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抛物线及其标准方程 在平面内 与一个定点f和一条定直线l l不经过点f 的距离相等的点的轨迹叫抛物线 点f叫抛物线的焦点 直线l叫抛物线的准线 mf d d为m到l的距离 准线 焦点 d 抛物线的定义 解法一 以为轴 过点垂直于的直线为轴建立直角坐标系 如下图所示 则定点设动点点 由抛物线定义得 化简得 标准方程的推导 解法二 以定点为原点 过点垂直于的直线为轴建立直角坐标系 如下图所示 则定点 的方程为 设动点 由抛物线定义得 化简得 标准方程的推导 l 解法三 以过f且垂直于l的直线为x轴 垂足为k 以f k的中点o为坐标原点建立直角坐标系xoy 两边平方 整理得 m x y f 标准方程的推导 依题意得 这就是所求的轨迹方程 一般地 我们把顶点在原点 焦点f在坐标轴上的抛物线的方程叫做抛物线的标准方程 但是 一条抛物线 由于它在坐标平面内的位置不同 方程也不同 所以抛物线的标准方程还有其它形式 方程y2 2px p 0 表示的抛物线 其焦点f位于x轴的正半轴上 其准线交于x轴的负半轴 抛物线的标准方程 其中p为正常数 它的几何意义是 焦点到准线的距离 焦准距 y2 2p p 0 y2 2p p 0 2 2py p 0 2 2py p 0 x2 2py x2 2py y2 2px y2 2px y2 2px p 0 x2 2py p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 p的意义 抛物线的焦点到准线的距离 方程的特点 1 左边是二次式 2 右边是一次式 决定了焦点的位置 四种抛物线的对比 怎样把抛物线的位置特征 标准位置 和方程特征 标准方程 统一起来 抛物线的标准方程 结论 1 一次项 x或y 定焦点2 一次项系数正负定开口 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程 1 y2 6x 2 y2 6x 3 y 6x2 注 求抛物线的焦点一定要先把抛物线化为标准形式后定焦点 开口及准线 二次函数的图像为什么是抛物线 当a 0时与当a 0时 结论都为 反思研究 已知抛物线的标准方程求其焦点坐标和准线方程 先定位 后定量p p 0 例21 已知抛物线的焦点是f 0 2 求它的标准方程2 已知抛物线焦点在x轴上 焦准距为2 求它的标准方程3 已知抛物线的焦准距为2 求它的标准方程 4 若抛物线的准线方程是 求它的标准方程 例3 求以原点为顶点 坐标轴为对称轴且过点a 3 2 的抛物线的标准方程 例3 求焦点在直线2x 3y 6 0上的抛物线的标准方程 抛物线方程 左右型 标准方程为y2 2px p 0 开口向右 y2 2px x 0 开口向左 y2 2px
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