北师大版选修21 4.2 圆锥曲线的共同特征4.3 直线与圆锥曲线的交点 学案.docx

4.2圆锥曲线的共同特征4.3直线与圆锥曲线的交点学习目标1.了解圆锥曲线的共同特征，并会简单应用.2.会判断直线与圆锥曲线的位置关系以及求与弦的中点有关的问题.知识点一圆锥曲线的共同特征圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值e.当0e1时，该圆锥曲线为双曲线.知识点二曲线的交点设曲线c1：f1(x，y)0，c2：f2(x，y)0，p0(x0，y0)是c1与c2的公共点，故求曲线交点即求方程组的实数解.知识点三直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离.对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切.这三种位置关系的判定条件可归纳为：(1)0相交；(2)0相切；(3)0相离.思考1.圆锥曲线具有什么样的共同特征？它们的区别何在？答案圆锥曲线均可定义为平面上到定点距离和到定直线距离之比为常数的点的轨迹；它们的区别在于这个比值的范围不同.2.直线与圆锥曲线有一个交点时，一定是直线与圆锥曲线相切吗？答案直线与圆锥曲线有一个交点时不一定相切，也可能是相交.如直线与抛物线的对称轴平行，则直线与该抛物线交点是只有一个交点.题型一圆锥曲线的共同特征及应用例1曲线上的点m(x，y)到定点f(1,0)的距离和它到定直线l：x2的距离的比是常数，求曲线方程.解设d是点m到直线l的距离，根据题意，曲线上的点m满足：.由此得，即有2|2x|，将上式两边平方，化简得y21.反思与感悟此类问题采用求曲线方程的一般方法，通过题意列出关于点m(x，y)的等式，化简得出曲线方程.通过运算的结果不难发现，椭圆是到定点的距离与到定直线的距离之比为常数的点所成的曲线，并且这个常数的范围为(0,1).跟踪训练1曲线上的点m(x，y)到定点f(，0)的距离和它到定直线l：x的距离的比是常数，求曲线方程.解设d是点m到直线l的距离，根据题意，曲线上的点m满足：.由此得，即有2，将上式两边平方，化简得y21.故所求曲线方程为y21.题型二直线与圆锥曲线的公共点问题例2已知双曲线x2y24，直线l：yk(x1)，讨论直线与双曲线公共点个数.解联立方程组消去y，整理得：(1k2)x22k2xk240.(1)当1k20即k1，方程可化为2x5，x，方程组只有一组解，故直线与双曲线只有一个公共点(实质上是直线与渐近线平行时的两种情况，只有一个交点但不相切).(2)当1k20，即k1，此时有4(43k2)，若43k20(k21)，则k(1,1)，方程组有两解，故直线与双曲线有两交点.(3)若43k20(k21)，则k，方程组有一解，故直线与双曲线有一个公共点(相切的情况).(4)若43k20(k21)则k，方程组无解，故直线与双曲线无交点.综上所述，当k1或k时，直线与双曲线有一个公共点；当k(1,1)时，直线与双曲线有两个公共点；当k时，直线与双曲线无公共点.反思与感悟本题通过方程组解的个数来判断直线与双曲线交点的个数，具体操作时，运用了重要的数学方法分类讨论，而且是“双向讨论”，既要讨论首项系数1k2是否为0，又要讨论的三种情况，为理清讨论的思路，可画“树枝图”如图：从树枝图上一看可知，共分四种情况讨论，本文要提醒读者：“树枝图”是确定讨论思路的一手绝招！(1)要处理好直线与圆锥曲线的位置关系与的正负和交点个数的关系.0是直线与圆锥曲线相切的充要条件；只有一个交点是直线与圆锥曲线相切的必要不充分条件.(2)直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题实质上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数的问题.跟踪训练2过点p(0,2)作直线l，分别与椭圆c：y21：(1)相切；(2)相交；(3)相离.求l的斜率k的取值范围.解设直线l的方程为ykx2.把l的方程代入椭圆c的方程，得(kx2)21，整理得(14k2)x22(18k)x130.的判别式4(18k)2413(14k2).分别令0，0，0，得k；k；k.综上所述：(1)当k时，直线l与椭圆c相切；(2)当k时，直线l与椭圆c相交；(3)当k0，b0).c，22，a21，b22.故双曲线方程为x21.设p1和p2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段p1p2的中点为p(x，y)，则x1，x1.得2(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)，当x1x2，y0时，.又p1、p2、p、a四点共线，.由、得，即2x2y24xy0，故中点p的轨迹方程为2x2y24xy0.(2)假设存在直线l，同(1)可得l的斜率为2，l的方程为y2x1.无解，与假设矛盾，满足条件的直线l不存在.题型四对称问题例4已知椭圆3x24y212，试确定实数m的取值范围，使得对于直线l：y4xm，椭圆上总有两点a，b关于直线l对称.解方法一设p(x1，y1)、q(x2，y2)是椭圆上关于直线l：y4xm对称的两个点，则kpq.设pq所在的直线方程为yb，由消去y，得13x28bx16b2480，(8b)2413(16b248)0，解得b2.又x1x2b，x1x2，设pq的中点为m(x，y)，则x，ybb.点m(，b)在直线y4xm上，b4bm，bm，(m)2.解得m.当m时，椭圆上有两个不同的点关于直线y4xm对称.方法二设p(x1，y1)、q(x2，y2)是椭圆c上关于直线l：y4xm对称的两个点，m(x，y)是它们的中点，则有3(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0.x1x22x，y1y22y，x1x2，kpq，y3x.由解得m(m，3m).点m在椭圆c的内部，1，m.当m0求解，利用已知条件，建立一个等式与一个不等式，两种解法都是紧紧抓住两点关于直线对称所产生的垂直及中点问题.跟踪训练4已知双曲线x21，双曲线上存在关于直线l：ykx4对称的两点a、b，求实数k的取值范围.解当k0时，显然不成立.当k0时，由lab，可设直线ab的方程为yxb，代入3x2y23中，得(3k21)x22kbx(b23)k20.显然3k210，(2kb)24(3k21)(b23)k20，即k2b23k210.由根与系数的关系，得中点m(x0，y0)的坐标为点m(x0，y0)在直线l上，4，即k2b3k21.把代入得k2b2k2b0，解得b0或b0或或|k|，且k0.k的取值范围是.1.直线yxm与椭圆y21有两个不同的交点，则m的范围是()a.5m5b.m，或mc.md.m答案d解析将yxm代入y21，有5x28mx4m240，64m280(m21)0，得m25，m.2.设a、b是抛物线x24y上两点，o为原点，若|oa|ob|，且aob的面积为16，则aob等于()a.30b.45c.60d.90答案d解析由|oa|ob|，知抛物线上点a、b关于y轴对称，设a，b，saob2a16，解之得a4，aob为等腰直角三角形，aob90.3.已知圆m：x2y22mx30(m0)的左焦点为f(c,0)，若垂直于x轴且经过f点的直线l与圆m相切，则a的值为()a.b.1c.2d.4答案c解析圆m的方程可化为(xm)2y23m2，则由题意得m234，即m2