北师大版选修21 3.1空间向量的标准正交分解与坐标表示3.2空间向量基本定理 学案.docx

3.1空间向量的标准正交分解与坐标表示3.2空间向量基本定理学习目标1.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标.2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念.3.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题.知识点一标准正交基在给定的空间直角坐标系中，x轴，y轴，z轴正方向的单位向量i，j，k叫作标准正交基.知识点二标准正交分解设i，j，k为标准正交基，对空间任意向量a，存在唯一一组三元有序实数组(x，y，z)，使得axiyjzk，则把axiyjzk叫作a的标准正交分解.知识点三向量的坐标表示在a的标准正交分解中三元有序实数组(x，y，z)叫作空间向量a的坐标，a(x，y，z)叫作向量a的坐标表示.知识点四向量坐标与投影(1)i，j，k为标准正交基，axiyjzk，那么aix，ajy，akz.把x，y，z分别称为向量a在单位向量i，j，k上的投影.(2)向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影.(3)一般地，若b0为b的单位向量，则称ab0|a|cosa，b为向量a在向量b上的投影.知识点五空间向量基本定理如果向量e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数1，2，3使得a1e12e23e3.思考平面向量的基底要求二个基向量不共线，那么构成空间向量基底的三个向量有什么条件？答案空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定后，空间任意向量均可由基底唯一表示.题型一空间向量的基底例1已知e1，e2，e3是空间的一个基底，且e12e2e3，3e1e22e3，e1e2e3，试判断，能否作为空间的一个基底.解假设，共面.则存在实，使得，e12e2e3(3e1e22e3)(e1e2e3)(3)e1()e2(2)e3，e1，e2，e3不共面，此方程组无解，不共面，可以作为空间的一个基底.反思与感悟空间向量有无数个基底.判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基底，关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断.跟踪训练1已知点o，a，b，c为空间不共面的四点，且向量a，向量b，则与a，b不能构成空间基底的向量是()a.b.c.d.或答案c解析ab且a，b不共线，a，b，共面，与a，b不能构成一组空间基底.题型二空间向量基本定理例2如图，四棱锥poabc的底面为一矩形，po平面oabc，设a，b，c，e，f分别是pc和pb的中点，试用a，b，c表示，.解连接bo，则()(cba)abc.aa()abc.()ac(cb)abc.a.反思与感悟(1)空间中的任一向量均可用一组不共面的向量来表示，只要基底选定，这一向量用基底表达的形式是唯一的；(2)用基底来表示空间中的向量是向量解决数学问题的关键，解题时注意三角形法则或平行四边形法则的应用.跟踪训练2如图所示，空间四边形oabc中，g、h分别是abc、obc的重心，设a，b，c.试用向量a，b，c表示向量.解h为obc的重心，d为bc的中点，()，从而()(bc).又，()()(abc).，(bc)(abc)a.题型三空间向量的坐标表示例3已知pa垂直于正方形abcd所在的平面，m、n分别是ab、pc的中点，并且paad1，建立适当坐标系，求向量的坐标.解以ad，ab，ap所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示，则m(0，0)，n(，).(，0，).反思与感悟建系时要充分利用图形的线面垂直关系，选择合适的基底，在写向量的坐标时，考虑图形的性质，充分利用向量的线性运算，将向量用基底表示.跟踪训练3已知pa垂直于正方形abcd所在的平面，m、n分别是ab、pc的中点，并且paad1，建立适当坐标系，求向量、的坐标.解如图所示，因为paadab1，且pa平面abcd，adab，所以可设e1，e2，e3.以e1，e2，e3为基底建立空间直角坐标系axyz.因为()e2e3(e3e1e2)e1e3，所以，(0,1,0).1.已知a(2,3，1v)关于x轴的对称点是a(，7，6)，则，v的值为()a.2，4，v5b.2，4，v5c.2，10，v8d.2，10，v7答案d解析a与a关于x轴对称，2.与向量m(0，1，2)共线的向量是()a.(2,0，4) b.(3,6，12)c.(1,1，2) d.(0，1)答案d解析(0，1)m，与m共线的向量是(0，1).3.已知点a在基底a，b，c下的坐标为(8,6,4)，其中aij，bjk，cki，则点a在基底i，j，k下的坐标为()a.(12,14,10) b.(10,12,14)c.(14,10,12) d.(4,2,3)答案a解析8a6b4c8(ij)6(jk)4(ki)12i14j10k.点a在基底i，j，k下的坐标为(12,14,10).4.如图在边长为2的正方体abcda1b1c1d1中，取d点为原点建立空间直角坐标系，o，m分别是ac，dd1的中点，写出下列向量的坐标.，.答案(2,0,1)(1,1,2)解析a(2,0,0)，m(0,0,1)，o(1,1,0)，b1(2,2,2)，(0,0,1)(2,0,0)(2,0,1)，(1,1,2).5.如图，在梯形abcd中，abcd，ab2cd，点o为空间任一点，设a，b，c，则向量用a，b，c表示为.答案abc解析2