北师大版选修21 第一章 §3　全称量词与存在量词 学案.doc

3全称量词与存在量词31全称量词与全称命题32存在量词与特称命题学习目标1.理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和特称命题的概念.3.能判定全称命题与特称命题的真假，并掌握其判定方法知识点一全称量词、全称命题思考观察下面的两个语句，思考下列问题：p：m5；q：对所有的mr，m5.上面的两个语句是命题吗？二者之间有什么关系？答案语句p无法判断真假，不是命题；语句q在语句p的基础上增加了“所有的”，可以判断真假，是命题语句p是命题q中的一部分梳理(1)全称量词及全称命题的概念短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词含有全称量词的命题，叫作全称命题(2)全称命题的真假判定要判定全称命题是真命题，需要对集合m中每个元素x，证明p(x)成立，但要判定全称命题是假命题，只需举出一个xm，使得p(x)不成立即可知识点二存在量词、特称命题思考找出下列命题的共同特征，并判断其真假(1)存在xr，x20；(2)有些三棱锥是正四面体答案所给命题都是真命题，它们都表示“存在”的意思梳理(1)存在量词及特称命题的概念短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词含有存在量词的命题，叫作特称命题(2)特称命题的真假判定要判定一个特称命题是真命题，只需在集合m中找到一个元素x，使p(x)成立即可，否则这一特称命题就是假命题1“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词()2全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”()3全称命题中一定含有全称量词，特称命题中一定含有存在量词()类型一判断命题的类型例1判断下列命题是全称命题还是特称命题(1)正方形是矩形；(2)球面是曲面；(3)x2x10(xr)；(4)有的素数为偶数；(5)方程3x2有实数解考点全称命题与特称命题题点全称命题与特称命题的判定解结合题意知(1)(2)(3)为全称命题；(4)(5)为特称命题反思与感悟判断一个命题是全称命题还是特称命题的关键是看量词由于某些全称命题的量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题跟踪训练1判断下列命题是全称命题还是特称命题(1)梯形的对角线相等；(2)存在一个四边形有外接圆；(3)二次函数都存在零点；(4)过两条平行线有且只有一个平面考点量词与命题题点全称(存在)量词的识别解命题(1)完整的表述应为“所有梯形的对角线相等”，很显然为全称命题命题(2)为特称命题命题(3)完整的表述为“所有的二次函数都存在零点”，故为全称命题命题(4)是命题“过任意两条平行线有且只有一个平面”的简写，故为全称命题类型二判断命题的真假例2判断下列命题的真假(1)任意xr，x2x1；(2)存在，cos()coscos；(3)存在一个函数既是偶函数又是奇函数；(4)每一条线段的长度都能用正有理数表示；(5)存在一个实数x，使等式x2x80成立考点特称(全称)命题的真假性判断题点特称(全称)命题真假的判断解(1)真命题，x2x1x2x20，x2x1恒成立(2)真命题，例如，符合题意(3)真命题，函数f(x)0既是偶函数又是奇函数(4)假命题，如：边长为1的正方形的对角线长为，它的长度就不是有理数(5)假命题，因为该方程的判别式310，故无实数解反思与感悟要判定全称命题是真命题，需要对集合m中每个元素x，证明p(x)都成立；如果在集合m中找到一个元素x，使得p(x)不成立，那么这个全称命题就是假命题要判定特称命题是真命题，只需在集合m中找到一个元素x，使p(x)成立即可；如果在集合m中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个特称命题就是假命题跟踪训练2判断下列命题的真假(1)有一些奇函数的图像过原点；(2)存在xr,2x2x10，不存在xr，使2x2x1x；(2)命题p(x)：x25x60；(3)命题p(x)：sinxcosx.考点全称命题的真假性判断题点恒成立求参数的取值范围解(1)x1x，10(此式恒成立)，xr.(2)x25x60，(x2)(x3)0，x3或xcosx，2kx2k(kz)反思与感悟已知含量词的命题真假求参数的取值范围，实质上是对命题意义的考查解决此类问题，一定要辨清参数，恰当选取主元，合理确定解题思路解决此类问题的关键是根据含量词命题的真假转化为相关数学知识，利用函数、方程、不等式等知识求解参数的取值范围，解题过程中要注意变量取值范围的限制跟踪训练3已知命题p：“存在xr，sinxm”，命题q：“任意xr，x2mx10恒成立”，若p和q都是真命题，求实数m的取值范围考点特称(全称)命题的真假性判断题点由命题真假性求参数的取值范围解因为“存在xr，sin xm”是真命题，所以m1.又因为“任意xr，x2mx10恒成立”是真命题，所以m240，解得2m2.综上所述，实数m的取值范围是(1,2)1下列命题中，是正确的全称命题的是()a对任意的a，br，都有a2b22a2b20b菱形的两条对角线相等c存在x，xd对数函数在定义域上是单调函数考点全称量词与全称命题题点全称命题的识别答案d2下列命题中，既是真命题又是特称命题的是()a存在一个，使tan(90)tanb存在实数x，使sinxc对一切，sin(180)sind对任意，sin()sincoscossin考点特称命题的真假性判断题点特称命题真假的判断答案a3若对于任意x1,2，ax21，则实数a的取值范围为()a5，) b(3，)c(，2 d3,5考点全称命题的真假性判断题点恒成立求参数的范围答案a解析依题意a(x21)max5，故a5，)4命题“对任意xr，存在mz，使m2mx2x1”是_命题(填“真”“假”)考点特称命题的真假性判断题点特称命题真假的判断答案真解析由于对任意xr，x2x12，所以只需m2m，即m.所以当m0或m1时，对任意xr，m2mx2x1成立，因此该命题是真命题5判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断真假(1)任意x(1,2)，x2x2；(2)存在xx|x1)，log2xlogx22；(3)指数函数都是单调函数；(4)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除考点量词与命题题点全称(特称)命题的识别解(1)全称命题由于x2x2x2x201x2，所以任意x(1,2)，x2x2成立真命题(2)特称命题当xx|x1时，log2x0，故log2xlogx2log2x2，当且仅当x2时，(log2xlogx2)min2，所以不存在xx|x1，使log2xlogx22成立假命题(3)全称命题当a1时，指数函数f(x)ax为增函数，当0a1时，指数函数f(x)ax为减函数，所以指数函数都是单调函数真命题(4)特称命题例如，10既能被2整除，又能被5整除真命题利用含量词的命题的真假求参数取值范围的技巧(1)转化为恒成立问题：含参数的全称命题为真时，常转化为不等式的恒成立问题来处理，最终通过构造函数转化为求函数的最值问题(2)转化为方程或不等式有解问题：含参数的特称命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，最终借助根的判别式或函数等相关知识获得解决一、选择题1下列说法正确的个数是()命题“所有的四边形都是矩形”是特称命题；命题“任意xr，x220”是全称命题；命题“存在xr，x24x40”是特称命题a0b1c2d3考点量词与命题题点特称(全称)命题的识别答案c解析只有正确2以下四个命题既是特称命题又是真命题的是()a锐角三角形的内角是锐角或钝角b至少有一个实数x，使x20c两个无理数的和必是无理数d存在一个负数x，使2考点存在量词与特称命题题点特称命题的真假判断答案b3下列命题中，不是全称命题的是()a任何一个实数乘以0都等于0b自然数都是正整数c每一个向量都有大小d一定存在没有最大值的二次函数答案d解析d是特称命题考点题点4已知正四面体abcd的棱长为2，点e是ad的中点，则下面四个命题中正确的是()a对任意的fbc，efadb存在fbc，efacc对任意的fbc，efd存在fbc，efac考点特称命题的真假性判断题点特称命题真假的判断答案a解析因为abd和acd为等边三角形，e为ad的中点，ad平面bce，又ef?平面bce，故adef.5下面命题是真命题的是()a任意xr，x3xb存在xr，x212xc任意xy0，xy2d存在x，yr，sin(xy)sinxsiny考点量词与命题题点全称(特称)命题的真假性判断答案d6若“任意x，cosxm”是真命题，则实数m的最小值为()abc.d.考点全称命题的真假性判断题点恒成立求参数的取值范围答案c7有四个关于三角函数的命题：p1：存在xr，sin2cos2；p2：存在x，yr，sin(xy)sinxsiny；p3：对任意的x0，,sinx；p4：sinxcosyxy.其中假命题为()ap1，p4bp2，p4cp1，p3dp3，p4考点全称命题真假性的判断题点全称命题的真假判断答案a解析由于对任意xr，sin2cos21，故p1是假命题；当x，y，xy有一个为2k(kz)时，sinxsinysin(xy)成立，故p2是真命题对于p3：任意x0，|sinx|sinx为真命题对于p4：sinxcosyxy为假命题，例如x，y，满足sinxcosy0，而xy.二、填空题8若“任意x，tanxm”是真命题，则实数m的最小值为_考点全称命题的真假性判断题点恒成立求参数的取值范围答案1解析x，0tan x1，m1，故实数m的最小值为1.9已知命题p：存在c0，y(3c)x在r上为减函数，命题q：任意xr，x22c30.若p和q都是真命题，则实数c的取值范围为_考点全称命题的真假性判断题点恒成立求参数的取值范围答案(2,3)解析由于p和q都是真命题，所以p，q都是真命题，所以解得2c3.故实数c的取值范围为(2,3)10对任意x3，xa恒成立，则实数a的取值范围是_考点全称命题的真假性判断题点恒成立求参数的取值范围答案(，3解析对任意x3，xa恒成立，即大于3的数恒大于a，a3.11有下列四个命题：p1：存在x(0，)，xx；p2：存在x(0,1)，xx；p3：任意x(0，)，xx；p4：任意x，xx.其中为真命题的是_考点量词与命题题点全称(特称)命题的真假性判断答案p2，p4解析因为幂函数yx(0)在(0，)上是增函数，所以命题p1是假命题；因为对数函数ylogax(0a1)是减函数，所以当x(0,1)时，0logxlogx，所以0，即，所以命题p2是真命题；因为函数yx在(0，)上单调递减，所以有0y1，当x(0,1时，y0，当x(1，)时，y0，所以命题p3是假命题；因为函数yx在上单调递减，所以有0y1，而函数y在上的函数值y1，所以命题p4是真命题三、解答题12判断下列命题是否为全称命题或特称命题，并判断其真假(1)存在一条直线，其斜率不存在；(2)对所有的实数a，b，方程axb0都有唯一解；(3)存在实数x，使得2.考点全称(特称)命题的真假性判断题点全称(特称)命题的真假性判断解(1)是特称命题，是真命题(2)是全称命题，是假命题(3)是特称命题，是假命题13若不等式t22at1sinx对一切x，及a1,1都成立，求实数t的取值范围考点全称命题的真假性判断题点恒成立求参数的范围解因为x，所以sinx1,1，于是由题意可得对一切a1,1，不等式t22at11恒成立由t22at11得2tat20.令f(a)2tat2，则f(a)在t0时是关于a的一次函数，当t0时，显然f(a)0成立，当t0时，要使f(a)0在a1,1上恒成立，则即解得t2或t2.故t的取值范围是t2或t0或t2.四、探究与拓展14下列四个命题：没有一个无理数不是实数；空集是任何一个非空集合的真子集；112；至少存在一个整数x，使得x2x1是整数其中是真命题的为()abcd考点量词与命题题点特称(全称)命题的真假性判