得x0.当x0时，y02.当x0时，y02，点p的坐标为或.5曲线yex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 考点基本初等函数的导数公式题点利用导数公式求解切线问题答案e2解析y(ex)ex，ke2，曲线在点(2，e2)处的切线方程为ye2e2(x2)，即ye2xe2.当x0时，ye2，当y0时，x1.s1|e2|e2.1利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想与化归2有些函数可先化简再求导如求y12sin2的导数因为y12sin2cos x，所以y(cos x)sin x.3对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化一、选择题1下列结论中正确的个数为()yln 2，则y；yf(x)，则f(3)；y2x，则y2xln 2；ylog2x，则y.a0 b1 c2 d3考点基本初等函数的导数公式题点基本初等函数的导数公式的应用答案d解析中yln 2为常数，所以y0.错2已知f(x)，则f等于()a25 bc. d25考点几个常用函数的导数题点几个常用函数导数的应用答案b解析因为f(x)，所以f(x).故f25，ff(25).3下列函数中，导函数是奇函数的是()aysin x byexcyln x dycos x考点基本初等函数的导数公式题点正弦、余弦函数的导数答案d解析a中，ycos x；b中，yex；c中，y；d中，ysin x.4若f(x)x3，f(x0)3，则x0的值是()a1 b1c1 d3考点基本初等函数的导数公式题点常数、幂函数的导数答案c解析f(x0)3x3，x01.5设曲线yax2在点(2,4a)处的切线与直线4xy40垂直，则a等于()a b.c d.考点基本初等函数的导数公式题点利用导数公式求解切线问题答案c解析由题意知切线的斜率是，y2ax，4a，得a.6已知直线ykx是曲线yex的切线，则实数k的值为()a. bce de答案d解析yex，设切点为(x0，y0)，则x0，x01，ke.7设正弦曲线ysin x上一点p，以点p为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是()a. b0，)c. d.答案a解析(sin x)cos x，klcos x，1kl1，l.8设f0(x)sin x，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)，fn1(x)fn(x)，nn，则f2 018(x)等于()asin x bsin xccos x dcos x考点基本初等函数的导数公式题点正弦余弦函数的导数答案b解析f1(x)f0(x)(sin x)cos x，f2(x)f1(x)(cos x)sin x，f3(x)f2(x)(sin x)cos x，f4(x)(cos x)sin x，f5(x)(sin x)f1(x)，f6(x)f2(x)，fn4(x)fn(x)，可知周期为4，f2 018(x)f50442(x)sin x.二、填空题9已知f(x)，g(x)mx且g(2)，则m .考点几个常用函数的导数题点几个常用函数导数的应用答案4解析f(x)，g(x)m，f(2)，又g(2)，m4.10设曲线yex在点(0,1)处的切线与曲线y(x0)上点p处的切线垂直，则p的坐标为 考点基本初等函数的导数公式题点利用导数公式求解切线问题答案(1,1)解析因为yex，所以曲线yex在点(0,1)处的切线的斜率k1e01.设p(m，n)，y(x0)的导数为y (x0)，曲线y (x0)在点p处的切线斜率k2 (m0)因为两切线垂直，所以k1k21，所以m1，n1，点p的坐标为(1,1)11已知f(x)cos x，g(x)x，则关于x的不等式f(x)g(x)0的解集为 考点基本初等函数的导数公式题点基本初等函数导数公式的应用答案解析f(x)sin x，g(x)1，由f(x)g(x)0，得sin x10，即sin x1，则sin x1，解得x2k，kz，其解集为.三、解答题12已知曲线y5(x0)，求：(1)曲线上与直线y2x4平行的切线方程；(2)过点p(0,5)，且与曲线相切的切线方程考点基本初等函数的导数公式题点利用导数公式求解切线问题解(1)设切点为(x0，y0)，由y5，得曲线在xx0处的切线的斜率k .因为切线与直线y2x4平行，所以2，解得x0，所以y0.故所求切线方程为y2，即16x8y250.(2)因为点p(0,5)不在曲线y5上，所以设切点坐标为m(x1，y1)，则切线斜率为(x10)，又因为切线斜率为，所以，解得x14(x10舍去)所以切点为m(4,10)，斜率为，故切线方程为y10(x4)，即5x4y200.13点p是曲线yex上任意一点，求点p到直线yx的最小距离考点基本初等函数的导数公式题点利用导数公式求解切线问题解如图，当曲线yex在点p(x0，y0)处的切线与直线yx平行时，点p到直线yx的距离最近则曲线yex在点p(x0，y0)处的切线斜率为1，又y(ex)ex，所以1，得x00，代入yex，得y01，即p(0,1)利用点到直线的距离公式得最小距离为.四、探究与拓展14设函数f(x)在(0，)内可导，且f