第一章 弹性力学基本理论.ppt

1 第一章弹性力学基础理论 2 第一章弹性力学基础理论 本章主要介绍弹性力学的基本理论 主要包括 线弹性问题的几个假设 应力 应变的定义和性质 应力平衡方程 几何方程和物理方程等弹性力学基本方程的推导 这些是进行机械结构有限元分析的重要力学理论基础 要求 学习并掌握应力 应变基本概念和主要性质 掌握弹性力学基本方程 应力边界条件 协调方程等 本章概述 3 1 1弹性力学的基本概念 弹性力学 ElasticTheory 弹性力学是一门基础学科 弹性力学是固体力学 solidmechanics 的一个分支 其基本任务是针对各种具体情况 确定弹性体内应力与应变的分布规律 也就是说 当已知弹性体的形状 物理性质 受力情况和边界条件时 确定其任一点的应力 应变状态和位移 在机械 航空 航天 土建和水利等领域的结构分析中 都需要应用弹性力学的基本理论 1 1 1弹性力学及其基本假设 4 1 1 1弹性力学及其基本假设 弹性力学与材料力学的区别 弹性力学与材料力学 StrengthsofMaterials 在研究对象 研究内容和基本任务方面有许多是相同的 但是二者的研究方法有较大差别 5 1 1 1弹性力学及其基本假设 弹性力学是一门基础理论 把弹性力学理论直接用于工程问题分析具有很大的困难 其主要原因主要是在于它的基本方程即偏微分方程边值问题求解通常比较困难 由于经典的解析方法很难用于工程构件分析 因此探讨近似解法是弹性力学发展中的一个重要任务 弹性力学问题的近似求解方法 如差分法和变分法等 特别是随着计算机的广泛应用而不断发展的有限单元法 为解决工程实际问题开辟了广阔的前景 6 1 1 1弹性力学及其基本假设 弹性力学的基本任务是针对各种具体情况 确定弹性体内应力与应变的分布规律 也就是说 当已知弹性体的形状 物理性质 受力情况和边界条件时 确定其任一点的应力 应变状态和位移 弹性力学的研究对象是理想弹性体 所谓理想弹性体应符合下述的五个假定 7 1 1 1弹性力学及其基本假设 五个基本假设 理想弹性体 1 连续性假定 也就是假定整个物体的体积都被组成该物体的介质所填满 不存在任何空隙 保证物体内一些物理量 应力 应变 位移等 的连续性 从而可以用坐标的连续函数来描述 2 完全弹性假定 这是假定物体服从胡克定律 即应变与引起该应变的应力成正比 保证物体在任意瞬时的应变将完全取决于该瞬时物体所受到的外力或温度变化等因素 而与加载的历史和加载顺序无关 8 1 1 1弹性力学及其基本假设 五个基本假设 理想弹性体 3 均匀性假定 假定整个物体由同一材料组成 保证整个物体的所有各部分具有相同的弹性 因而物体的弹性常数才不会随位置坐标而变 可以取出该物体的任意一小部分来加以分析 然后把分析所得的结果应用于整个物体 4 各向同性假定 假定物体的弹性在所有各方向上都相同 也就是说 物体的弹性常数不随方向而变化 5 小位移和小变形的假定 假定物体受力以后 物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸 并且其应变和转角都小于1 保证在建立变形体的平衡方程时 可以用物体变形前的尺寸来代替变形后的尺寸 而不致引起显著的误差 在考察物体的变形及位移时 对于转角和应变的二次幂或其乘积都可以略去不计 9 1 外力 作用于物体的外力通常可分为两类 面力 SurfaceForce 体力 BodyForce 1 1 2外力与内力 10 面力是指分布在物体表面上的外力 包括分布力 DistributedForce 和集中力 ConcentratedForce 如压力容器所受到的内压 水坝所受的静水压力 物体和物体之间的接触压力等等 通常情况下 面力是物体表面各点的位置坐标的函数 在物体表面P点处取一微小面积 S 假设其上作用有表面力 F 则P点所受的表面力定义为 1 1 1 2 通常用各坐标方向上的分量来表示面力 即 1 1 2外力与内力 11 体力 BodyForce 一般是指分布在物体体积内的外力 作用于弹性体内每一个体积单元 通常与物体的质量成正比 且是各质点位置的函数 如重力 惯性力 磁场力等 作用在物体内P点上的体力 可按面力定义方式进行定义 即在P点处取一微小体积 V 假定其上作用有体力 R 则P点所受的体力可定义为 一般也是用各坐标方向上的分量来表示体力 即 1 3 1 4 1 1 2外力与内力 12 物体在外力作用下 其内部将产生抵抗变形的 附加 内力 若假想用一经过物体内P点的截面mn将物体分为两部分A和B 移去其中的一部分B 显然 在截面mn上必定有某种力存在使A平衡 这种力就称为内力 实际上也就是物体内部的相互作用力 2 内力 图1 1物体内任意点处的应力 1 1 2外力与内力 13 所谓一点处某个截面上的应力 Stress 就是指该截面上的 附加内力 即应力是内力在该点处的集度 如图1 1所示 在截面mn上P点处取一微小面积 A 假设作用于 A上的内力为 G 则 图1 1物体内任意点处的应力 1 5 T就是P点处的应力 通常将应力沿截面 A的法向和切向进行分解 相应的分量就是常用的正应力和剪应力 它们满足 1 6 1 1 3应力 1 1 3应力 14 在物体内的同一点处 不同方向截面上的应力是不同的 只有同时给出过该点截面的外法向方向 才能确定物体内该点处此截面上应力的大小和方向 才能表示这一点的应力状态 图1 2微小正方体元素的应力状态 如图1 2所示 正方体各面上的应力可按坐标轴方向分解为一个正应力和两个剪应力 即每个面上的应力都用三个应力分量来表示 这样 用9个应力分量来表示正方体各面上的应力 即 1 7 其中 为正应力 下标表示作用面和作用方向 是剪应力 第一下标表示截面外法线方向 第二下标表示剪应力的方向 应力状态 1 1 3应力 15 应力分量的符号规定 若应力作用面的外法线方向与坐标轴的正方向一致 则该面上的应力分量就以沿坐标轴的正方向为正 沿坐标轴的负方向为负 相反 如果应力作用面的外法线是指向坐标轴的负方向 那么该面上的应力分量就以沿坐标轴的负方向为正 沿坐标轴的正方向为负 1 8 剪应力互等定理 1 1 3应力 6个独立的应力分量 16 物体在外力作用下 其形状要发生改变 变形 Deformation 指的就是这种物体形状的变化 因此 为了考察物体内某一点处的应变 Strain 可在该点处从物体内截取一单元体 研究其棱边长度和各棱边夹角之间的变化情况 对于微分单元体的变形 将分为两部分讨论 1 棱边长度的伸长量 即正应变 或线应变 LinearStrain 2 两棱边间夹角的改变量 用弧度表示 即剪应变 或角应变 ShearStrain 1 1 4应变 17 在图1 3 a 中 单元体在x方向上有一个的伸长量 微分单元体棱边的相对变化量就是x方向上的正应变 即 相应地 y轴方向的正应变为 x y平面内的剪应变 1 9 1 10 1 11 a x方向的线应变 b y方向的线应变 c xy面内的剪应变图1 3应变的几何描述 1 1 4应变 18 应变分量的矩阵型式 1 12 1 13 除了上面的两种应变 还有一种体积应变 VolumeStarin 体积应变表示弹性体体积的扩张或收缩 按线弹性理论 体积应变的大小等于三个线应变的和 即 1 14 1 1 4应变 19 1 2应力状态的描述 弹性体在外力作用下产生应力场 弹性体内任意一点的应力状态可以用6个应力分量描述 一点的应力状态与所选定的坐标系相关 以下从应力坐标变换 任意截面的应力分解实现对一点的应力状态进行分析 并介绍主应力等概念 20 1 2 1应力坐标变换 图1 4一点附近的坐标系及其旋转变换 用一个斜面切过实体 并与三个互相垂直的坐标面相交 就会隔离出关于一点的四面体单元 设轴为斜面的外法线 和与该斜平面相切 和构成新的直角坐标系 斜面的外法线方向角定义为 和 即轴分别与x y z轴的夹角 如图1 4 这些夹角的余弦值定义为轴的方向余弦 分别为 1 15 21 1 2 1应力坐标变换 相应地 分别求解 轴的方向余弦 新坐标系三个轴向的方向余弦写成如下矩阵形式 T即为应力变换矩阵 根据静力学平衡条件可知 其中 是 的转置矩阵 分别为新坐标系和 原坐标系下的一点的应力矩阵 1 17 1 18 图1 4一点附近的坐标系及其旋转变换 22 1 2 1应力坐标变换 例题 如该坐标系先绕z轴旋转45 然后再绕新的x轴旋转30 试确定该点在新的坐标系下的应力矩阵 MPa 某一点在xyz坐标系内的应力状态已知 其应力矩阵如下 23 1 2 1应力坐标变换 将第一式代入上式 可得 24 1 2 1应力坐标变换 将和代入 得到变换矩阵T 为 将T代入式 1 18 解得变换后的应力矩阵 MPa 25 1 2 2任意截面上的应力分解 图1 5一点的应力状态 设平面ABC的外法线为N 而N的方向余弦为cos N x nx cos N y ny cos N z nz 1 19 可见 如果把平面ABC的外法线N作为变换后的任一坐标轴 则上面方向余弦对应变换矩阵的一行 用应力变换的方法可快速求得平面ABC上的正应力 1 20 1 用坐标变换法求任意截面上的应力 26 2 用静力平衡推导法求任意截面上的应力 见图1 5 由平衡条件 Fx 0 得 即 同理 还可得到另外两个相似的方程 该方程称为柯西应力公式 Cauchy sstressformula 公式描述了弹性体内任一点P的6个应力分量 与通过P点任一平面上的应力之间的关系 1 21 1 22 图1 5一点的应力状态 1 2 2一点的应力状态 任意截面上的应力 27 1 2 2一点的应力状态 任意截面上的应力 2 用静力平衡推导法求任意截面上的应力 由上述公式很容易求出平面ABC上的全应力 故有 1 23 而平面ABC上的正应力则可通过 三个分量投影后合成得到 或参考公式 1 20 即 因为全应力与正应力 剪应力之间满足如下关系 见式1 6 1 24 1 25 1 26 28 1 2 3主应力 1 主应力的定义 在过一点的所有截面中 存在着三个互相垂直的特殊截面 在这三个截面上仅有正应力 这种没有剪应力存在的截面称为过该点的主平面 主平面上的正应力称为该点的主应力 主应力的方向总是与主平面的法线方向平行 称为该点应力的主方向 由柯西应力公式 可得 设一主方向的方向余弦为nx ny nz 因为在主平面上没有剪应力 可用代表该主平面上的全应力 则全应力在x y z轴的投影可表示为 1 28 1 27 1 29 29 1 2 3主应力 将此行列式展开 得到一个关于应力的一元三次方程 因为 即不全为0 上述方程组中有非平凡解的条件是其系数矩阵的行列为0 即 1 30 1 31 可以证明 该方程有三个实根 而这三个根就是P点处的三个主应力 将主应力分别代入 1 28 结合 1 29 式便可分别求出各主应力方向的方向余弦 还可以证明 三个主方向是相互垂直的 30 1 2 3主应力 2 应力不变量 方程式 1 31 中 的系数以及常数项记为 定义为第一 第二 第三应力不变量 1 31 可表示为 1 35 31 1 2 3主应力 一点的应力状态可以用六个直角应力分量组成的矩阵来表示 应力不变量可以用主应力表示成 1 36 也可以通过选择主坐标作为参考坐标 用主应力组成的矩阵来表示 32 1 2 3主应力 3 摩尔圆 弹性体内任一点的应力状态可以用摩尔圆来表示 一点的应力状态的具体值在阴影区域表示 主应力按代数值排列 以和为坐标轴的横轴和纵轴 沿着轴标记出和 接着画三个圆 直径分别为 和 如图1 6所示 图1 6应力摩尔圆 用摩尔圆图形可显示任一可能截面上的应力 如图1 6阴影区 这个阴影区叫做摩尔应力的 平面 这三个圆就叫作摩尔圆 从图中可以得出以下结论 1 主应力用图上点A B和C来表示 这些点相应的剪应力为0 2 最大剪应力为 对应的正应力为 可用图上D点表示 3 对于正应力有三个极限值和所对应的平面叫主应力平面 主剪应力有 1 38 33 1 3平衡微分方程 一般情况下物体内不同的点将有不同的应力 各点的应力分量都是点的位置坐标 x y z 的函数 而且在一般情况下 都是坐标的单值连续函数 当弹性体在外力作用下保持平衡时 可根据平衡条件来导出应力分量与体积力分量之间的关系式 即平衡微分方程 这是弹性力学基础理论中的一个重要方程式 图1 7微小单元体的应力平衡 根据平衡方程 有 整理得 1 39 1 40 34 1 3平衡微分方程 同理可得y方向和z方向上的平衡微分方程 即 1 41 1 42 35 1 3平衡微分方程 展开这个式子 略去四阶微量 整理后得到 或 同理 得 和 将上面三个式子联立 得到任意一点处应力分量的另一组关系式 这个结果表明 任意一点处的六个剪应力分量成对相等 即剪应力互等定理 为便于表示 一点的九个应力分量写成应力列阵 1 43 1 44 1 45 36 1 4几何方程 弹性体受到外力作用时 其形状和尺寸会发生变化 即产生变形 应变分量与位移分量之间存在的关系式一般称为几何方程 或叫做Cauchy几何方程 GeometricalEquations 从物体内P点处取出一个正方微元体 其三个棱边长分别为dx dy dz 如图1 8所示 当物体受到外力作用产生变形时 不仅微元体的棱边长度会随之改变 而且各棱边之间的夹角也会发生变化 为研究方便 可将微元体分别投影到三个坐标面上 图1 9为投影到xoy面的情况 图1 8微元体 图1 9位移与应变 37 1 4几何方程 据此 可以求得 根据线应变 正应变 的定义 AB线段的正应变为 因 故由上式可得 代入 1 46 式 得 由于只是微小变形的情况 可略去上式中的高阶微量 即平方项 当微元体趋于无限小时 AB线段的正应变就是P点沿x方向的正应变 用同样的方法考察AD线段 则可得到P点沿y方向的正应变 1 46 1 47 1 48 1 49 38 1 4几何方程 式中与1相比可以略去 故 现在再来分析AB和AD两线段之间夹角 直角 的变化情况 在微小变形时 变形后AB线段的转角为 同理 AD线段的转角为 由此可见 AB和AD两线段之间夹角变形后的改变 减小 量为 1 50 1 51 1 52 1 53 1 54 39 1 4几何方程 几何方程完整表示如下 1 55 把AB和AD两线段之间直角的改变量 xy称为P点的角应变 或称剪应变 它由两部分组成 一部分是由y方向的位移引起的 而另一部分则是由x方向位移引起的 并规定角度减小时为正 增大时为负 40 1 4几何方程 例题1 4 考虑位移场 求在P 1 0 2 的直角坐标应变分量是多少 解 在 1 0 2 线应变为 41 1 4几何方程 在 1 0 2 剪应变为 42 1 应变的直角坐标分量表达及坐标变换 一点的应变矩阵 假如弹性体一点P的6个应变分量已知 可以计算出任意PQ方向的线应变 设PQ方向与坐标轴的夹角方向余弦为 和 可推导出PQ方向的线应变 1 56 1 57 1 5应变状态的描述 43 1 5应变状态的描述 1 应变的直角坐标分量表达及坐标变换 可以像应力分析那样用变换矩阵快速求出任意PQ方向的线应变 1 58 有时用弹性应变矩阵来表示一点的应变状态 表达方法如下 其中 44 1 5应变状态的描述 2 主应变 对于弹性体内任一点 存在这样一个面 在该面内只有线应变没有剪应变 该线应变称之为主应变 该平面法线方向称之为主应变方向 或主应变轴 任一点都有三个互相垂直的主平面 通常情况下 对于各向同性的材料主应变平面与主应力平面重合 这里利用弹性应变矩阵直接写出主应变的求解式 求解式为 其中 1 59 45 1 6相容性条件 变形协调方程也称变形连续方程或相容方程 它描述应变分量之间所存在的关系 在弹性力学中 我们认为物体的材料是一个连续体 它是由无数个点所构成 这些点充满了物体所占的空间 物体在变形前后都是连续的 设想把一个薄板划分成许多微元体 如图1 13所示 如果六个应变分量之间没有关联 则各微元体的变形便是相互独立的 a b c d 图1 13变形协调的讨论 六个应变分量之间的关系可以分两组来讨论 有几何方程 46 对于几何方程的剪切应变与位移关系式 1 60 1 61 1 62 1 63 1 64 前两式分别对y x求二阶偏导数 求偏导 消位移分量 对z求偏导 1 6相容性条件 47 综上两组公式将得到应变分量之间的如下六个微分关系式 即变形协调方程 1 65 1 6相容性条件 上述方程从数学上保证了物体变形后仍保持为连续 各微元体之间的变形相互协调 即各应变分量之间满足一定的相容性协调条件 48 1 7物理方程 本节讨论应力与应变关系的方程式 即物理方程 Physicalequation 物理方程与材料特性有关 它描述材料抵抗变形的能力 也叫本构方程 Constitutiveequation 本构方程是物理现象的数学描述 是建立在实验观察以及普遍自然原理之上的 对物理现象进行准确的数学描述一般都十分复杂甚至不可行 本构关系则是对一般真实行为模式的一种近似 另外 本构方程只描述材料的行为而不是物体的行为 所以 它描述的是同一点的应力状态与它相应的应变状态之间的关系 49 1 7物理方程 1 7 1广义胡克定律 1 广义胡克定律的一般表达式 在进行材料的简单拉伸实验时 从应力应变关系曲线上可以发现 在材料达到屈服极限前 试件的轴向应力正比于轴向应变 这个比例常数定义为杨氏模量E 有如下表达式 弹性体剪切应力与剪应变也成正比关系 对于理想弹性体 可以设6个直角坐标应力分量与对应的应变分量成线性关系 1 72 1 73 1 74 50 上式即为广义胡克定律的一般表达式 这里描述了应力和应变之间的关系 对于线弹性材料 式 1 74 可进一步变为 1 7 1广义胡克定律 1 75 51 1 7 2线弹性结构的物理方程 对于各向同性的线弹性材料 在工程上 广义胡克定律常采用的表达式为 对于剪应力和剪应变 线性的各向同性材料的剪应变与剪应力的关系是 1 78a 式中 G 剪切模量 1 76 1 77 52 1 7 2线弹性结构的物理方程 这样 一点的六个应力分量和六个应变分量之间的关系可以用如下矩矩阵形式来表示 1 78b 1 78c 1 79 其它剪应变与其相应的剪应力的关系为 53 式中 D 弹性矩阵 它是一个常数矩阵 只与材料常数杨氏模量E和泊松比有关 其表达式为 对于二维问题 有 1 80 以及 1 7 2广义胡克定律 SYM 54 1 7 2广义胡克定律 1 81 由式 1 79 可知 这里 可表示为 1 82 55 1 7 2广义胡克定律 对于用主应力和主应变表示的情况 应力应变之间有关下物理方程 1 83 56 1 7 3用位移表达的平衡微分方程 弹性体的基本方程包括平衡微分方程 几何方程 变形协调方程 物理方程 上述方程分别描述了体积力 应力 位移 应变等量值之间的关系 详见表1 1 各类基本方程之间可进行转换 而这些转换是求解弹性力学问题的基础 本节将对上述方程进行必要的转换 推导出用位移表达的平衡微分方程 表1 1弹性力学基本方程与所描述的各物理量 x轴方向的应力平衡微分方程为 1 84 由表1 1可知 要推导用位移表达的平衡微分方程 即是要建立起体积力同位移之间的关系 57 1 7 3用位移表达的平衡微分方程 1 86 1 87 1 88 式 1 85 代入式 1 84 进一步替换 整理得 由物理方程可知 1 85 上式可认为是用应变表示的平衡微分方程 下面再用几何方程 58 1 7 3用位移表达的平衡微分方程 其中考虑到体积应变的公式 考虑由另外两式导出的平衡微分方程 经过类似推导可得到另外两个用位移表示的平衡微分方程 定义拉普拉斯算子 1 89 1 90 1 91 最后得到 59 弹性力学分析中的边界条件是一个重要概念 只有将边界条件引入才能得到相应的力学问题的求解 边界条件一般可以分为应力边界条件和位移边界条件 有些情况下一个弹性体还可能同时存在上述两种边界条件 称之为混合边界条件 上式即为物体应力边界条件的表达式 1 92 1 8边界条件 如果考察位于物体表面上的点