北师大版选修21 2.1　从平面向量到空间向量 学案 (1).doc

1从平面向量到空间向量1了解空间向量的有关概念(重点)2理解直线的方向向量和平面的法向量(难点)3会求简单空间向量的夹角(易混点)基础初探教材整理1空间向量的概念阅读教材p25“向量概念”的部分，完成下列问题定义在空间中，既有大小又有方向的量，叫作空间向量表示方法用有向线段表示，a叫作向量的起点，b叫作向量的终点自由向量数学中所讨论的向量与向量的起点无关，称之为自由向量长度或模与平面向量一样，空间向量或a的大小也叫作向量的长度或模，用|或|a|表示夹角定义如图，两非零向量a，b，过空间中任意一点o，作向量a，b的相等向量和，则aob叫做向量a，b的夹角，记作a，b范围规定0a，b向量垂直当a，b时，向量a与b垂直，记作ab向量平行当a，b0或时，向量a与b平行，记作ab判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)0向量是长度为0，没有方向的向量()(2)向量a与向量b的大小相等则ab.()(3)若向量a与向量b方向相反，则a与b是平行向量()【解析】(1)0向量的方向是任意的(2)ab需满足两个条件，一是大小相等，二是方向相同(3)相反向量也是平行向量【答案】(1)(2)(3)教材整理2向量与直线阅读教材p26“向量与直线”的部分，完成下列问题设l是空间一直线，a，b是直线l上任意两点，则称为直线的方向向量，与平行的任意非零向量a也是直线的方向向量正方体abcda1b1c1d1中，以顶点为端点的向量中，可以作为直线ac的方向向量的有哪些？【解】a1c1ac，直线ac的方向向量有、教材整理3向量与平面阅读教材p26“向量与平面”的部分，完成下列问题如果直线l垂直于平面，那么把直线l的方向向量a叫作平面的法向量平面的法向量与平面中任意一个向量的夹角是_【解析】平面的法向量垂直于平面中任意向量，故夹角为90.【答案】90质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型空间向量的有关概念(1)在如图211所示的平行六面体abcda1b1c1d1中，与向量相等的向量有_个(不含)图211【自主解答】与向量相等的向量为：，共有3个【答案】3(2)下列说法中，正确的是()a两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同b若非零向量和是共线向量，则a，b，c，d四点共线c若ab，bc，则acd零向量与任意向量平行【自主解答】a项错，因为两个向量起点相同，且是相等的向量，所以终点必相同b项错，若和共线，则和的基线平行或重合，所以a，b，c，d不一定在同一条直线上c项错，若b0，a0，0c，则a与c不一定平行，d项正确【答案】d(3)在长方体abcda1b1c1d1中，以顶点为起止点的向量中，与向量平行的向量为_，与相反的向量为_【自主解答】aba1b1dcd1c1，与平行的向量为，其中与相反的向量为：，【答案】，1在空间中，向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相对应的概念完全一样2注意区别向量、向量的模、线段、线段的长度等概念直线的方向向量与平面的法向量如图212，正方体abcda1b1c1d1中，(1)以顶点为向量端点的所有向量中，直线ab的方向向量有哪些？(2)在所有棱所在的向量中，写出平面abcd的所有法向量【导学号：32550020】图212【精彩点拨】根据方向向量与法向量的定义直接写出即可【自主解答】(1)直线ab的方向向量有：，.(2)平面abcd的法向量，就是与平面abcd垂直的棱所在的向量，即，.1直线的方向向量就是与直线平行的非零向量对模没有限制，注意起点和终点都在直线上的向量也是符合题意的2找平面的法向量要注意几何体中的垂直关系，特别是成面面垂直关系再练一题1根据本例的条件，写出平面bcc1b1的所有法向量【解】平面bcc1b1的法向量为，.探究共研型空间向量的特征探究1空间向量与平面向量有什么关系？【提示】空间向量是平面向量概念的拓展，也只有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，它的起点可以是空间内的任意一点，只要保证它的大小和方向不改变它是可以自由平移的，与起点无关数量可以比较大小，但向量不可以比较大小，向量的模是个非负实数，可以比较大小探究2直线的方向向量与平面的法向量只有一个吗？【提示】直线的方向向量与平面的法向量是不唯一的，直线的方向向量都平行于该直线，平面的法向量都垂直于该平面探究3如何求两个空间向量的夹角？向量角与平面角有什么区别？【提示】与求平面内两向量夹角类似，求空间两向量夹角时，采取平移的方法，把空间两向量的夹角转化为平面内某两条相交直线的角，进而用解三角形的知识求解必须注意两向量夹角应保证两向量移至共同起点处，比如若，而，.在正方体abcda1b1c1d1中，e，f分别是ab，bc的中点，求：(1)，；(2)，【精彩点拨】依据图形特点，找到向量对应直线的位置关系即可求解：【自主解答】(1)如图，连接ac.ef分别是ab，bc的中点，efac.，且方向相同，0；，且方向相反，180.(2)在正方形abcd中，abbc，90；a1b1平面a1add1，又ad1平面a1add1，a1b1ad1，90.1求空间向量夹角的关键是平移向量，使它们的起点相同在平移的过程中，要充分利用已知图形的特点，寻找线线平行，找出所求的角，这一过程可简单总结为：(1)通过平移找角，(2)在三角形中求角2在利用平面角求向量角时，要注意两种角的取值范围，线线角的范围是，而向量夹角的范围是0，比如a，b与a，b两个角互补，而它们对应的线线角却是相等的再练一题2在正四面体abcd中，(1)向量与的夹角为_；(2)向量与的夹角为_【解析】(1)与方向相反与的夹角为180(2)abcd，与的夹角为90【答案】(1)180(2)90构建体系1下列有关空间向量的说法中，正确的是()a如果两个向量的模相等，那么这两个向量相等b如果两个向量方向相同，那么这两个向量相等c如果两个向量平行且它们的模相等，那么这两个向量相等d同向且等长的有向线段表示同一向量【解析】相等向量要求模相等且方向相同，故a和b错误；平行向量可以方向相同也可以方向相反，故c错误d显然正确【答案】d2已知向量a0，b0是分别与a，b同方向的单位向量，那么下列式子正确的是()aa0b0ba01ca0，b0共线d|a0|b0|【解析】单位向量的模为1，故|a0|b0|1【答案】d3下列说法中不正确的是()a平面的一个法向量垂直于与平面共面的所有向量b一个平面的所有法向量互相平行c如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直d如果a，b与平面共面且na，nb，那么n就是平面的一个法向量【解析】a，b，c正确，而d中，若ab，虽然na，nb，但n不一定是平面的法向量【答案】d4若直线l的方向向量为a，平面的法向量为b，当l时，一定有_(填a与b的位置关系)【导学号：32550021】【解析】l，b，ab.【答案】ab5已知正方体abcda1b1c1d1，求(1)，；(2)，【解】(1)如图，