北师大版选修21 第3章 §1　椭圆 学案.doc

1椭圆11椭圆及其标准方程1了解椭圆的实际背景，理解椭圆、焦点、焦距的定义(重点)2掌握、推导椭圆标准方程的过程(难点)3会求简单的椭圆的标准方程(易混点)基础初探教材整理1椭圆的定义阅读教材p62上半部分，完成下列问题平面内到两个定点f1，f2的距离之和等于常数(大于|f1f2|)的点的集合叫作椭圆，这两个定点f1，f2叫作椭圆的焦点，两个焦点f1，f2间的距离叫作椭圆的焦距平面内有一个动点m及两定点a，b.设p：|ma|mb|为定值，q：点m的轨迹是以a，b为焦点的椭圆那么()ap是q的充分不必要条件bp是q的必要不充分条件cp是q的充要条件dp既不是q的充分条件，又不是q的必要条件【解析】若|ma|mb|为定值，只有定值|ab|时，点m轨迹才是椭圆故p为q的必要不充分条件【答案】b教材整理2椭圆的标准方程阅读教材p62下半部分，完成下列问题.焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程1(ab0)1(ab0)图像焦点坐标(c,0)，(c,0)(0，c)，(0，c)a，b，c的关系a2b2c21a5，c3，焦点在x轴上的椭圆标准方程为_【导学号：32550063】【解析】焦点在x轴上，b2a2c216，标准方程为1.【答案】12求方程4x29y21的焦点坐标【解】4x29y21可化为1，a2，b2，c2a2b2，c，焦点坐标为，质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_解惑：_疑问2：_解惑：_疑问3：_解惑：_小组合作型椭圆定义及应用(1)椭圆1上一点a到焦点f的距离为2，b为af的中点，o为坐标原点，则|ob|的值为()a8b4c2d【自主解答】设f为椭圆的另一焦点则|af|af|2a10，|af|8，o，b分别为ff，af的中点|ob|af|4.【答案】b(2)平面内一动点m到两定点f1，f2的距离之和为常数2a，则点m的轨迹为()a椭圆b圆c线段d椭圆或线段或无轨迹【自主解答】要注意2a与|f1f2|的大小关系对点m的轨迹形状的影响当2a|f1f2|时，轨迹为椭圆；当2a|f1f2|时，轨迹为线段；当2a|f1f2|时，轨迹不存在【答案】d(3)已知椭圆1(ab0)，f1，f2是它的焦点，过f1的直线ab与椭圆交于a、b两点，则abf2的周长为_【自主解答】|af1|af2|2a，|bf1|bf2|2a，abf2的周长|ab|af2|bf2|af1|bf1|af2|bf2|2a2a4a.【答案】4a1到两定点的距离之和是常数且必须大于两定点间的距离的点的轨迹是椭圆，此时这个常数为2a，两定点的距离为2c.2由椭圆定义可知，椭圆上任一点到椭圆的两个焦点距离之和为定值，所以椭圆定义有以下应用：(1)实现两个焦点半径之间的相互转化；(2)将两个焦点半径之和看成一个整体，求解定值问题求椭圆的标准方程写出适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点坐标为(4,0)，(4,0)，并且过点(，)；(2)过点(，)，且与椭圆1有相同的焦点【精彩点拨】(1)设出相应焦点位置的椭圆方程，利用关系式b2a2c2及点(，)在椭圆上求待定系数；(2)由与已知椭圆共焦点可设出椭圆方程，再根据条件求待定系数【自主解答】(1)依题意知椭圆的焦点在x轴上，可设它的标准方程为1(ab0)由已知得c4，且b2a2c2，所以a2b216.因为点(，)在椭圆上，所以1，即1.由得a220，b24.因此，所求椭圆的标准方程为1.(2)因为所求椭圆与椭圆1的焦点相同，所以其焦点在y轴上，且c225916.设它的标准方程为1(ab0)因为c216，且c2a2b2，故a2b216.又点(，)在椭圆上，所以1，即1.由得b24，a220，所以所求椭圆的标准方程为1.1椭圆的标准方程在形式上可统一为ax2by21，其中a、b是不等的正常数2运用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤：(1)定位：确定椭圆的焦点在x轴还是y轴上，从而设出相应的标准方程的形式(2)定量：根据已知条件，建立关于a、b、c的方程组，求出a2、b2，从而写出椭圆的标准方程再练一题1(1)两个焦点坐标分别是(0，4)、(0,4)，椭圆上一点p到两焦点的距离之和等于20，求椭圆的方程(2)两个焦点坐标分别是(2,0)，(2,0)且过，求椭圆的方程【解】(1)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为1(ab0)2a20,2c8，a10，c4，b2a2c21024284，所以所求椭圆标准方程为1.(2)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为1(ab0)，由椭圆的定义知，2a2，a，又c2，b2a2c21046，所以所求标准方程为1.椭圆标准方程的简单应用(1)已知方程1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为_(2)已知椭圆方程为kx23y26k0，焦距为4，则k的值为_【精彩点拨】(1)因为焦点在y轴上，所以椭圆方程与1(ab0)相对应；(2)将方程化为椭圆的标准方程，然后利用a，b，c三者之间的关系进行求解，但应考虑是否需要分类讨论【自主解答】(1)椭圆焦点在y轴上，其标准方程应为1(ab0)，|m|152m0，解得2m，m的取值范围为2m.(2)将方程kx23y26k0化为1.焦距为4，2c4，即c2.当焦点在x轴上时，62k4，解得k1；当焦点在y轴上时，2k64，解得k5.综上，k1或5.【答案】(1)(2)1或51判断焦点所在坐标轴其依据是看x2项，y2项的分母哪个大，焦点在分母大的坐标轴上2对于方程1(m0，n0)，当mn0时，方程表示焦点在x轴上的椭圆；当nm0时，方程表示焦点在y轴上的椭圆特别地，当nm0时，方程表示圆心在原点的圆再练一题2将本例(1)中的方程改为：“1”其他不变【解析】焦点在y轴上，m152m0，2m.【答案】与椭圆有关的轨迹问题已知圆b：(x1)2y216及点a(1,0)，c为圆b上任意一点，求ac的垂直平分线l与线段cb的交点p的轨迹方程【精彩点拨】p为ac垂直平分线上的点，则|pa|pc|，而bc为圆的半径，从而4|pa|pb|，可得点p轨迹为以a，b为焦点的椭圆【自主解答】如图所示，连接ap，l垂直平分ac，|ap|cp|.|pb|pa|bp|pc|4，p点的轨迹是以a，b为焦点的椭圆2a4,2c|ab|2，a2，c1，b2a2c23.点p的轨迹方程为1.求解有关椭圆的轨迹问题，一般有如下两种思路：(1)首先通过题干中给出的等量关系列出等式，然后化简等式得到对应的轨迹方程；(2)首先分析几何图形所揭示的几何关系，对比椭圆的定义，然后设出对应椭圆的标准方程，求出其中a，b的值，得到标准方程再练一题3已知b、c是两个定点，|bc|10，且abc的周长等于24，求顶点a的轨迹方程【导学号：32550064】【解】由已知|ab|ac|bc|24，|bc|10，得|ab|ac|14，由定义可知，顶点a的轨迹是椭圆，且2c10,2a14，即c5，a7，所以b2a2c224.建立如图所示的平面直角坐标系，使x轴经过b、c两点，原点o为bc的中点，当点a在直线bc上，即y0时，a、b、c三点不能构成三角形，所以点a的轨迹方程是1(y0)探究共研型椭圆的标准方程探究1同一椭圆在不同坐标系下的方程相同吗？【提示】同一椭圆在不同坐标系下的方程是不同的，只有当焦点在坐标轴上，且以线段|f1f2|的中点为坐标原点时，对应的椭圆的方程才是标准方程，我们只研究标准方程探究2在椭圆标准方程的推导过程中，为什么令b2a2c2，b0?【提示】令b2a2c2可以使方程变得简单整齐，在今后讨论椭圆的几何性质时，b还有明确的几何意义，因此设b0.探究3椭圆1和1(ab0)有何异同点？【提示】因为椭圆标准方程中的两个参数a，b确定了椭圆的形状、大小，所以椭圆1和1(ab0)的形状、大小相同，且焦距相等，都有c2a2b2.但这两个椭圆的位置不同，焦点坐标也不同探究4如何求椭圆的标准方程【提示】(1)定义法：即根据椭圆的定义，判断出轨迹是椭圆，然后写出其方程(2)待定系数法，即设出椭圆的标准方程，再依据条件确定a2、b2的值，可归纳为“先定型，再定量”，其一般步骤是：定类型：根据条件判断焦点在x轴上还是在y轴上，还是两种情况都有可能，并设椭圆方程为1(ab0)或1(ab0)；也可设椭圆方程为mx2ny21(m0，n0，mn)确定未知量：根据已知条件列出关于a、b、c的方程组，解方程组，可得a、b的值，然后代入所设方程即可写出适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)ab8，c4；(2)经过点a(，2)和点b(2，1)【精彩点拨】求椭圆的标准方程时，要先判断焦点位置，确定椭圆标准方程的形式，最后由条件确定a和b的值【自主解答】(1)椭圆的标准方程为1或1.(2)法一：当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为1(ab0)依题意有解得所以所求椭圆的方程为1.当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为1(ab0)依题意有解得舍去，故所求椭圆的方程为1.法二：设所求椭圆的方程为mx2ny21(m0，n0，且mn)依题意有解得所以所求椭圆的方程为1.椭圆的焦点三角形探究怎样解有关椭圆中的焦点三角形问题【提示】(1)椭圆上一点p与椭圆的两焦点f1、f2构成的三角形称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识对于求焦点三角形的面积，结合椭圆定义，建立关于|pf1|(或|pf2|)的方程求得|pf1|(或|pf2|)的长度；有时把|pf1|pf2|看成一个整体，运用公式|pf1|2|pf2|2(|pf1|pf2|)22|pf1|pf2|及余弦定理求出|pf1|pf2|，而无需单独求出，这样可以减少运算量(2)焦点三角形的周长等于2a2c.如图311所示，已知椭圆的方程为1，若点p在椭圆上，f1，f2为椭圆的两个焦点，且pf1f2120，求pf1f2的面积图311【精彩点拨】因为pf1f2120，|f1f2|2c，所以要求spf1f2，只要求|pf1|即可可由椭圆的定义|pf1|pf2|2a，并结合余弦定理求解【自主解答】由已知a2，b，所以c1，|f1f2|2c2，在pf1f2中，由余弦定理得|pf2|2|pf1|2|f1f2|22|pf1|f1f2|cos 120，即|pf2|2|pf1|242|pf1|.由椭圆定义，得|pf1|pf2|4，即|pf2|4|pf1|.将代入解得|pf1|，spf1f2|pf1|f1f2|sin 1202.因此所求pf1f2的面积是.构建体系1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有a2b2c2.()(2)平面内到两个定点f1，f2的距离之和等于常数的点的集合是椭圆()(3)椭圆的特殊形式是圆()【解析】(1)由定义知a2b2c2.(2)常数大于两定点距离的点的集合是椭圆；常数等于两定点距离的点的集合是线段；常数小于两定点距离的点的集合不存在(3)椭圆标准方程中ab，不可能是圆【答案】(1)(2)(3)2已知椭圆1上一点p，它到左焦点f1的距离为2，则它到右焦点的距离为()a4b6c30d【解析】由定义|pf1|pf2|8，知|pf2|6.【答案】b3若方程1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围是()【导学号：32550065】a9m25b8m25c16m25dm8【解析】依题意有解得8m25，即实数m的取值范围是8m25.【答案】b4已知椭圆1上一点p与椭圆两焦点f1、f2的连线夹角为直角，则|pf1|pf2|_.【解析】依题意a7，b2，c5，|f1f2|2c10，由于pf1pf2，所以由勾股定理得|pf1|2|pf2|2|f1f2|2，即|pf1|2|pf2|2100.又由椭圆定义知|pf1|pf2|2a14，所以(|pf1|pf2|)22|pf1|pf2