北师大版选修21 4.1曲线与方程(一) 学案.docx

4.1曲线与方程(一)学习目标1.了解曲线和方程的概念.2.理解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的含义.知识点曲线的方程、方程的曲线一般地，在直角坐标系中，如果某曲线c(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上.那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线.思考(1)如果曲线与方程仅满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，会出现什么情况？举例说明.(2)如果曲线c的方程是f(x，y)0，那么点p(x0，y0)在曲线c上的充要条件是什么？答案(1)如果曲线与方程仅满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，有可能扩大曲线的边界.如方程y表示的曲线是半圆，而非整圆.(2)若点p在曲线c上，则f(x0，y0)0；若f(x0，y0)0，则点p在曲线c上，所以点p(x0，y0)在曲线c上的充要条件是f(x0，y0)0.题型一曲线与方程的概念例1(1)已知坐标满足方程f(x，y)0的点都在曲线c上，那么()a.曲线c上的点的坐标都适合方程f(x，y)0b.凡坐标不适合f(x，y)0的点都不在曲线c上c.不在曲线c上的点的坐标必不适合f(x，y)0d.不在曲线c上的点的坐标有些适合f(x，y)0，有些不适合f(x，y)0答案c(2)分析下列曲线上的点与相应方程的关系：与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy5之间的关系；第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程xy0之间的关系.解与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy5，但以方程xy5的解为坐标的点一定满足与两坐标轴的距离之积等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy5.第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足xy0；反之，以方程xy0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角平分线上.因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是xy0.反思与感悟判断方程是不是曲线的方程的两个关键点：一是检验点的坐标是否适合方程；二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上.跟踪训练1判断下列命题是否正确.(1)以坐标原点为圆心，r为半径的圆的方程是y；(2)过点a(2,0)平行于y轴的直线l的方程为|x|2.解(1)不正确.设(x0，y0)是方程y的解，则y0，即xyr2.两边开平方取算术平方根，得r即点(x0，y0)到原点的距离等于r，点(x0，y0)是这个圆上的点.因此满足以方程的解为坐标的点都是曲线上的点.但是，以原点为圆心、r为半径的圆上的一点如点(，r)在圆上，却不是y的解，这就不满足曲线上的点的坐标都是方程的解.所以，以原点为圆心，r为半径的圆的方程不是y，而应是y.(2)不正确.直线l上的点的坐标都是方程|x|2的解.然而，坐标满足|x|2的点不一定在直线l上，因此|x|2不是直线l的方程，直线l的方程为x2.题型二由方程判断其表示的曲线例2方程(2x3y5)(1)0表示的曲线是什么？解因为(2x3y5)(1)0，所以可得或者10，即2x3y50(x3)或者x4，故方程表示的曲线为一条射线2x3y50(x3)和一条直线x4.反思与感悟判断方程表示什么曲线，必要时要对方程适当变形，变形过程中一定要注意与原方程等价，否则变形后的方程表示的曲线就不是原方程的曲线.跟踪训练2“(2x3y5)log2(x2y)30”，其表示什么曲线？解因为(2x3y5)log2(x2y)30，所以可得或者x2y8，即2x3y50(x10)或者x2y8，故方程表示的曲线为一条射线2x3y50(x0)所确定的两条曲线有两个交点，则a的取值范围是()a.a1b.0a1c.0a1d.a答案a解析a0，方程ya|x|和yxa(a0)的图象大致如图，要使方程ya|x|和yxa(a0)所确定的两条曲线有两个交点，则要求ya|x|在y轴右侧的斜率大于yxa的斜率，a1.(2)已知直线l：yxb与曲线c：y有两个公共点，求b的取值范围.解由方程组得消去x，得到2y22byb210(y0).l与c有两个公共点，等价于此方程有两个不等的非负实数解，可得解得1b.所以b的取值范围为1，).1.“点m在曲线y24x上”是“点m的坐标满足方程y2”的()a.充分不必要条件b.必要不充分条件c.充要条件d.既不充分又不必要条件答案b解析y20，而y24x中y可正可负，点m在曲线y24x上时，点m不一定在y2上.反之，点m在y2上时，点m一定在y24x上.2.方程(x24)2(y24)20表示的图形是()a.两个点b.四个点c.两条直线d.四条直线答案b解析由已知得即或或或选b.3.下列四个图形中，图形下面的方程是图形中曲线的方程的是()答案d解析对于a，点(0，1)满足方程，但不在曲线上，排除a；对于b，点(1，1)满足方程，但不在曲线上，排除b；对于c，曲线上第三象限的点，由于x0，y0，不满足方程，排除c.4.已知02，点p(cos，sin)在曲线(x2)2y23上，则的值为()a.b.c.或d.或答案c解析由(cos2)2sin23，得cos.又02，或.5.过点p(1,1)且互相垂直的两条直线l1与l2分别与x轴，y轴交于a，b两点，则ab中点m的轨迹方程为_.答案xy10解析设m(x，y)，如图，由直角三角形的性质可知|pm|mo|，即(x1)2(y1)2x2y2，xy10.1.曲线的方程和方程的曲线必须满足两个条件：曲线上点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在曲线上.2.点(x0，y