北师大版选修21 2.3　向量的坐标表示和空间向量基本定理 学案.doc

3向量的坐标表示和空间向量基本定理31 & 3.2空间向量的标准正交分解与坐标表示空间向量基本定理 空间向量的标准正交分解与坐标表示学生小李参加某大学自主招生考试，在一楼咨询处小李得知：面试地点由此向东10 m，后向南15 m，然后乘5号电梯到位于6楼的2号学术报告厅参加面试设e1是向东的单位向量，e2是向南的单位向量，e3是向上的单位向量问题1：e1，e2，e3有什么关系？提示：两两垂直问题2：假定每层楼高为3 m，请把面试地点用向量p表示提示：p10e115e215e3.标准正交基与向量坐标(1)标准正交基：在给定的空间直角坐标系中，x轴、y轴、z轴正方向的单位向量i，j，k叫作标准正交基(2)标准正交分解：设i，j，k为标准正交基，对空间任意向量a，存在唯一一组三元有序实数(x，y，z)，使得axiyjzk，叫作a的标准正交分解(3)向量的坐标表示：在a的标准正交分解中三元有序实数(x，y，z)叫作空间向量a的坐标，a(x，y，z)叫作向量a的坐标表示(4)向量坐标与投影：i，j，k为标准正交基，axiyjzk，那么aix，ajy，akz.把x，y，z分别称为向量a在x轴、y轴、z轴正方向上的投影向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影一般地，若b0为b的单位向量，则称ab0|a|cosa，b为向量a在向量b上的投影.空间向量基本定理空间中任给三个向量a，b，c.问题1：什么情况下，向量a，b，c可以作为一个基底？提示：它们不共面时问题2：若a，b，c是基底，则空间任一向量v都可以由a，b，c表示吗？提示：可以如果向量e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数1，2，3使得a1e12e23e3.其中e1，e2，e3叫作这个空间的一个基底a1e12e23e3表示向量a关于基底e1，e2，e3的分解空间向量基本定理表明，用空间三个不共面的已知向量a，b，c可以表示出空间任一向量；空间中的基底是不唯一的，空间任意三个不共面的向量均可作为空间向量的基底 空间向量的坐标表示例1如图，在空间直角坐标系中，有长方体abcdabcd，ab3，bc4，aa6.(1)写出c的坐标，给出关于i，j，k的分解式；(2)求的坐标思路点拨(1)c的坐标(也是的坐标)，即为c在x轴、y轴、z轴正方向上的投影，即|od|，|ob|oa|.(2)写出关于i，j，k的分解式，即可求得的坐标精解详析(1)ab3，bc4，aa6，c的坐标为(4,3,6)(4,3,6)4i3j6k.(2).4i6k，4i3j6k，(4，3,6)一点通1建立恰当的空间直角坐标系是准确表达空间向量坐标的前提，应充分利用已知图形的特点，寻找三条两两垂直的直线，并分别为x，y，z轴进行建系2若表示向量的坐标，只要写出向量关于i，j，k的标准正交分解式，即可得坐标1在如图所示的空间直角坐标系中，正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，b1e1a1b1，则的坐标为_解析：显然d为原点，设e1(x，y，z)，易知x1，y，z1，.答案：2已知点a的坐标是(1,2，1)，且向量与向量关于坐标平面xoy对称，向量与向量关于x轴对称，求向量和向量的坐标解：如图，过a点作am平面xoy于m，则直线am过点c，且cmam，则点c的坐标为(1,2,1)，此时(1,2,1)，该向量与(1,2，1)关于平面xoy对称过a点作anx轴于n，则直线an过点b，且bnan，则b(1，2,1)，此时(1，2,1)，该向量与关于x轴对称3.在直三棱柱aboa1b1o1中，aob，ao4，bo2，aa14，d为a1b1的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求，的坐标解：(1)()()4k2ij.(2，1，4)(2)()2j4i4k.(4,2，4)向量a在b上的投影例2如图，已知单位正方体abcdabcd.(1)求向量在上的投影；(2)是单位向量，且垂直于平面adda，求向量在上的投影思路点拨a在b上的投影为|a|cosa，b，只要求出|a|及a，b即可精解详析(1)法一：向量在上的投影为|cos，又正方体棱长为1，|ca|，|，dca即为与的夹角，在rtacd中，cosacd，在上的投影为|cos，1.法二：在正方体abcdabcd中，dcad，dca.在上的投影为：|cos，|cosdca|1.(2)与的夹角为180acd，在上的投影为|cos(180acd)|cosdca1.一点通1求向量a在向量b上的投影，可先求出|a|，再求出两个向量a与b的夹角，最后计算|a|cosa，b，即为向量a在向量b上的投影，它可正、可负，也可以为零；也可以利用几何图形直观转化求解2在确定向量的夹角时要注意向量的方向，如本题中，与，是不同的，其和为.4已知i，j，k为标准正交基，ai2j3k，则a在i方向上的投影为()a1b1c. d解析：ai|a|i|cosa，i，|a|cosa，i(i2j3k)i1.答案：a5.如图，在长方体abcda1b1c1d1中，ab4，adaa12，则向量在向量上的投影为_解析：在上的投影为|cos，而|2，在rtad1c1中，cosd1ac1，|cos，2.答案：2空间向量基本定理及其简单应用例3如图所示，平行六面体abcda1b1c1d1中，e，f分别在b1b和d1d上，且bebb1，dfdd1.(1)证明a，e，c1，f四点共面；(2)若xyz，求xyz.思路点拨要证明四点共面只需证明可用，表示即可；第(2)问中求xyz只需先把用，表示出来，求出x，y，z，再求xyz.精解详析(1)证明：，又，a，e，c1，f四点共面(2)()ab，x1，y1，z.xyz.一点通1空间向量基本定理是指用空间三个不共面的已知向量a，b，c构成的向量组a，b，c可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的2利用空间的一个基底a，b，c可以表示出所有向量，注意结合图形，灵活应用三角形法则、平行四边形法则，及向量的数乘运算，表示要彻底，结果只含有a，b，c，不能再有其他向量6o，a，b，c为空间四边形的四个顶点，点m，n分别是边oa，bc的中点，且a，b，c，且a，b，c表示为()a.(cba) b.(abc)c.(abc) d.(abc)解析：()()(bca)答案：a7已知e1，e2，e3是空间中不共面的三个向量，且ae1e2e3，be1e2e3，ce1e2e3，de12e23e3 a b c，则2_.解析：ae1e2e3，be1e2e3，ce1e2e3，de12e23e3 a b c，e12e23e3()e1()e2()e3，解得20.答案：08如图所示，已知平行六面体abcda1b1c1d1，且a，b，c，用a，b，c表示如下向量：(1) ；(2) (g在b1d1上且)解：(1)abc.(2)，又()()(cb)，abc.1空间任一点p的坐标的确定：过p作面xoy的垂线，垂足为p.在平面xoy中，过p分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为a，c，则|x|pc|，|y|ap|，|z|pp|.2空间任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底，基底中的三个向量e1，e2，e3都不是0.3空间中任一向量可用空间中不共面的三个向量来唯一表示4点a(a，b，c)关于x轴、y轴、z轴对称点的坐标分别为(a，b，c)，(a，b，c)，(a，b，c)；它关于xoy面、xoz面、yoz面、原点对称点的坐标分别为(a，b，c)，(a，b，c)，(a，b，c)，(a，b，c) 1在以下三个命题中，真命题的个数是()三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线；若a，b是两个不共线的向量，而cab(，r且0)，则a，b，c构成空间的一个基底a0个b1个c2个 d3个解析：中向量a，b，c共面，故a，b，c不能构成空间向量的一个基底，均正确答案：c2如图，已知正方体abcdabcd中，e是平面abcd的中心，a，b，c，x ay bz c，则()ax2，y1，z bx2，y，zcx，y，z1 dx，y，z解析：(ad)2abc.答案：a3如图，在正方体abcda1b1c1d1中，棱长为1，则在上的投影为()a b.c d.解析：正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，| |，|，|.ab1c是等边三角形在上的投影为|cos，cos 60.答案：b4如图，在三棱柱abca1b1c1中，d是面bb1c1c的中心，且a，b，c，则()a.abc b.abcc.abc dabc解析：()c()ca(c)babc.答案：d5如图，在长方体abcda1b1c1d1中，ab2，bc1，cc11，则在上的投影是_解析：在上的投影为|cos，在abc1中，cosbac1，又|.|cos 2.答案：26在三棱锥oabc中，a，b，c，d为bc的中点，e为ad的中点，则_(用a，b，c表示)解析：如图，()()abc.答案：abc7已知abcda1b1c1d1是棱长为1的正方体，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出a，b，c，d，a1，b1，c1，d1各点的坐标，并写出，的坐标表示解：正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，a(1,0,0), b(1,1,0)，c(0,1,0)，d(0,0,0)，a1(1,0,1)，b1(1,1,1)，c1(0,1,1)，d1(0,0,1)(1,0,0)，(1,1,0)，(0,1,0)，(0,1,1)，(0,0,1)，(1,0,1)，(1,1,1)8如下图，已知pa平面abcd，四边形abcd为正方形，g为pdc的重心，i，j，k，试用基底i，j，k表示向量，.解：g是pdc的重心，()()(kjkij)ijk，ikijkijk.33空间向量运算的坐标表示 2014年2月，济青高速临沂段发生交通事故，一辆中型车严重变形，驾驶员被困车内，消防官兵紧急破拆施救为防止救援造成的二次伤害，现从3个方向用力拉动驾驶室门，这3个力两两垂直，其大小分别为|f1|300 n，|f2|200 n，|f3|200 n.问题1：若以f1，f2，f3的方向分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系，驾驶室门受到的力的坐标是什么？提示：(300,200,200)问题2：驾驶室门受到的合力有多大？提示：|f|500 n.空间向量的坐标运算若a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，则(1)ab(x1x2，y1y2，z1z2)；(2)ab(x1x2，y1y2，z1z2)；(3)a(x1，y1，z1)；(4)abx1x2y1y2z1z2；(5)ababx1x2，y1y2，z1z2(r)；(6)abab0x1x2y1y2z1z20；(7)|a|；(8)cosa，b .若a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，则(x2x1，y2y1，z2z1)1空间向量的加、减、数乘的坐标运算仍是坐标，数量积的运算是实数2利用空间向量的坐标可以解决向量的模、夹角、向量的平行与垂直等问题 空间向量的坐标运算例1已知a(3,5，4)，b(2,2,8)，求2a3b,3a2b，ab.思路点拨空间向量的加、减、数乘运算与平面向量的加、减、数乘运算方法类似，向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和精解详析2a3b(6,10，8)(6,6,24)(12,16,16)，3a2b(9,15，12)(4,4,16)(5,11，28)，ab32524816.一点通空间向量的坐标运算和平面向量的坐标运算类似，两个向量的加、减、数乘运算就是向量的横坐标、纵坐标、竖坐标分别进行加、减、数乘运算；空间两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和1已知a(1,0，1)，b(1，2,2)，c(2,3，1)，那么向量ab2c()a(0,1,2)b(4，5,5)c(4,8，5) d(2，5,4)解析：ab2c(1122,026，122)(4,8，5)答案：c2已知a，b，c三点的坐标分别为(2，1,2)，(4,5，1)，(2,2,3)，求p点坐标，使(1)()；(2)()解：(2,6，3)，(4,3,1)(1)(6,3，4)，则p点坐标为；(2)设p为(x，y，z)，则(x2，y1，z2)()，所以x5，y，z0，即p点坐标为.3已知向量a(1，2,4)，求同时满足以下三个条件的向量c：(1)ac0；(2)|c|10；(3)c与向量b(1,0,0)垂直解：设c(x，y，z)，由三个条件得解得或c(0,4，2)或(0，4，2)用坐标运算解决向量的平行与垂直问题例2如图所示，在棱长为a的正方体abcda1b1c1d1中，以d为坐标原点，da，dc，dd1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系过b作bmac1于m，求点m的坐标思路点拨写出a，b，c1的坐标，设出m的坐标，利用条件bmac1及m在ac1上建立方程组，求解精解详析法一：设m(x，y，z)，由图可知：a(a,0,0)，b(a，a,0)，c1(0，a，a)，则(a，a，a)，(xa，y，z)，(xa，ya，z)，0，a(xa)a(ya)az0，即xyz0.又，xaa，ya，za，即xaa，ya，za.由得x，y，z.m.法二：设(a，a，a)，(0，a,0)(a，a，a)(a，aa，a)bmac1，0即a2a2a2a20，解得，.m点坐标(，)一点通用坐标运算解决向量平行、垂直有关问题，要注意以下两个等价关系的应用：(1)若a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)(b为非零向量)，则abx1x2，且y1y2且z1z2(r)若b0时，必有ab，必要时应对b是否为0进行讨论(2)abx1x2y1y2z1z20.4已知a(1，5,6)，b(0,6,5)，则a与b()a垂直 b不垂直也不平行c平行且同向 d平行且反向解析：ab030300，ab.答案：a5在正方体abcda1b1c1d1中，f是dc的中点，求证：add1f.证明：建立空间直角坐标系如图，不妨设正方体的棱长为1，则有d(0,0,0)，a(1,0,0)，d1(0,0,1)，f.(1,0,0)，.(1,0,0)0.add1f.6已知a(1，x,1x)，b(1x2，3x，x1)，求满足下列条件时，实数x的值(1)ab；(2)ab.解：(1)当x0时，a(1,0,1)，b(1,0,1)，ab，x0，满足ab；当x1时，a(1,1,0)，b(0，3,2)，此时a不平行b，x1.当x0且x1时，由abx2.综上所述，当x0或2时，ab.(2)abab0(1，x,1x)(1x2，3x，x1)01x23x21x20，解得x.用空间向量的坐标运算解决夹角与距离问题例3直三棱柱abca1b1c1中，cacb1，bca90，棱aa12，m，n分别是a1b1，a1a的中点(1)求的长；(2)求cos，的值思路点拨ca，cb，cc1两两垂直，可由此建立空间直角坐标系，利用坐标运算求解向量的模及夹角精解详析以c为原点，以，为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系(1)依题意，得b(0,1,0)，n(1,0,1)，(1，1,1)，|.(2)依题意，得a1(1,0,2)，b(0,1,0)，c(0,0,0)，b1(0,1,2)(1，1,2)，(0,1,2)，3，|，|.cos，.一点通在几何体中建立空间直角坐标系时，要充分利用几何体本身的特点，以使各点的坐标易求利用向量的坐标运算，可使复杂的线面关系的论证、角及距离的计算变得简单7已知空间三点a(1,1,1)，b(1,0,4)，c(2，2,3)，求与的夹角解：(2，1,3)，(1,3，2)，|，|，2367，cos，.，0，.8在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，e，f分别是d1d，bd的中点，g在棱cd上，且cgcd，h为c1g的中点(1)求证：efb1c；(2)求ef与c1g所成角的余弦值；(3)求fh的长解：如图所示，建立空间直角坐标系dxyz，d为坐标原点，则有e，f，c(0,1,0)，c1(0,1,1)，b1(1,1,1)，g.(1)证明：，(0,1,0)(1,1,1)(1,0，1)，(1)0(1)0，即efb1c.(2)(0,1,1)，|.又0(1)，|.cos，.即异面直线ef与c1g所成角的余弦值为.(3)f，h，.| .故fh的长为.1空间向量加法、减法、数乘、数量积、平行、垂直、夹角的坐标表示都类似于平面向量，要类比记忆与理解2空间向量的坐标运算，关键是要建立恰当的空间直角坐标系，然后利用有关公式求解要注意总结在长方体、直三棱柱、正三棱柱、正四棱锥等特殊几何体中建立空间直角坐标系的规律3利用向量的坐标运算可证明向量的垂直与平行问题，利用向量的夹角公式和距离公式可求解空间两条直线的夹角和两点间距离的问题 1下列各组向量中不平行的是()aa(1,2，2)，b(2，4,4)bc(1,0,0)，d(3,0,0)ce(2,3,0)，f(0,0,0)dg(2,3,5)，h(16，24,40)解析：对d中向量g，h，故g，h不平行答案：d2已知a(2，1,3)，b(4,2，x)，c(1，x,2)，若(ab)c，则x()a4b4c. d6解析：ab(2,1,3x)且(ab)c，2x62x0，x4.答案：b3若a(1，1)，