北师大版选修21 第3章 1.2　 椭圆的简单性质 学案.doc

1.2椭圆的简单性质1掌握椭圆的中心、顶点、长轴、短轴、离心率的概念，理解椭圆的范围和对称性(重点)2掌握已知椭圆标准方程时a，b，c，e的几何意义及其相互关系(重点)3用代数法研究曲线的几何性质，在熟练掌握椭圆的几何性质的过程中，体会数形结合的思想(难点)基础初探教材整理椭圆的几何性质阅读教材p67p68上半部分，完成下列问题焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程1(ab0)1(ab0)对称性对称轴x轴和y轴，对称中心(0,0)范围axa且bybbxb且aya顶点a1(a,0)、a2(a,0)，b1(0，b)、b2(0，b)a1(0，a)、a2(0，a)，b1(b,0)、b2(b,0)轴长短轴长2b，长轴长2a焦点f1(c,0)、f2(c,0)f1(0，c)、f2(0，c)焦距|f1f2|2c离心率e(0e1)1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)椭圆1(ab0)的长轴长等于a.()(2)椭圆上的点到焦点的距离的最小值为ac.()(3)椭圆的离心率e越小，椭圆越圆()【解析】(1)长轴长为2a.(2)、(3)正确【答案】(1)(2)(3)2已知点(x0，y0)在椭圆1上，则下列点中不一定在椭圆上的点是()a(x0，y0)b(x0，y0)c(x0，y0)d(y0，x0)【解析】由椭圆的对称性可知，选项a，b，c中的点一定在椭圆上【答案】d3椭圆1的离心率为_【解析】a216，b24，c212，e.【答案】4求焦点在x轴上，长轴、短轴的长分别是8和6的椭圆的标准方程【解】由题意设椭圆的标准方程为1(ab0)，则2a8,2b6，即a4，b3，故椭圆的标准方程为1.质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型椭圆的几何性质(1)椭圆1与1(0k9)的()a长轴长相等b短轴长相等c离心率相等d焦距相等【自主解答】椭圆1中c25916，椭圆1中c25k(9k)16，两椭圆焦距相等【答案】d(2)已知椭圆的标准方程为1，则椭圆上的点p到椭圆中心|op|的范围为()a6,10b6,8c8,10d16,20【自主解答】设p(x0，y0)，则|op|.由椭圆的范围，知|x0|a10，|y0|b8，又p在椭圆上，1，y64x，|op|0x100，64x64100，8|op|10.【答案】c(3)椭圆4x29y236的长轴长为_短轴长为_【导学号：32550068】【自主解答】把已知方程化为椭圆的标准方程为：1，a3，b2，长轴长为2a6，短轴长为2b4.【答案】64由椭圆方程探究简单性质时，需先看所给方程是否为标准方程，这是依据方程求参数a，b，c值的关键，进而可研究椭圆的性质由椭圆简单性质求方程求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点在y轴上，a2，离心率e；(2)一焦点坐标为(3,0)，一顶点坐标为(0,5)；(3)过点(3,0)，离心率e.【精彩点拨】(1)由a2，e，易得c，代入b2a2c2可求得b2，此时可写出焦点在y轴上的椭圆方程；(2)由已知可以确定焦点在x轴上及c，b的值，从而可写出椭圆的标准方程；(3)不能确定焦点所在的坐标轴，需分类讨论【自主解答】(1)由a2，e，可得a24，且，即c1，所以b2a2c2413.已知椭圆的焦点在y轴上，所以所求的标准方程为1.(2)由椭圆的一个焦点坐标为(3,0)，可知椭圆的焦点在x轴上，且c3.又由一顶点坐标为(0,5)，可得b5，所以a2b2c225934.因此所求的标准方程为1.(3)当椭圆的焦点在x轴上时，因为a3，e，所以c，从而b2a2c23，所以椭圆的标准方程为1；当椭圆的焦点在y轴上时，因为b3，e，所以，所以a227，所以椭圆的标准方程为1.综上，所求椭圆的标准方程为1或1.已知椭圆的简单性质求标准方程：(1)先审题，看题目的条件能否确定焦点所在的坐标轴：在椭圆的性质中，焦点的位置、长轴(或短轴)的位置、长轴(或短轴)的端点坐标都可以确定焦点所在的坐标轴；一个顶点坐标、长轴长、短轴长、离心率等不能确定焦点所在的坐标轴，此时需分焦点在x轴上或在y轴上进行讨论(2)然后依据关系式e，b2a2c2确定a，b(a2，b2)的值，从而求出椭圆的标准方程再练一题1求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦距为8，离心率为0.8；(2)长轴是短轴的3倍，且经过点(3,0)【解】(1)若焦点在x轴上，设方程为1(ab0)依题意得c4，e，a5，b3.椭圆的标准方程为1.若焦点在y轴上，同理可求得方程为1.椭圆的标准方程为1或1.(2)若焦点在x轴上，设方程为1(ab0)椭圆过点(3,0)，a3，又2a32b，b1.椭圆的标准方程为y21.若焦点在y轴上，设方程为1(ab0)椭圆过点(3,0)，b3.又2a32b，a9.椭圆的标准方程为1.椭圆的标准方程为y21或1.求椭圆的离心率已知f1，f2是椭圆的两个焦点，过f1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于a，b两点，若abf2是正三角形，求该椭圆的离心率【精彩点拨】根据已知条件得出a、c的关系即可【自主解答】不妨设椭圆的焦点在x轴上，因为abf1f2，且abf2为正三角形，所以在rtaf1f2中，af2f130，令|af1|x，则|af2|2x，所以|f1f2|x2c，再由椭圆的定义，可知|af1|af2|2a3x，e.求椭圆的离心率通常有两种方法：(1)若给定椭圆的方程，则根据焦点位置先求a2、b2，再求出a、c的值，利用公式e直接求解；(2)若椭圆的方程未知，则根据条件建立a、b、c之间的关系式，化为关于a、c的齐次方程，再将方程两边同除以a的最高次幂，得到e的方程，解方程求得e.再练一题2将本例中条件“过f1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于a，b两点，若abf2是正三角形”改为“a为y轴上一点，且af1的中点b恰好在椭圆上，若af1f2为正三角形”如何求椭圆的离心率？【解】如图，连接bf2.因为af1f2为正三角形，且b为线段af1的中点，所以f2bbf1，又因为bf2f130，|f1f2|2c，所以|bf1|c，|bf2|c.根据椭圆定义得|bf1|bf2|2a，即cc2a，所以1.所以椭圆的离心率为e1.探究共研型椭圆的简单几何性质探究1还有其他方法求出椭圆1(ab0)的范围吗？【提示】有可以利用三角换元，令cos ，sin ，r，则xacos ，ybsin ，r，由余弦函数及正弦函数的有界性(|cos |1，|sin |1)可得x，y的取值范围探究2椭圆1(ab0)上到中心和焦点距离最近和最远的点分别在什么位置？【提示】(1)椭圆上到中心距离最近和最远的点：短轴端点b1和b2到中心o的距离最近；长轴端点a1和a2到中心o的距离最远(2)椭圆上的点与焦点距离的最值：点(a,0)，(a,0)与焦点f1(c,0)的距离，分别是椭圆上的点与焦点f1的最大距离和最小距离探究3利用椭圆方程如何判断点p(x0，y0)与椭圆1(ab0)的位置关系？【提示】点p(x0，y0)与椭圆1(ab0)的位置关系：点p在椭圆上1；点p在椭圆内部1；点p在椭圆外部1.探究4椭圆的离心率如何刻画椭圆的扁平程度？椭圆的扁平程度与椭圆位置有关吗？【提示】(1)椭圆的离心率反映了焦点远离中心的程度，e的大小决定了椭圆的形状，反映了椭圆的圆扁程度因为a2b2c2，所以，因此，当e越趋近于1时，越接近于0，椭圆越扁；当e越趋近于0时，越接近于1，椭圆越接近于圆当且仅当ab时，c0，两焦点重合，图形变为圆，方程为x2y2a2.所以e越大椭圆越扁，e越小椭圆越圆(2)椭圆的扁平程度由离心率的大小确定，与椭圆的焦点所在的坐标轴无关已知椭圆1的离心率e，则实数k的值为()a3b3或c.d或【精彩点拨】由椭圆的标准方程确定焦点位置时，要看方程中分母的大小当分母的大小不确定时，要对分母的大小进行讨论【自主解答】(1)当焦点在x轴上时，由椭圆方程1，可知a25，b2k0，则c2a2b25k，而e22.解之得k3.(2)当焦点在y轴上时，由椭圆方程1，可知a2k0，b25，则c2a2b2k5，而e22.解之得k，综上，符合条件的实数k值为3或，因此选b.【答案】b构建体系1椭圆x2my21的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值是() 【导学号：32550069】a.bc2d4【解析】椭圆x2my21可化为1，长轴长是短轴长的2倍，4，m.【答案】a2已知椭圆1(ab0)有两个顶点在直线x2y2上，则此椭圆的焦点坐标是()a(，0)b(0，)c(，0)d(0，)【解析】直线x2y2与坐标轴的交点(2,0)与(0,1)为椭圆的顶点，a2，b1，c.椭圆的焦点坐标是(，0)【答案】a3设椭圆的两个焦点分别为f1，f2，过f2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点p，若f1pf2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为()a.bc2d1【解析】由平面几何知识和椭圆的定义知，|pf1|22|f1f2|2，即(2a2c)22(2c)2，整理得a22acc20，两边同除以a2得e22e10，e1【答案】d4已知正方形abcd，则以a、b为焦点，且过c、d两点的椭圆的离心率为_【导学号：32550070】【解析】建立如图所示的直角坐标系，不妨设正方形的边长为2，则a(1,0)，b(1,0)，c(1,2)，|ac|2.依椭圆的定义知2a|ac|bc|22，a1，又c1，则e1.【答案】15已知椭