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1 2函数的极值 f x 0 f x 0 复习 函数单调性与导数关系 如果在某个区间内恒有 则为常数 设函数y f x 在某个区间内可导 f x 在该区间内递增 f x 在该区间内递减 问题1 y f x 在x a和x c处的函数值与附近的函数值有什么大小关系 问题2 y f x 在x b和x d处的函数值与附近的函数值有什么大小关系 探究 设函数f x 在点x0附近有定义 如果对x0附近的所有点 都有f x f x0 则f x0 是函数f x 的一个极大值 记作y极大值 f x0 如果对x0附近的所有点 都有f x f x0 则f x0 是函数f x 的一个极小值 记作y极小值 f x0 函数的极大值与极小值统称为极值 极值即峰谷处的值 使函数取得极值的点x0称为极值点 定义 问题1 一个函数是否只有一个极值 问题2 极大值与极小值的大小关系是否唯一 探究 极值点两侧函数图像有何特点 结论 极值点两侧函数图像单调性相反极值点处 f x 0 探究 思考 若f x0 0 则x0是否为极值点 探究 函数y f x 在点x0取极值的充分条件是 函数在点x0处的导数值为0 在x0点附近的左侧导数大于 小于 零 右侧小于 大于 零 y f x 在一点的导数为0是函数y f x 在这点取得极值的必要条件 结论 因为所以 例1求函数的极值 解 令解得或 当x变化时 f x 的变化情况如下表 单调递增 单调递减 单调递增 所以 当x 2时 f x 有极大值 当x 2时 f x 有极小值 定义域 r 求解函数极值的一般步骤 小结 4 由f x 在方程f x 0的根左右的符号 来判断f x 在这个根处取极值的情况 1 确定函数的定义域 2 求方程f x 0的根 3 用方程f x 0的根 顺次将函数的定义域分成若干个开区间 并列成表格 练习 1 求下列函数的极值 解 令解得列表 单调递增 单调递减 所以 当时 f x 有极小值 定义域 r 1 求下列函数的极值 解 解得列表 单调递增 单调递减 单调递增 所以 当x 3时 f x 有极大值54 当x 3时 f x 有极小值 54 练习 定义域 r 2 0 0 0 减 减 增 增 1 0 1 导数为零的点不一定是极值点 练习 解 定义域 r x 1 x 0 x 1 x 0是函数极小值点 极小值y 0 例2 已知函数f x x3 ax2 bx a2在x 1处有极值10 求常数a b的值 思路点拨 由函数f x 在x 1处有极值10 可得f 1 0且f 1 10 由此列出方程求a b的值 但还要注意检验求出的a b的值是否满足函数取得极值的条件 已知函数极值 确定函数的解析式中的参数时 注意以下两点 1 根据极值点的导数为0和极值两个条件列方程组 利用待定系数法求解 2 因为导数值等于零不是此
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