北师大版选修21 用向量讨论垂直与平行(一) 学案.docx

学习目标1.理解直线的方向向量与平面的法向量，并能运用它们证明平行问题.2.会用向量语言表述线线、线面、面面的平行关系.知识点一直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量能平移到直线上的非零向量，叫做直线的一个方向向量平面的法向量直线l，取直线l的方向向量n，则向量n叫做平面的法向量知识点二空间平行关系的向量表示(1)线线平行设直线l，m的方向向量分别为a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)，则lmababa1a2，b1b2，c1c2(r).(2)线面平行设直线l的方向向量为a(a1，b1，c1)，平面的法向量为u(a2，b2，c2)，则lauau0a1a2b1b2c1c20.(3)面面平行设平面，的法向量分别为u(a1，b1，c1)，v(a2，b2，c2)，则uvuva1a2，b1b2，c1c2(r).题型一利用方向向量和法向量判定线面、面面的位置关系例1根据下列条件，判断相应的线、面位置关系：(1)直线l1与l2的方向向量分别是a(2,3，1)，b(6，9,3)；(2)直线l1与l2的方向向量分别是a(2,1,4)，b(6,3,3)；(3)平面与的法向量分别是u(1，1,2)，v；(4)平面与的法向量分别是u(2，3,4)，v(4，2,1)；(5)直线l的方向向量，平面的法向量分别是a(0，8，12)，u(0,2，3).解(1)a(2,3，1)，b(6，9,3)，ab，ab，即l1l2.(2)a(2,1,4)，b(6,3,3)，ab0且akb(kr)，a，b既不共线也不垂直，即l1与l2相交或异面.(3)u(1，1,2)，v，uv3210，uv，即.(4)u(2，3,4)，v(4，2,1)，uv0且ukv(kr)，u与v既不共线也不垂直，即和相交但不垂直.(5)a(0，8,12)，u(0,2，3)，ua，ua，即l.反思与感悟(1)两直线的方向向量共线时，两直线平行；否则两直线相交或异面.(2)直线的方向向量与平面的法向量共线时，直线和平面垂直；直线的方向向量与平面的法向量垂直时，直线在平面内或线面平行；否则直线与平面相交但不垂直.(3)两个平面的法向量共线(垂直)时，两平面平行(垂直)；否则两平面相交但不垂直.跟踪训练1设平面的法向量为(1,3，2)，平面的法向量为(2，6，k)，若，则k_.答案4解析，(1,3，2)(2，6，k)，k4.题型二求平面的法向量例2如图所示，在四棱锥sabcd中，底面是直角梯形，abc90，sa底面abcd，且saabbc1，ad，建立适当的空间直角坐标系，求平面scd与平面sba的一个法向量.解如图，以a为原点，以，分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则a(0,0,0)，d(，0,0)，c(1,1,0)，s(0,0,1)，则(，1,0)，(，0,1).易知向量(，0,0)是平面sab的一个法向量.设n(x，y，z)为平面sdc的法向量，则即取x2，则y1，z1，平面sdc的一个法向量为(2，1,1).反思与感悟求平面法向量的方法与步骤：(1)求平面abc的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如，；(2)设平面的法向量为n(x，y，z)；(3)联立方程组并求解；(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量.跟踪训练2已知a(1,0,1)，b(0,1,1)，c(1,1,0)，求平面abc的一个法向量.解设平面abc的法向量为n(x，y，z)，由题意知(1,1,0)，(1,0，1).n，n，解得令x1，则yz1.平面abc的一个法向量为n(1,1,1).题型三利用空间向量证明平行关系例3在四棱锥pabcd中，四边形abcd是正方形，侧棱pd垂直于底面abcd，pddc，e是pc的中点.证明：pa平面edb.证明如图所示，建立空间直角坐标系，d是坐标原点，设pddca.方法一连接ac，交bd于点g，连接eg，依题意得d(0,0,0)，a(a,0,0)，p(0,0，a)，e(0，).因为四边形abcd是正方形，所以g是此正方形的中心，故点g的坐标为(，0)，所以(，0，).又(a,0，a)，所以2，这表明paeg.而eg平面edb，且pa平面edb，所以pa平面edb.方法二设平面bde的法向量为n(x，y，z)，(0，)，(a，)，则有即即令y1，则所以n(1，1,1)，又(a,0，a)，所以n(1，1,1)(a,0，a)aa0.所以n.所以pa平面edb.方法三假设存在实数，使得，即(a,0，a)(0，)(a，)，则有解得所以，所以pa平面bde.反思与感悟通过证明平面内的一个向量与直线的方向向量平行来证明线面平行，需要特别说明直线的方向向量不在平面内；通过证明平面的法向量与直线的方向向量垂直来证明直线与平面平行，求解法向量的赋值与运算一定要准确；本题应用共面向量定理证明线面平行转化为判定中和是否存在的问题.跟踪训练3如图，已知在四棱锥pabcd中，底面abcd是矩形，且ad2，ab1，pa平面abcd，e，f分别是线段ab，bc的中点.判断并说明pa上是否存在点g，使得eg平面pfd.解pa平面abcd，bad90，ab1，ad2，如图，建立空间直角坐标系axyz，则a(0,0,0)，b(1,0,0)，f(1,1,0)，d(0,2,0).不妨令p(0,0,t)，(1,1,t)，(1,1,0)，设平面pfd的法向量为n(x，y，z)，由得令z1，解得xy，n(，1).设点g的坐标为(0,0，m)，又e(，0,0)，则(，0，m).要使eg平面pfd，只需n0，即()0m10，即m0，解得mt，从而满足agap的点g即为所求.利用向量法判断直线与平面平行例4已知u是平面的一个法向量，a是直线l的一个方向向量，若u(3,1,2)，a(2,2,2)，则l与的位置关系是_.错解因为ua(3,1,2)(2,2,2)3(2)12220，所以ua，所以l.错解分析错误的根本原因是忽视了直线与平面平行和向量与平面平行的区别.实际上，本例中由向量ua可得l或l.正解因为ua(3,1,2)(2,2,2)3(2)12220.所以ua，所以l或l.答案l或l1.已知a(2,4,5)，b(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量.若l1l2，则()a.x6，y15b.x3，yc.x3，y15d.x6，y答案d解析由l1l2得，解得x6，y.2.已知线段ab的两端点坐标为a(9,3,4)，b(9,2,1)，则线段ab与坐标平面()a.xoy平行b.xoz平行c.yoz平行d.yoz相交答案c解析因为(9,2,1)(9，3,4)(0,5，3)，所以ab平面yoz.3.若a(1,0，1)，b(2,1,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是()a.(2,2,6) b.(1,1,3)c.(3,1,1) d.(3,0,1)答案a解析a，b在直线l上，(1,1,3)，与共线的向量(2,2,6)可以是直线l的一个方向向量.4.设直线l的方向向量为a，平面的法向量为b，若ab0，则()a.lb.lc.ld.l或l答案d解析ab0，l或l.5.在直三棱柱abca1b1c1中，以下向量可以作为平面abc法向量的是_.(填序号)；.答案解析aa1平面abc，b1b平面abc，与可以作为平面abc的法向量.1.利用向量解决立体几何问题的“三步曲”：(1)建