高三数学函数例题与答案第一讲.doc

函数的定义域、值域和最值一、定义域求法 求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算可以施行为准则列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集 (1)函数f(x)的定义域为_解析：(1)由(2x4)0知2x40，即x2，又由|x|30知x3.所以函数定义域为(，3)(3，2)(2,3)(3，) (2)设f(x)lg，则f()f()的定义域为_解析：由0，得f(x)的定义域为2x2.故解得x(4，1)(1,4)故f()f()的定义域为(4，1)(1,4)（3） 函数y的定义域为_解析：由题意得：6x0且x1.其定义域为x|6x0，且x1二、函数值域和最值的求法 (1)熟悉求函数值域的几种基本方法，遇到求值域的问题应优先考虑采用特殊方法，如不等式法、配方法、几何法、换元法等(2)求函数的最值和求函数值域的常用方法是相同的，事实上，如果在函数的值域中存在一个最大(小)数，这个数就是函数的最大(小)值，因此求函数的最值与值域，其实质是相同的 求下列函数的值域(1)y；(2)y2x；(3)y；(4)y；(5)yx.【解】(1)由已知得3x，3x0，0，0y1.函数值域为(0,1)(2)设t，则x1t2(t0)，yf(x)g(t)2(1t2)t2(t)2(t0)g(t)在0，)上是减函数，g(t)g(0)2(t0)故该函数的值域为(，2(3)对于xR，x2x10，由题设得：y(x2x1)2x，yx2(y2)xy0(*)当y0时，解得x0.当y0时，方程(*)有实根，故(y2)24y202y且y0.由知该函数的值域为2，(4)y(x1且x3)，y且y1.故该函数的值域是(，)(，1)(1，)(5)令xsin()，得ysinsincossin()，.于是sin()1，则sin()，即y.所求值域为，求函数值域时一定要先考虑其定义域如利用函数的单调性，必须要有定义域；用重要不等式求值域时，若忽视定义域，则可能会导致等号成立的条件出错；用导数求函数值域时，要注意把极值与定义域区间端点的函数值作比较变式对任意xR，函数f(x)表示x3，x，x24x3中的较大者，则f(x)的最小值为_3、 函数定义域和值域的综合应用1函数的值域问题常常化归为求函数的最值问题，要注意基本不等式、二次函数及函数单调性在确定函数最值中的应用2对于含参的既给出定义域又给出值域的函数问题，可在定义域上用相应方法求值域，然后与已知值域对应得出相应等式 1.已知函数f(x)lg(x22mx1)(mR)(1)若函数定义域为R，求m取值范围；(2)若函数值域为R，求m取值范围【解】(1)据题意，不等式x22mx10的解集为R.4m240，1m1，故m的取值范围是(1,1)(2)设ux22mx1，据题意，u应取遍所有正实数，故4m240，m1或m1.2.若函数y的定义域是R，求实数a的取值范围解：依题意，ax24axa30的解集为R.故a0或，解之得0a1，故a的取值范围是0,1)方法技巧1确定函数定义域的原则是：(1)当函数yf(x)用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数x的集合；(2)当函数yf(x)用图象给出时，函数的定义域是指图象在x轴上投影所覆盖的实数x的集合；(3)当函数yf(x)用解析式给出时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数x的集合；(4)当函数yf(x)由实际问题给出时，函数的定义域由实际问题的意义确定2求函数的值域是一个较复杂的问题，也是很重要的问题(因为它和求函数的最值紧密相连)，不管用什么方法求函数的值域，都要考虑其定义域(1)当函数yf(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y的集合；(2)当函数yf(x)用图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合；(3)当函数yf(x)用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则惟一确定；(4)当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义决定3函数的最值定义：设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的xI，都有f(x)M；(2)存在x0I，使得f(x0)M.那么，称M是函数yf(x)的最大值类似地，可定义函数的最小值求函数最值和求值域是分不开的，方法类似事实上，如果在函数的值域中存在一个最(小)大数，这个数就是函数的最(小)大值，所以求值域与求最值，只是提问的角度不同，而答题的方式也就有所不同高考预测函数的定义域是高考常考内容，在考查定义域时可能会结合不等式进行考查，值域的考查要求有所降低预测2012年江苏高考，函数的定义域单独成题的可能性不大幂函数与二次函数一、幂函数的性质研究幂函数的性质主要侧重于单调性和奇偶性，单调性主要研究在(0，)上的情形，奇偶性情况较复杂，可利用定义进行判断 1、点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点(2，)在幂函数g(x)的图象上 (1)求f(x)，g(x)的解析式；(2)问当x取何值时有：f(x)g(x)；f(x)g(x)；f(x)g(x)二、二次函数最值求二次函数在给定区间上的最值(值域)，其关键是判断二次函数顶点的横坐标(或对称轴)与所给区间的关系，然后结合二次函数的图象，利用数形结合的思想来解决问题 已知f(x)ax22x(0x1)，求f(x)的最小值 二次函数f(x)ax2bxc(a0)，不妨设a0在区间m，n上的最大或最小值如下：(1) 当m，n，即对称轴在所给区间内时，f(x)的最小值在对称轴处取得，其值是f()，f(x)的最大值在离对称轴较远的端点处取得，它是f(m)、f(n)中的较大者(2)当m，n，即给定的区间在对称轴的一侧时，f(x)是单调函数若m，f(x)在m，n上是增函数，f(x)的最小值是f(m)，最大值是 f(n)；若n，f(x)在m，n上是减函数，f(x)的最小值是f(n)，最大值是f(m)练习：已知函数f(x)x22x(0xa)，求函数的最小值【解】(1)当a0时，f(x)2x在0,1上递减，f(x)minf(1)2.(2)当a0时，f(x)ax22x的图象的开口方向向上，且对称轴为x.当1，即a1时，f(x)ax22x的图象对称轴在0,1内，f(x)在0，上递减，在，1上递增f(x)minf().当1，即0a1时，f(x)ax22x的图象对称轴在0,1的右侧，f(x)在0,1上递减f(x)minf(1)a2.(3)当a0时，f(x)ax22x的图象的开口方向向下，且对称轴x0，在y轴的左侧，f(x)ax22x在0,1上递减f(x)minf(1)a2.综上所述，f(x)min3、 方程、二次函数、不等式关系二次函数、方程、不等式的核心是二次函数的图象，要注意三个二次问题的相互联系和互相转化已知函数(1)当xR时，f(x)a恒成立，求a的范围；(2)当x2,2时，f(x)a恒成立，求a的范围【解】(1)f(x)a恒成立，即x2ax3a0恒成立，a24(3a)0，即a24a120，6a2.(2)f(x)(x)23，当2，即a4时，fmin(x)f(2)2a7，由2a7a得，a和a4矛盾，当22，即4a4时，fmin(x)3，由3a得，6a2，4a2，当2，即a4时，fmin(x)f(2)2a7，由2a7a，得a7，7a4.综上得a7,2求函数恒满足某个条件，就是求函数最大(最小)值恒小于(大于)某个式子，这种思想方法在做恒成立的题目中经常用到4、 二次函数综合应用二次函数是高考考查的永恒主题，常把二次函数的解析式、图象的对称轴、值域、最值、单调性等内容结合起来编制综合题，有一定的难度已知二次函数f(x)ax2bxc(a、b、cR)，且同时满足下列条件：f(1)0；对任意的实数x，都有f(x)x0；当x(0,2)时，有f(x)()2.(1)求f(1)；(2)求a、b、c的值；(3)当x1,1时，函数g(x)f(x)mx(m是实数)是单调函数，求m的取值范围【解】(1)f(x)x0对一切xR恒成立，f(1)10即f(1)1.又当x(0,2)时，f(x)()2，f(1)1.从而f(1)1.的值分别为、.(2)f(1)1，abc1.又f(1)0，abc0，解之得由f(x)x0，即ax2x(a)0在R上恒成立，得4a(a)0，即(4a1)20，a.从而c，即a、b、c的值分别是、。(3)由(2)知f(x)x2x，故g(x)x2(m)x，其对称轴为x12m，g(x)在1,1上是单调函数，12m1或12m1，故m1或m0.故m取值范围是(，01，)二次函数解析式的确定，应视具体问题灵活地选用其形式，再根据题设条件列方程组，即运用待定系数法来求解，在具体问题中，常常会与图象的平移、对称，函数的周期性、奇偶性等知识有机地结合在一起方法技巧1二次函数yax2bxc(a0)在某段区间m，n上的最值，特别是含参数的两类情况：定轴动区间；动轴定区间，其解法是：抓住“三点一轴”数形结合，该讨论时须讨论，“三点”即区间的两个端点和中点，“一轴”即对称轴2二次方程ax2bxc0(a0)的实根分布(区间根)问题，就是利用的二次函数图象来解决，应抓住以下几点：开口方向、判别式、对称轴位置、区间端点函数值正负以及图象是否过定点等3比较大小(1)am与an：构建指数函数yax；(2)am与bm：构建幂函数yxm；(3)ab与ba：往往取中间量0、1、aa或bb.4根据图象判断幂指数大小在(0,1)上“图高指小”；在(1，)上“图高指大”5幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数