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专题二十七 附加题归类分析及应对策略(三)数学归纳法、计数原理、概率与统计 【典题导引】例1.(2013陕西)在一场娱乐晚会上，有位民间歌手(至号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手各位观众须彼此独立地在选票上选名歌手，其中观众甲是号歌手的歌迷，他必选号，不选号，另在至号中随机选名观众乙和丙对位歌手的演唱没有偏爱，因此在至号中选名歌手（1）求观众甲选中号歌手且观众乙未选中号歌手的概率；（2）表示号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的概率分布及数学期望解：(1)设表示事件“观众甲选中号歌手”， 表示事件“观众乙选中号歌手”，则，.事件与相互独立，观众甲选中号歌手且观众乙未选中号歌手的概率为，(或)(2)设C表示事件“观众丙选中号歌手”，则，可能的取值为，且取这些值的概率分别为，的概率分布为的数学期望.例2. 设数列满足，（1）求证：，；（2）求证：数列为递减数列证明：（1）（用数学归纳法证明）当时，结论成立 假设当时，结论成立，即， 则当时， 设函数，则， ， ，在上单调递增， ， ， 所以当时，结论也成立 综合、，对均成立；（2）， 由（1）知， ， ，即， 数列为递减数列例3. 设，（1）求证：，时，； （2）求的值（用表示）；（3）当时，试比较与的大小（1）证明：，时， ，时，； （2）解：由（1）得， ； （3）解： ， ， ， 即当时，例4. 已知满足下列性质的排列的个数为，且性质排列中有且只有一个（1）求；（2）求解：（1）当时，的所有排列有，其中满足仅存在一个1，2，3，使得的排列有 ， 所以.（2）在的所有排列中，若，从个数中选个数按从小到大的顺序排列为，其余按从小到大的顺序排列在余下位置，于是满足题意的排列个数为 若，则满足题意的排列个数为 综上， 从而【归类总结】1解决概率问题，关键要能分清楚概型，正确使用好排列、组合工具，列出随机变量的所有取值并求出相应的概率，列出分布列，尤其要揭示问题中的隐含条件，灵活运用“正难则反”的思考方法；求随机变量的期望的关键是正确求出随机变量的概率分布，若随机变量服从二项分布，则可直接使用公式求解对于求较复杂事件的概率问题，可以将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，或者先求对立事件的概率，再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求出所求事件的概率2解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手（1）“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；（2）“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；（3）“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；（4）“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决3有些数学问题，形式上极其类似二项式定理的展开式形式，因而我们要能扣住它的展开式各项特征，适当加以变化，进而构造出定理的相应结构，达到解决问题之目的4数学归纳法解题的基本步骤：（1）明确首取值并验证真假(必不可少)（2）“假设时命题正确”并写出命题形式（3）分析“时”命题是什么，并找出与“