北师大版选修21 2.5　夹角的计算 学案.doc

5夹角的计算第一课时直线间的夹角、平面间的夹角 山体滑坡是一种常见的自然灾害甲、乙两名科学人员为了测量一个山体的倾斜程度，甲站在水平地面上的a处，乙站在山坡斜面上的b处，从a，b两点到直线l(水平地面与山坡的交线)的距离ac和bd分别为30 m和40 m，cd的长为60 m，ab的长为80 m.问题1：直线ac和bd的夹角范围是什么？向量与向量的夹角范围是什么？提示：，0，问题2：直线ac与bd的夹角与，有什么关系？提示：当0，时，它们相等；当，时，直线ac与bd的夹角为，问题3：上图中水平地面与斜坡面的夹角与，有什么关系？为什么？提示：，因为图中两平面夹角(即为直线bd与ca的夹角)为锐角，而，为钝角，所以，问题4：若n1，n2分别为两个平面1，2的法向量，则1与2的夹角与n1，n2有什么关系？提示：当0n1，n2时，n1，n2；当n1，n2时，n1，n21两直线的夹角当两条直线l1与l2共面时，把两条直线交角中，范围在内的角叫做两直线的夹角2异面直线l1与l2的夹角(1)定义：直线l1与l2是异面直线，在直线l1上任取一点a作abl2，则直线l1和直线ab的夹角叫作异面直线l1与l2的夹角(2)计算：设直线l1与l2的方向向量分别为s1，s2.当0s1，s2时，直线l1与l2的夹角等于s1，s2；当s1，s2时，直线l1与l2的夹角等于s1，s23平面间的夹角(1)定义：平面1与2相交于直线l，点r为直线l上任意一点，过点r，在平面1上作直线l1l，在平面2上作直线l2l，则直线l1和l2的夹角叫作平面1与2的夹角(2)计算：已知平面1和2的法向量分别为n1和n2，当0n1，n2时，平面1和2的夹角等于n1，n2；当n1，n2时，平面1和2的夹角等于n1，n21求空间角时，要注意角的范围(1)异面直线夹角范围是；(2)两平面夹角范围是.2求两异面直线的夹角、两平面夹角时可用定义求解；也可用直线的方向向量、平面的法向量的夹角进行求解，但要注意其转化关系 求异面直线的夹角例1如图所示，在四棱锥pabcd中，底面abcd是一直角梯形，bad90，adbc，abbca，ad2a，且pa底面abcd，pda30，aepd，e为垂足(1)求证：bepd；(2)求异面直线ae与cd夹角的余弦值思路点拨要证明两直线垂直，或求两直线的夹角，只要适当地建立空间直角坐标系，求出两直线对应的方向向量，然后借助于这两个向量的数量积公式即可求得精解详析以a为原点，ab，ad，ap所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图，则a(0,0,0)，b(a,0,0)，c(a，a,0)，d(0,2a,0)又pda30，apadtan 302aa，aeadsin 302aa.过e作efad，垂足为f，在rtafe中，aea，eaf60，af，efa.p，e.(1)证明：，0a2a20.，bepd.(2)，(a，a,0)则cos，即ae与cd的夹角的余弦值为.一点通1求两异面直线的夹角时，可用向量法转化为求两异面直线的方向向量a，b的夹角a，b但两异面直线的夹角范围是，所以当a，b时，两异面直线的夹角应为a，b2合理建立空间直角坐标系，可使两异面直线的夹角问题转化为向量的坐标运算，也可选用基向量法进行求解1把正方形abcd沿对角线ac折成直二面角，点e，f分别是ad，bc的中点，o是正方形abcd的中心，则折起后，eof的大小为()a60b90c120 d150解析：如图，建立空间直角坐标系，设正方形边长为2.则f，e，coseofcos，eof120.答案：c2在棱长为a的正方体abcda1b1c1d1中，求异面直线ba1与ac的夹角解：法一：以a点为坐标原点，建立直角坐标系如右图所示，设b(1,0,0)，则c(1,1,0)，a1(0,0,1)，(1,1,0)，(1,0,1)，cos，.，120.故ac与ba1的夹角为60.法二，()().abbc，bb1ab，bb1bc，0，0，0，a2.又|cos，cos，.，120.故异面直线ba1与ac的夹角为60.3.如右图，在四棱锥pabcd中，pd平面abcd，pad60，在四边形abcd中，adcdab90，ab4，cd1，ad2.(1)建立适当的坐标系，并写出点b，p的坐标；(2)求异面直线pa与bc夹角的余弦值解：(1)如右图建立空间直角坐标系，adcdab90，ab4，cd1，ad2，a(2,0,0)，c(0,1,0)，b(2,4,0)在rtpad中，由ad2，pad60得pd2，p(0,0,2)(2)由(1)得(2,0，2)，(2，3,0)，cos，.故异面直线pa与bc夹角的余弦值为.求两平面的夹角例2如图，pa平面abc，acbc，paac1，bc，求平面pab与平面pbc的夹角的余弦值思路点拨建立空间直角坐标系，利用法向量进行求解精解详析如图建立空间直角坐标系，则a(0,0,0)，b(，1,0)，c(0,1,0)，p(0,0,1)，(0,0,1)，(，1,0)，(，0,0)，(0，1,1)设平面pab的法向量为m(x，y，z)，则即令x1，得m(1，0)，设平面pbc的法向量为n(x，y，z)，则即令y1，n(0,1,1)cosm，n.而平面pab与平面pbc夹角平面pab与平面pbc夹角的余弦值为.一点通求两平面的夹角有两种方法：(1)定义法：在两个平面内分别找出与两平面交线垂直的直线，这两条直线的夹角即为两平面的夹角也可转化为求与两面交线垂直的直线的方向向量的夹角，但要注意其异同(2)法向量法：分别求出两平面的法向量n1，n2，则两平面的夹角为n1，n2或n1，n2.4在底面是直角梯形的四棱锥sabcd中，abc90，sa面abcd，saabbc1，ad，求平面scd与平面sba夹角的余弦值解：建立如图所示空间直角坐标系，则a(0,0,0)，d，c(1,1,0)，s(0,0,1)，平面sab的一个法向量是.设n(x，y，z)是面scd的一个法向量，则n，n，即n0，n0.又，xy0，且xz0.yx，且zx.n，取x1，得n.cos，n.平面scd与平面sba夹角的余弦值为.5(陕西高考)如图，四棱柱abcda1b1c1d1的底面abcd是正方形，o为底面中心，a1o平面abcd，abaa1.(1)证明：a1c平面bb1d1d；(2)求平面ocb1与平面bb1d1d的夹角的大小解： (1)证明：法一：由题设易知oa，ob，oa1两两垂直，以o为原点建立如图所示的空间直角坐标系abaa1，oaoboa11，a(1,0,0)，b(0,1,0)，c(1,0,0)，d(0，1,0)，a1(0,0,1)由，易得b1(1,1,1)(1,0，1)，(0，2,0)，(1,0,1)，0，0，a1cbd，a1cbb1，又bb1bdb，a1c平面bb1d1d.法二：a1o平面abcd，a1obd.又四边形abcd是正方形，bdac，bd平面a1oc，bda1c.又oa1是ac的中垂线，a1aa1c，且ac2，ac2aaa1c2，aa1c是直角三角形，aa1a1c.又bb1aa1，a1cbb1.又bb1bdb，a1c平面bb1d1d.(2)设平面ocb1的法向量n(x，y，z)(1,0,0)，(1,1,1)，取n(0,1，1)，由(1)知，(1,0，1)是平面bb1d1d的法向量，cos |cosn，|.又0，.用向量法求两异面直线的夹角及两平面的夹角时，要注意两异面直线的夹角、两平面夹角与直线的方向向量a，b的夹角及两平面的法向量n1，n2的夹角的关系：(1)当cosa，b0时，cos cosa，b，当cosa，b0时，cos cosa，b，即cos |cosa，b|.(2)当cosn1，n20时，cos cosn1，n2，当cosn1，n2时，a，n.即sina，n|cosa，n|.(1)直线与平面夹角范围是；(2)求直线与平面夹角时，可用定义求解；也可用直线的方向向量s、平面的法向量n的夹角进行求解，但要注意sin |coss，n|. 求直线与平面的夹角例1(新课标全国卷)如图，三棱柱abca1b1c1中，cacb，abaa1，baa160.(1)证明：aba1c；(2)若平面abc平面aa1b1b，abcb，求直线a1c 与平面bb1c1c的夹角的正弦值思路点拔(1)先证明直线与平面垂直，再利用线面垂直的性质求证线线垂直；(2)建立空间直角坐标系，写出点与向量坐标，将线面角的大小用方向向量和法向量表示，但要注意线面角的范围精解详析(1)如图，取ab的中点o，连接oc，oa1，a1b.因为cacb，所以ocab.由于abaa1，baa160，故aa1b为等边三角形，所以oa1ab.因为ocoa1o，所以ab平面oa1c.又a1c平面oa1c，故aba1c.(2)由(1)知ocab，oa1ab，又平面abc平面aa1b1b，交线为ab，所以oc平面aa1b1b，故oa，oa1，oc两两相互垂直以o为坐标原点，的方向为x轴的正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系oxyz.由题设知a(1,0,0)，a1(0，0)，c(0,0，)，b(1,0,0)，则(1,0，)，(1，0)，(0，)设n(x，y，z)是平面bb1c1c的法向量，则即可取n(，1，1)，故cosn，.所以a1c与平面bb1c1c的夹角的正弦值为.一点通设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线l与平面所成的角为，a与u的夹角为，则有sin |cos |或cos sin ，其中与满足：当是锐角时，；当为钝角时，则.1正方体abcda1b1c1d1中，ac81与平面abcd夹角的余弦值为()a.b.c. d.解析：如图所示建系，设正方体棱长为1，则a(1,0,0)，c1(0,1,1)，c(0，1,0)，而cc1面abcd，ac1在底面abcd的射影为ac.又(1,1,1)，(1,1,0)，ac1与平面abcd夹角的余弦值cos |cos，|.答案：d2如图，正三棱柱abca1b1c1中，abaa1，则ac1与平面bb1c1c夹角的正弦值为_解析：取b1c1中点o，建立如图所示的空间直角坐标系设abbb12，则a1(，0,0)，c1(0,1,0)，a(，0,2)，o(0,0,0)，(，0,0)，为面bb1c1c的法向量，(，1，2)，sin |cos，|.答案：3.已知三棱锥pabc中，pa平面abc，abac，paacab，n为ab上一点，ab4an，m，s分别为pb，bc的中点(1)证明：cmsn；(2)求sn与平面cmn的夹角解：设pa1，以a为原点，射线ab，ac，ap分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系如图则p(0,0,1)，c(0,1,0)，b(2,0,0)，m，n，s.(1)证明：，因为00，所以cmsn.(2) ，设a(x，y，z)为平面cmn的一个法向量，则a0，a0，即令x2，得a(2,1，2)因为|cosa，|，所以sn与平面cmn的夹角为45.存在性问题例2如图，在三棱锥abcd中，侧面abd，acd是全等的直角三角形，ad是公共的斜边，且ad，bdcd1.另一个侧面abc是等边三角形点a在底面bcd上的射影为h.(1)以d点为原点建立空间直角坐标系，并求a，b，c的坐标；(2)求平面bac与平面dac的夹角的余弦值(3)在线段ac上是否存在一点e，使ed与面bcd的夹角为30？若存在，确定点e的位置；若不存在，说明理由思路点拨(1)建立坐标系，证明0.(2)求两平面法向量的夹角(3)先假设存在点e满足条件，再建立关于点e的坐标的方程，判断方程是否有符合题意的解，即可得出结论精解详析(1)由题意abac，bc.则bdc为等腰直角三角形连接bh，ch，dbbh，chbh.四边形bhcd为正方形，以dc为y轴，db为x轴建立空间直角坐标系如图所示，则a(1,1,1)，b(1,0,0)，c(0,1,0)(2)设平面abc的法向量为n1(x，y，z)，则由n1知：n1xy0.同理，由n1知：n1xz0.可取n1(1,1，1)同理，可求得平面acd的一个法向量为n2(1,0，1)则cosn1，n2，即所求平面bac与平面dac的夹角的余弦值为.(3)假设存在e满足条件，设x(x,0，x)(0x1)，则(0,1,0)(x,0，x)(x,1，x)，平面bcd的一个法向量为n(0,0,1)，ed与平面bcd的夹角为30，由图可知与n的夹角为60，所以cos，ncos60.则2x，解得x，即e，|，|1.故线段ac上存在点e(与c的距离为1)，使ed与平面bcd的夹角为30.一点通解决存在性探究问题，一般先假设存在，然后进行推理计算，推出的结果若符合题意，则说明假设正确若出现矛盾或得出相反的结论，则否定假设，说明不存在4.在棱长为1的正方体abcda1b1c1d1中，m为棱bb1的中点，在棱dd1上是否存在点p，使md与平面pac的夹角为90？若存在，确定p点位置；若不存在，说明理由解：如图，建立空间直角坐标系，则a(1,0,0)，c(0,1,0)，d(0,0,0)，m，假设存在p(0,0，x)(0x1)满足条件，经检验，当x0时不满足要求，当0x1时，则(1,0，x)，(1,1,0)，(1，1，)设平面pac的法向量为n(x1，y1，z1)，则由得令x11得y11，z1，即n(1,1，)由题意n，由n，得x2.又00)(1)求证：cd平面add1a1；(2)若直线aa1与平面ab1c夹角的正弦值为，求k的值解：(1)证明：取cd的中点e，连接be，如图abde，abde3k，四边形abed为平行四边形，bead